葫芦岛市世纪高中2015-2016学年高二第一学期第三次月考试题文科

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………世纪高中2015-2016学年第一学期第三次质量检测试题

……高二数学（文科）

…注意事项:

……本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分．满分150；考试时间：120分钟.

……第Ⅰ卷（共60分）

…一、选择题：本题共12个小题,每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，……只有一项是符合题目要求的.

…1．“如果x、y∈R，且x2＋y2

＝0，则x、y全为0”的否命题是( ) … A．若x、y∈R且x2

＋y2

≠0，则x、y全不为0 …2

2

… B．若x、y∈R且x＋y≠0，则x、y不全为0 … C．若x、y∈R且x、y全为0，则x2

＋y2

＝0 装2

2

… D．若x、y∈R且x、y不全为0，则x＋y≠0

……2．已知f(x)?xlnx，若f'(x0)?2，则x0＝( )

…订…A． e B． e2 C.

ln2…2 D．ln2 …

…3.下列四个命题中真命题的个数是（ ）

线①“x?1”是“x2?3x?2?0”的充分不必要条件

…②命题“?x?R，sinx?1”的否定是“?x?R，sinx?1” …③“若…am2?bm2，则a?b”的逆命题为真命题

…④命题p:?x??1,???，lgx?0，命题q:?x?R，x2?x?1?0，则p?q为真命

…题

…A．0 B．1 C．2 D．3

…4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，…从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） …… A.

3111…10 B.5 C.10 D.20 …

…5. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输…出S的值为（ ）

…A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 … … …

高二数学试题 1

数学试卷

6．设曲线y＝

x＋1

x－1

在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( ) A．2 B. －2 C．－11

2 D． 2

7．若f(x)＝－12

x2

＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是( )

A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)

8.设椭圆C:x2y2a2?b2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2, P是C上的点，

PF2?F1F2,?PF1F2?30?，则C的离心率为( )

A.

36 B.1133 C.2 D.3

9.抛物线y2?4x的焦点为F,准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）

A．33 B．43 C．63 D．83

10.已知函数y?f?x?的图像在点?1,f?1??处的切线方程是x?2y?1?0，若

g?x??xf?x?，则g??1??（ ） A.132 B.?12 C.?2 D.2

在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a,b.则方程x2y211.a2?b2?1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为（ ）

A. 15173132 B. 32 C. 32 D.12

12．f(x)为定义在R上的可导函数，且f'(x)?f(x)，对任意正实数a，则下列式子

成立的是( )

A．f(a)?eaf(0) B．f(a)?eaf(0) C．f(a)?f(0) D．f(a)?f(0)eaea

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分

x216－y213.双曲线m＝1的离心率为5

4，则m等于________．

14. 函数y＝12

x2

－lnx的单调减区间为________．

15. 设F为抛物线C：y2

＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝ .

16.函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x) >x的解集为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）

某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为

[40,50],[50,60],,?????,[80,90],[90,100] （1）求频率分布图中a的值；

（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（3）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率.

18．（本小题满分12分）

设p：实数x满足x2?4ax?3a2?0，其中 a?0；q：实数x满足x2?x?6?0或x2?2x?8?0。且?p是?q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

高二数学试题 数学试卷

19.(本小题满分12分)

设函数f(x)＝－13

x3＋x2＋(m2

－1)x(x∈R)，其中m>0.

(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))点处的切线的方程； (2)求函数f(x)的单调区间与极值； 20.（本小题满分12分）

设Fx21,F2分别为椭圆W: 2?y2?1的左、右焦点，斜率为k的直线l经过右焦点F2，且与椭圆W相交于A、B两点. （1）求?ABF（2）如果???F?1的周长；

????1A?F1B?0，求直线l的斜率k.

21．（本小题满分12分）

x2如图，椭圆E:a?y222b2?1(a?b?0)经过点A(0,?1)，且离心率为2.

(I)求椭圆E的方程；

(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q（均异于点A），

证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.

22. （本小题满分12分）

已知函数f(x)＝(a－12

)x2

＋lnx，(a∈R)．

(1)当a＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；

(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y＝2ax下方，求a的取值范围．2

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高二数学（文科）答案

一．选择题：1—12 BADCB BCDCA AB

13. 9. 14. (0,1) 15. 12 16. (2，＋∞)

二．填空题：三．解答题： 17. 解：（Ⅰ）因为(0.004?a?0.0018?0.022?2?0.028)?10?1，所以a?0.006 （Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022?0.018)?10?0.4，

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4. （Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为A1,A2,A3; 受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为B1,B2.

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是?A1,A2?,?A1,A3?,?A1,B1?,?A1,B2?,

?A2,A31?,?A2,B1?,?A2,B2?,?A3,B1?,?A3,B2?,?B1,B2?,又因为所抽取

2人的评分都在

[40,50)的结果有1种，即?B11,B2?，故所求的概率为p?10.

18. 解：由x2?4ax?3a2?0得 3a?x?a

由x2?x?6?0得 ?2?x?3；由x2?2x?8?0得 x?2或x??4 所以 q：x??4或x??2

由 ?p是?q的必要不充分条件 可得 p是q的充分不必要条件．

所以 a??4 或 ??3a??2a?0 所以 a的取值范围为 {a|2??3?a?0或a??4}．

19. 解：(1)当m＝1时，f(x)＝－13

x3＋x2，f′(x)＝－x2

＋2x，故f′(1)＝1.

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1. 切线方程为3x－3y－1＝0.

(2)f′(x)＝－x2

＋2x＋m2

－1，令f′(x)＝0，得到x＝1－m或x＝1＋m. 因为m>0，所以1＋m>1－m.

当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：

x (－∞，1－m) 1－m (1－m,1＋m) 1＋m (1＋m，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  极小值  极大值 

高二数学试题 3

数学试卷

f′(x)在(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)内减函数，在(1－m，1＋m)内增函数．

函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝2321

3m＋m－3.

函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)， 且f(1－m)＝－23m3＋m2－1

3.

20. 解：（1）椭圆W的长半轴长a?2，左焦点F1(?1,0)，右焦点F2(1,0)，

由椭圆的定义，得|AF1|?|AF2|?2a，|BF1|?|BF2|?2a，

所以?ABF1的周长为|AF1|?|AF2|?|BF1|?|BF2|?4a?42.?? 4分 （2）设直线AB的方程为y?k(x?1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

?由 ?x2?2?y2?1, 得 (1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0，

??y?k(x?1),所以 x4k2，x2k2?21?x2?1x2?. ?? 8分 因为???F?1?2k22 1,y????1?2k1)，F1B?(x2?1,y2)， 由???F????AF??(x1?1????????1A?1B?0，得F1A?FB1?x1x2?(x1?x2)?1?y1y2

?x1x2?(x1?x2)?1?k2(x1?1)(x2?1)

?(1?k2)x21x2?(1?k2)(x1?x2)?1?k

?(1?k2)?2k2?21?2k2?(1?k2)?4k21?2k2?1?k2?0 , 解得k??77. ?? 12分 21.

2

(II)由题设知，直线PQ的方程为y?k(x?1)?1(k?2)，代入x2?y2?1，得 (1?2k2)x2?4k(k?1)x?2k(k?2)?0，

由已知??0，设P?x1y1?,Q?x2y2?，x1x2?0

则x4k(k?1)1?x2?1?2k2,x2k(k?2)1x2?1?2k2， 从而直线AP与AQ的斜率之和

k1?1y2?1kx1?2?kkx2?2?kAP?kAQ?yx??? 1x2x1x1 ?2k?(2?k)??1x?1???2k?(2?k)x1?x2?1x2?x

1x2 ?2k?(2?k)4k(k?1)2k(k?2)?2k?2(k?1)?2.

2

22. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝121x＋1

2x＋lnx(x>0)，f′(x)＝x＋x＝x.对于x∈[1，e]，

有f′(x)>0，∴f(x)在区间[1，e]上为增函数．

∴f(x)(e)＝1＋e21

max＝f2，f(x)min＝f(1)＝2

.

(2)令g(x)＝f(x)－2ax＝(a－12

2

)x－2ax＋lnx，则g(x)的定义域为(0，＋∞)．

在区间(1，＋∞)上函数f(x)的图像恒在直线y＝2ax的下方，等价于g(x)<0在区间(1，＋∞)上恒成立．

∵g′(x)＝(2a－1)x－2a＋1（2a－1）x2

－2ax＋1

x＝x ＝

（x－1）[（2a－1）x－1]

x，

①若a>12，令g′(x)＝0，得极值点x1

1＝1，x2＝2a－1

. 当x1

2>x1＝1，即2

0，此时g(x)在区间(x2，＋∞)

上是增函数，并且在该区间上有g(x)∈(g(x2)，＋∞)，不合题意；

当x2≤x1＝1，即a≥1时，同理可知，g(x)在区间(1，＋∞)上，有g(x)∈(g(1)，＋∞)，也不合题意．

②若a≤1

2

，则有2a－1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g′(x)<0，从而g(x)在

区间(1，＋∞)上是减函数．

要使g(x)<0在此区间上恒成立，只须满足g(1)＝－a－12≤0?a≥－12.即a∈[－11

2，2

]．

综合①②可知，a的取值范围是[－11

2，2

]．

高二数学试题 数学试卷

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