2008年高考试题 - 数学理（福建卷）

2008年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)

数 学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S?4?R2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)=P(A)+P(B)

第一卷（选择题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 ⑴若复数(a2?3a?2)?(a?1)i是纯虚数，则实数a的值为（ ） A）1 B）2 C）1或2 D）-1 ⑵设集合A?{x|x?0}，B?{x|0?x?3}，那么“m?A”是“m?B”的（ ） x?1 A）充分而不必要条件 B）必要而不充分条件

C）充要条件 D）既不充分也不必要条件

⑶设{an}是公比为正数的等比数列，若a1?1,a5?16，则数列{an}的前7项的和为（ ） A）63 B）64 C）127 D）128

⑷函数f(x)?x3?sinx?1(x?R)，若f(a)?2，则f(?a)的值为（ ） A）3 B）0 C）-1 D）-2 ⑸某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为是（ ） A）

4，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率51696192256 B） C） D） 625625625625D1A1B1C1⑹如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2,AA1?1， 则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）

DC A）

2515106 B） C） A）

5553AB⑺某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，

那么不同的选派方案种数为（ ）

A）14 B）24 C）28 D）48

?x?y?1?0y⑻若实数?，则的取值范围是（ ）

x?x?0 A）(0,1) B）(0,1] C）(1,??) D）[1,??)

⑼函数f(x)?cosx(x?R)的图象按向量(m,0)平移后，得到函数y??f?(x)的图象，则m的值可以为（ ）

?? B）? C）?? D）? 22⑽在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2?c2?b2)tanB?3ac，则

A）

角B的值为（ ）

???5??2? B） C）或 D）或 636633x2y2⑾双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且

ab|PF1|?2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A）

A）(1,3) B）(1,3] C）(3,??) D）[3,??) ⑿已知函数y?f(x),y?g(x)的导函数的图象如右图， 那么y?f(x),y?g(x)的图象可能是（ ）

第二卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 ⒀若(x?2)?a5x?a4x?a3x?a2x?a1x?a0，则（用数字作答） a1?a2?a3?a4?a5? 。55432?x?1?cos?⒁若直线3x?4y?m?0与圆?(?为参数)没有公共点，则实数m的取值范围

?y??2?sin?是 。

⒂若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 。

b?P，a?b、ab、?P⒃设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、都有a?b、

（除数b?0），则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域；数集

abF?{a?b2|a,b?Q}也是数域。有下列命题：

①整数集是数域； ②若有理数集Q?M，则数集M必为数域；

③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域。

其中正确的命题的序号是 。（把你认为正确的命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17)（本小题满分12分）

已知向量m?(sinA,cosA)，n?(3,?1)，m?n?1，且A为锐角。

(Ⅰ)求角A的大小； (Ⅱ)求函数f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)的值域。

(18)（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB?AD，AD?2AB?2BC?2，O为AD中点。 (Ⅰ)求证：PO?平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的大小；

(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

????P3？ 2AQ若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

QD

AOCDB

(19)（本小题满分12分） 已知函数f(x)?13x?x2?2 3 (Ⅰ)设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1?3，若点

2*(an,an?1?2an?1)(n?N)在函数y?f?(x)的图象上，求证：点(n,Sn)也在

y?f?(x)的图象上；

(Ⅱ)求函数f(x)在区间(a?1,a)内的极值。

(20)（本小题满分12分）

某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B

的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现

某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为格的概率均为

2，科目B每次考试成绩合31。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。 2 (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率；

(Ⅱ)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学

期望Eξ。

(21) （本小题满分12分）

x2y2 如图，椭圆2?2?1(a?b?0)的一个焦点是F(1,0)，O为坐标原点。

ab (Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，

求椭圆的方程；

(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F

任意转动，恒有|OA|?|OB|?|AB|，求a的取值范围。

(22) （本小题满分14分）

222ylAOBFx1?x)?x。 已知函数f(x)?ln( (Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)记f(x)在区间[0,n](n?N*)上的最小值为bn，令an?ln(1?n)?bn。 (ⅰ)如果对一切n，不等式an?an?2?can?2恒成立，求实数c的取值范围；

(ⅱ)求证：

a?a?a2n?1a1a1?a3????13?2an?1?1。 a2a2?a4a2?a4?a2n数学试题（理工农医类）参考答案

一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分. （1）B

由a?3a?2?0得a?1或2,且a?1?0得a?1?a?2

2（2）A （3）C

x?0x?1由得0?x?1,可知“m?A”是“m?B”的充分而不必要条件.

由

a1?1,a5?16及?an?是公比为正数的等比数列，得公比

1?27q?2?S7??1271?2

（4）B

3f(x)?1?x?sinx为奇函数，又f(a)?2?f(a)?1?1故注意到

f(?a)?1??1即f(?a)?0.

（5）B

962?4??1?P4(2)?C4??????5??5?625 由

AC11与B1D1交与O点,再连BO,则?B0C1为所成角,下面就是计算了.

22（6）D 连（7）A

4C?1?14。 6只少一名女生可用间接法即

（8）C （9）A

yx可看做可行域中的点与原点构成直线的低斜率.

y??f?(x)?sinx,而f(x)=cosx (x?R)的图象按向量(m,0) 平移后得到

?y?cos(x?m),所以cos(x?m)?sinx,故m可以为2.

(a2+c2-b2)3cosB3cosB= cosB= 222(a+c-b)tanB= 3ac得2ac2sinB即2sinB 由

（10）D

?sinB= ?2?32,又在△中所以B为3或3.

（11）B 可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系 （12）D 从导函数的图象可知两个函数在

x0处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的

函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数应该斜率慢慢变小,排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x).

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分. （13）31 令

x?1得a5?a4?a3?a2?a1?a0??1,再令x?0得a0??32

?a5?a4?a3?a2?a1?31

（14）(??,0)?(10,??)

此圆的圆心为(-1.2),因为要没有公共点,所以根据圆心到直线的距离大于半径即可;或者可以联立方程根据二次函数的??0.

（15）9?

依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.

2r?3?3?3?3 ,

（16）③④

1?Z

要满足对四种运算的封闭,只有一个个来检验，如①对除法如2不满足，所以排除；对

②当M中多一个元素i则会出现1?i?M所以它也不是一个数域；③④成立.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分.

mn?3sinA?cosA?1解:(Ⅰ)由题意得

1

2sin(A?)?1,sin(A?)?662??

由A为锐角得A??6361(Ⅱ)由(Ⅰ)知cosA?,所以f(x)?cos2x?2sinx?1?2sin2x?2sinx

2123 ??2(sinx?)?

2231因为x?R,所以sinx???1,1?,因此,当sinx?时,f(x)有最大值,

22当sinx??1时,f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是??3，?

(18)本小题主要考查直线与平面位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，

考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。

??,A??

??3?2? 解法一：

（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD?平面ABCD=AD, PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1, 所以OB＝2，

在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，

PG122??,?PBO?arctan.22 2在Rt△PBO中，tan∠PBO＝BCarctan所以异面直线PB与CD所成的角是

22.

3（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为2.

设QD?x，则

S?DQC?1x2，由（Ⅱ）得CD=OB=2，

22 在Rt△POC中， PC?OC?OP?2,

所以PC=CD=DP,

S?PCD?33(2)2?,42

AQ1?由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时QD3.

解法二： (Ⅰ)同解法一.

OD、OP的方向分别为x轴、y(Ⅱ)以O为坐标原点，OC、轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O?xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),

P(0,0,1),

＝（?110，，），PB＝（，1?1，?1）. 所以CD

所以异面直线PB与CD所成的角是arccos6， 33， 2 (Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为由(Ⅱ)知CP?(?1,0,1),CD?(?1,1,0). 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).

??nCP?0,??x0?z0?0,??nCD?0,?x?y?0,x0?y0?z0?则?所以?00即，

取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

CQn设Q(0,y,0)(?1?y?1),CQ?(?1,y,0),由

n3?2?1?y，得

3?3,21解y=-2或

5y=2(舍去)，

13AQ?,QD?22，所以存在点Q满足题意，此时AQ?1. 此时

DQ3(19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学

思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.

f(x)? (Ⅰ)证明：因为

x f′(x) f(x) (-∞,-2) + ↗ 13x?x2?2,3所以f??x??x2?2x,

-2 0 极大值 (-2,0) - ↘ 0 0 极小值 (0,+∞) + ↗ 2?(a,a?2a)(n?N)在函数y=f′(x)的图象上, n?1 由点nn?1?a?0(n?N),所以(an?1?an)(an?1?an?2)?0, n 又

所以 故点

Sn?3n?n(n?1)?2=n2?2nS?f?(n), 22,又因为f??n??n?2n,所以n(n,Sn)也在函数y=f′(x)的图象上.

2?f(x)?x?2x?x(x?2), (Ⅱ)解:

?由f(x)?0,得x?0或x??2.

?当x变化时,f(x)﹑f(x)的变化情况如下表:

注意到

(a?1)?a?1?2,从而

a?1??2?a,即?2?a??1时,f(x)的极大值为f(?2)??①当

23,此时f(x)无极小值；

时,f(x)的极小值为f(0)??2,此时f(x)无极大值； ②当a?1?0?a,即0?a?1时,f(x)既无极大值又无极小值. ③当a??2或?1?a?0或a?1(20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能

力.满分12分.

解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.

(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，

211P(A1B1)?P(A1)?P(B1)???323. 则

答：该考生不需要补考就获得证书的概率为

1. 3(Ⅱ)由已知得，?＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

P(??2)?P(A1B1)?P(A1A2)

2111114???????. 3233399

P(??3)?P(A1B1B2)?P(A1B1B2)?P(A1A2B2)

2112111211114?????????????, 3223223326693 P(??4)?P(A1A2B2B2)?P(A1A2B1B2)

12111211111???????????, 3322332218189

4418E??2??3??4??.9993 故

8答：该考生参加考试次数的数学期望为3.

(21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.

解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点， 因为△MNF为正三角形，

OF? 所以

3MN2,

32b,解得b＝3.23 即1＝

x2y2??1.22a?b?1?4,3 因此，椭圆方程为4

(Ⅱ)设

22A(x1,y1),B(x2,y2).

2 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

OA?OB?2a2,AB?4a2(a2?1),

(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

因此，恒有OA?OB?AB.222x2y2x?my?1,代入2?2?1,ab 设直线AB的方程为：

22222222(a?bm)y?2bmy?b?ab?0, 整理得

2b2mb2?a2b2y1?y2?2,y1y2?222a?bma?b2m2 所以

因为恒有 即

OA?OB?AB222，所以?AOB恒为钝角.

OAOB?(x1,y1)(x2,y2)?x1x2?y1y2?0恒成立.

2xx?yy?(my?1)(my?1)?yy?(m?1)y1y2?m(y1?y2)?1 12121212

(m2?1)(b2?a2b2)2b2m2??2?122222a?bma?bm?m2a2b2?b2?a2b2?a2??0.222a?bm

又a?bm?0,所以?mab?b?ab?a?0对m?R恒成立，

2222222222即abm?a?ab?b对m?R恒成立.

2222222当m?R时，abm最小值为0，所以a?ab?b?0.

2222222a2?a2b2?b2,a2??a2?1?b2?b4,

因为a>0,b>0,所以a?b,即a?a?1?0,

221?51?51?5解得a>2或a<2(舍去)，即a>2, 1?5综合（i）(ii)，a的取值范围为（2，+?）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，

1y2b2(a2?1)2?2?1,yA?22abax=1代入=1.

a2?1222222因为恒有OA?OB?AB,2?1?yA??4yA,yA?1，即a>1,

1?51?51?5解得a>2或a<2(舍去)，即a>2.

（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.

x2y2?2?1,2b设直线AB的方程为y=k(x-1)代入a

2222222222得b?akx?2akx?ak?ab?0,

??2a2k2a2k2?a2b2,x2x2?2.22222b?ak 故x1+x2=b?ak因为恒有OA?OB?AB,

2222所以x1?y1?x2?y2??x2?x1???y2?y1?,

22222得x1x2?y1y2?0恒成立.

x1x2?y1y2?x1x2?k2?x1?1??x2?1???1?k2?x1x2?k2?x1?x2??k2

2=1?k??a2k2?a2b22a2k2(a2?a2b2?b2)k2?a2b222?k2?k?b2?a2k2b?a2k2b2?a2k2.

由题意得(a2?a2b2?b2)k2?a2b2?0对k?R恒成立. ①当a?ab?b?0时，不合题意；

22221?52222②当a?ab?b?0时，a=2;

③当a?ab?b?0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,

22223?53?51?51?52. 解得a2>2或a2>2（舍去），a>2，因此a?1?5综合（i）（ii），a的取值范围为（2，+?）.

（22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分. 解法一：

（I）因为f?x??ln?1?x??x，所以函数定义域为（-1,+?）,且f由f由f???x??1?x?1?. 1?x1?x； ?x??0得-1

??x??0得x>0，f(x)的单调递增区间为（0，+?）.

(II)因为f(x)在[0,n]上是减函数，所以bn?f?n??ln?1?n??n, 则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.

an?2(an?2?an)?n?2(n?2?n)?n?2(i)

2n?2?n

>

2n?2?1.n?2?n?2

n?2(n?2?n)?lim21?1?2n?2x???1,

又lim

因此c<1，即实数c的取值范围是（-?，1）.

1?2n?1?2n?1.2n?1（II）由（i）知

1?3?5??(2n?1)因为[2?4?6???(2n)]2

1?33?55?7?2?2?3246=??(2n?1)(2n?1)11?＜,(2n)22n?12n?1

135(2n?1)1＜(2n)2n?1＜2n?1?2n?1(n?N*), 所以246113??224则

?135(2n?1)246(2n)＜

?2a?1?2n?1?2n?1?1.

3?1?5?3?即a1a1a3??a2a2an?a1a3a2n?1＜a2a4a2n2an?1?1(n?N*）

解法二：

（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为f(x)在 则

?0,n?上是减函数，所以bn?f(n)?ln(1?n)?n,

an?ln(1?n)?bn?ln(1?n)?ln(1?n)?n?n.

（i）因为立. 则ccan?2an?2?anc对n∈N*恒成立.所以n?2n?2?n对n∈N*恒成

n?2?n2?2n对n∈N*恒成立.

2g(n)?n?2?n?2n, n∈N*，则c＜g(n)对n∈N*恒成立. 设

考虑

g(x)?x?2?x2?2x,x??1,???.

1?12x?1g′(x)?1?(x?2x)2 (2x?2)?1?2x2?2x 因为

1?x?1x?1＝0，

所以

g(x)在?1,???内是减函数；则当n∈N*时，g(n)随n的增大而减小，

limg(n)?lim(n?2?n2?2n)?limx??x??x??2n?4n?2?n?2n22??limx??4n又因为

221??1?nn＝1.

*n?N,g(n)?1.因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞，1]. 所以对一切

1?2n?1?2n?1.(ⅱ) 由(ⅰ)知2n?1

135(2n?1)1?(n?N?).(2n)2n?1 下面用数学归纳法证明不等式246 11 ①当n=1时，左边＝2，右边＝3，左边<右边.不等式成立. 135(2k?1)1?.(2k)2n?1 ②假设当n=k时,不等式成立.即246当n=k+1时，

1?3?5?（2k－1）(2k?1)12k?12k?1＜???2?4?6?（2k）(2k?2)2k?22k?12k?24k2?8k?34k2?8k?412k?312k?312(k?1)?12k?12k?32k?2?12k?3

?＜?,=

即n＝k＋1时，不等式成立

1?3?5???(2n?1)1＜(n?N*)2?4?6???(2n)2n?1综合①、②得，不等式成立. 1?3?5???(2n?1)＜2n?1?2n?12?4?6???(2n)所以

11?31?3?5???(2n?1)?＋?＋22?42?4?6???(2n)

＜3－1＋5－3＝?＋2n?1?2n?1?1.

aa?a2n?1a1a1a3???＋13＜2an?1?1(n?N*)aaaaa?a24242n即2.

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