《高等数学（二）》 作业及参考答案

《高等数学(二)》作业

一、填空题

1．点A（2，3，-4）在第 卦限。

222．设f(x,y)?x?xy?ysiny,则f(tx,ty)? . x3．函数x?y?21的定义域为 。 y54．设f(x,y)?xy?yx,则?f? 。 ?y5．设共域D由直线x?1,y?0和y?x所围成，则将二重积分

得 。

??f(x,y)d?D化为累次积分

6．设L为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分(x?y)ds= 。

L?7．平面2x?2y?z?5?0的法向量是 。

8．球面x2?y2?z2?9与平面x?y?1的交线在x0y面上的投影方程为 。

229．设z?u?v,而u=x-y,v=x+y,则?z? 。 ?x10．函数z?x?y的定义域为 。

2211．设n是曲面z?x?y及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为

到 。

???f(x,y,z)dxdydz为三次积分，得

n12．设L是抛物线y?x上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则(x2?y2)dx? 。

2?L的模M1M2? ；向量M1M2的方向余弦13．已知两点M1(1,3,1)和M2(2,1,3)。向量M1M2cos?= ，cos?= ，cos?? 。

14．点M（4，-3，5）到x轴的距离为 。 15．设z?uv?sint,而u?cost,v?lnt,则全导数222dz? 。 dt16．设积分区域D是：x?y?a(a?0)，把二重积分

得 。

??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分，

D17．设D是由直线x?0,y?0和x?y?1所围成的闭区域，则二重积分

??xd?= 。

D18．设L为XoY面内直线x=a上的一段直线，则p(x,y)dx= 。

L?19．过点p0(x0,y0,z0)作平行于z轴的直线，则直线方程为 。 20．点（2，4，8）关于z轴的对称点的坐标是 。

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?2r?2r?2r21．设r?x?y?z,则2?2?2? 。

?x?y?z22．设z?yx,则dz? 。

22223．设L是从点A（-1，0）到点B（1，0）的直线段，则曲线积分y2dx? 。

?L24．设D是矩形区域：x?1,y?1，则二、计算题 1．求下列极限：

（1）lim22(x?y)d?= 。 ??Dx?yxe

x?1xyy?22?xy?4

x?0xyy?0（2）lim（3）lim(x2?y2)sinx?0y?01x?y22

（4）limx?0y?0xy

1?xy?1x2y（5）lim2

x?0x?y2y?02．求下列函数的偏导数：

（1）z?x2y?xsiny; （2）z?xy。 （3）z?(1?2xy)x （4）z?arctany x（5）u?lntan()xy;

3．改变下列二次积分的次序：

?dx?12x21f(x,y)dy。

334．利用曲线积分计算星形曲线x?acost,y?asint所围成的图形的面积。

5．计算二重积分6．计算三重积分

??Dx2?y2d?,其中D是圆球形区域:a2?x2?y2?b2(b?a?0).

???xdxdydz,其中?是三个坐标面及平面x?2y?z?1所围成的闭区域。

?第 2 页 共 9 页

7．验证：在整个xoy面内，xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分。 8．证明曲线积分9．计算

?(2,1)(1,0)(2xy?y4?3)dx?(x2?4xy3)dy在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值。

??xyd?，其中D是由直线x?2,y?1及y?x所围成的闭区域。

D222222，其中Ω是球面x?y?z?1所围成的区域。 (x?y?z)dv???10．利用球面坐标计算三重积分：

?

《高等数学（二）》作业参考答案

一、填空题

1．VIII

2tf(x,y) 2．

3．

?(x,y)x?y?0?

24．x5．

?5xy4x0

?dx?01f(x,y)dy或?dy?011yf(x,y)dx

6．

2 7．（2，-2，1）

8．

??x2?y2?(1?x)2?9z?0

9．-4y 10．

(x,y)x?0,y?0,x2?y

1?11．

??1dx?1?x2?1?x2dy?21x?y2f(x,y,z)dz

12．?56 1512213．3;,?,

33314．34

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1?lntsint?cost?cost 15．

t16．

?2?0d??f(rcos?,rsin?)rdr.

0a117．

618．0

x?x019．

0?y?y00?z?z01.

20．（-2，-4，8）

221．

r22．

ylnydx?xydy.

xx?123．0

824．

3

二、计算题 1.

1.(1)解lim(2)解lim??limx?yx1?213e?e?ex?1xy1?22y?22?xy?4?xy?lim x?0x?0xy(2?xyxy?4)y?0y?011??x?02?4xy?4y?0（3）解：

lim(x2?y2)?0,x?0y?0又当x?0,y?0时sin1有界, 22x?y?lim(x2?y2)sinx?0y?01?0.22x?y第 4 页 共 9 页

（4）解：

limx?0y?0xy(1?xy?1)xy?lim?0(1?xy?1)(1?xy?1)1?xy?1xy?0xy(1?xy?1)xy

?limx?0y?0?lim(1?xy?1)x?0y?0?2

（5）解：

0?xyx?y222?y又limy?0x?0y?0

?limx?0y?0x2yx?y22?02.

2.(1)解:?z?2xy?siny,?x?z?x2?xcosy.?y ?z(2)解:?yxy?1,?x?z?xylnx?y （3）解：

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