苏科版八年级数学上册 勾股定理单元复习折叠模型+等面积法(经典版)2

【知识要点】

1. 勾股定理的概念：

如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ·CD=AC ·BC 2. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个

三角形是直角三角形，其中为斜边。

3. 勾股数：

①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数

（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。）

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：

（为正整数）；

（为正整数）

（，为正整数）

4.判断直角三角形：

（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。 （经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c ）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）

5.直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°

可表示如下： BC =AB

∠C=90°

c 3,4,56,8,105,12,137,24,25n 221,2,1n n n -+2,n ≥n 2221,22,221n n n n n ++++n 2222,2,m n mn m n -+,m n >m n ??21

A B

C

a b c

弦股勾

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

∠ACB=90°

可表示如下：CD =AB = BD = AD

D为AB的中点

6.数轴上表示无理数

第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和

第二步：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。

考点3：折纸问题

例1：（2017立达期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边=6 cm, =8 cm，

现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为( )

A. 4 cm

B. 5 cm

C. 6 cm

D. 10 cm

例2： . （2017年张家港期中）如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，折叠该纸片使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交与点E，若AD＝BD，求折痕BE的长．

例3：（2017吴江期中）一张长方形纸片宽AB=8 cm，长BC=10 cm．现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)，求EC的长．

?2

1

AC BC ABC

?B A DE BE

例4 （2017园区期中）如图，动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5．折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A'处，折痕为PQ ，当点A'在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A'在BC 边上可移动的最大距离为_______．

例5 (2018昆山期中)如图，矩形中，，，为上一点，将

沿翻折至，与相交于点，且，与交于点.

(1)求证:;

(2)求线段的长.

例6 如图,长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,设点D 落在D'处,BC 交AD'于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积.

ABCD 8AB =6BC =P AD ABP BP EBP PE CD O OE OD =BE CD G AP DG =

AP

考点4：面积相关（等面积法）

例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝5，BC＝12，求CD的长度。

例2:△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于

点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE、DF、BN三者

的数量关系为；

例3 在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是______．

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