抛物线焦点弦问题

江夏一中2013届文科数学一轮复习专题讲座

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一.弦长问题：

2

例1 斜率为1的直线经过抛物线y 4x的焦点，与抛物线相交AB两点，求线段AB的长。

二.通径最短问题：

2

例2：已知抛物线的标准方程为y 2px，直线l过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并

求直线方程。

三．两个定值问题：

2

例3：过抛物线y 2px的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为x1、x2、y1、y2，

p22

求证：x1y1 ，y1y2 p。

4

四．一个特殊直角问题：

2

例4：过抛物线y 2px(P 0)的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线的准

线上的射影分别是A1，B1求证： A1FB1 90。

五．线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题

2

例5：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y x上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y 轴

的最小距离。

六．一条特殊的平行线

例6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

七．一个特殊圆

例7：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

八．一个特殊值：

例8：已知抛物线y2 2px 过焦点F弦AB被焦点分成m、n的两部分，则

【练习】1.已知抛物线x 4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且 （ ＞0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，

（1）证明： 的值；（2）设 ABM的面积为S，写出S f 的表达式，并求S的最小值．

2

112 mnp

2

2.对每个正整数n，An xn,yn 是抛物线x 4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点（1）试证：xn sn 4（n≥1）

（2）取xn 2，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：

n

Bn sn,tn ，

FC1 FC2 FCn 2n 2 n 1 1（n≥1）

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一．弦长问题：

2y 4x的焦点，与抛物线相交A .B两点，求线段AB 例 斜率为1的直线经过抛物线

的长。

分析：

利用弦长公式能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运

根据抛物线的定义， 于是得

d 1 x2

AF x1 1

同理

BF x2 1

AB AF BF x1 x2 2

由题已知

y x 1

y2 4x

2

消去y得x 6x 1 0

故

x1 x2 6

∴

AB 6 2 8

。

注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：二.通径最短问题：

AB x1 x2 p

或

AB y1 y2 p

2y 例：已知抛物线的标准方程为 2px，直线l过焦点，和抛物线交与A.B两点，求

AB的最小值并求直线方程。

解：①如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为

x

p

2 AB 2p

py k(x )

2，与抛物线方程联立方 ②如果斜率存在，不妨设斜率为k，则直线的方程为

程组得

y2 2px

y k(x p)k2p2222

kx (kp 2p)x 0y 24 消去得

x1 x2 p

2p

k2

222

4kp 4p 0 k 0若 则

则

AB x1 x2 p p

2p2p

p 2p k2k2 ABmin 2p

当k 时

AB

最小 即 此时

x

p

2

三．两个定值问题：

2

xxy例：过抛物线 2px的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1、2、

p2

x1y1 y1y2 p2y1y24、，求证：，。 2

证明：①联立 y 2pxp

y k(x 2)

k2p2p2

kx (kp 2p)x 0(k 0)x1x2

44 消去y得

2

2

2

同理消去y可得

y1y2 p2

；

②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；

p2

x1y1 2

yy p124 ， ③斜率不存在时，同样是定值； p2

x1y1 y1y2 p2

4 从上所述：，

四．一个特殊直角问题：

2

y过抛物线 2px(P 0)的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线

的准线上的射影分别是

A1

，

B1

求证：

A1FB1 90

。

xyxy

设A坐标为（1，1）B坐标为（2，2）

ppA1( ,y1)B1( ,y2)

22 ，

FB1 ( P,y2), FB1 ( P,y2)

2

P FA1 FA2

又由上题可知 FA1 FA2 0 ，y1y2 P2 。

1

y 2y

五．线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题

2y例：定长为3的线段AB的两端点在抛物线 x上移动，设点M为线段AB的中点，求

点M到y 轴的最小距离。

11

F(,0)l:x

4，设点A、B、M在准线l上的射影分别是A1、B1、 解：抛物线焦点4,准线

11

AA BB (AA BB) AB1111M1M(x0,y0)22，设点 则

又

MM1 x0

1135

x x 00

4AB 3 ∴42，4，所以

5

x

即0的最小值是4

5

∴点M到y轴的最小距离是4，当且仅当AB过点F

是取得最小距离。

六．一条特殊的平行线

例：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

2y

设抛物线的标准方程为 2px，设P、Q的坐标为

(x1,y1)

，(x2,y2)

PPy1y12( , )x1 22x2p 1 又 则PO的直线坐标为Py1Py1 P2y 2

2y12x1y12p 带入M的纵坐标 P2

y1y2 P y1

y y2y2又M的坐标为0 故直线ＭＱ平行于抛物线的对称轴。

2

七．一个特殊圆

例：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

PF(,0)2

y 2px证明： 设抛物线的方程为 ，则焦点2，

x

2， 准线设以过焦点Ｆ的弦ＡＢ为直径的圆的

P

圆心Ｍ，Ａ 、Ｂ、Ｍ在准线l上的射影分别是

A1

、

B1

、

M1

则

AA1 BB1 AF BF AB

又

MM1

AA1 BB1 2MM1

∴

1

ABMM1MM12，即为以ＡＢ为直径的圆的半径，且准线l⊥

∴命题成立。

本篇总结了过焦点的弦与直线的七条性质，认识这几条性质可以更清楚地认识抛物线。

八．一个特殊值：

例：已知抛物线y2 2px 过焦点F弦AB被焦点分成m、n的两部分，则 ①假设直线AB的斜率不存在 则

112

mnp

m n p

112 mnp

②若AB的斜率存在，不妨设斜率为k则直线AB的方程为

p) y k(x 2

y2 2px设A(x,y)，B(x,y)

1

1

22

则

p2x1 y1 p

2px1x2

4

又m x1

pp n x2 22

11m n

mnmn

x1 x2 p2

pp2px1x2 (x1 x2)

24

【练习】（2006年重庆高考（文）22）对每个正整数n，An xn,yn 是抛物线x 4y上的点，过

2

焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn sn,tn ，

（1）试证：xn sn 4（n≥1）

（2）取xn 2，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：

n

FC1 FC2 FCn 2n 2 n 1 1（n≥1）

（1）证明：焦点（0，1）

设直线An Bn方程为：y knx 1

y knx 12

消去y得 x 4knx 4 0 2

x 4y

∴xn sn 4

（2）由y'

2

x1

x 则y'xn n

22

2

xnxnxn

x xn ，即y x 类似的，x2 4y在Bn故x 4y在An处切线方程为y yn

242

2

snsnsn

x 处切线方程为y tn x sn ，即y 242

x sns x

两式相减得x n代入可得y nn 1

24

x sn

, 1 则点Cn n

2

222

xn2 xn snxn4 xn sn

2 2 2 ∴FCn 4 244x2x nn

xn2 从而FCn 2xn

2

2

2

∴FC1 FC2 FCn

1111 x1 x2 xn 2 2xn x1x2

11 11

2 22 2n 2 2 n 2n 1 2 2 n 1 2n 2 n 1 1

22

2 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0wei.html