第五章 二次型

第五 二次型 §1 二次型及其矩阵表示

一、二次型及其矩阵表示

设P是一个数域,一个系数在数域P中的x1,?,xn的二次齐次多项式

f(x1,x2,?,xn)?a11x1?2a12x1x2???2a1nx1xn?a22x2???2a2nx2xn???annxn222(1)称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型.

定义1 设x1,?,xn;y1,?,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

?x1?c11y1?c12y2???c1nyn,??x2?c21y1?c22y2???c2nyn, (2) ???????????xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn?称为由x1,?,xn到y1,?,yn的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式

cij?0,那么线性替换(2)就称为非退化的.

线性替换把二次型变成二次型.

令aij?aji,i?j.由于xixj?xjxi,所以二次型(1)可写成

f(x1,x2,?,xn)?a11x1?a12x1x2???a1nx1xn?a21x2x1?a22x2???a2nx2xn??????an1xnx1?an2xnx2???annxnnij2n22

???ai?1j?1xixj(3)把(3)的系数排成一个n?n矩阵

?a11??a21 A?????a?n1a12a22?an2????a1n??a2n?, (4) ???ann??它称为二次型(3)的矩阵.因为aij?aji,i,j?1,2,?,n,所以

A??A

把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令

?a11??a21X?AX??x1,x2,?,xn?????a?n1a12a22?an2????a1n??x1??a2n??x2???????ann???xn??????????? ????a11x1?a12x2???a1nxn??a21x1?a22x2???a2nxn??x1,x2,?,xn????????????ax?ax???axn22nnn?n11nnij???ai?1j?1xixj或

f(x1,x2,?,xn)?X?AX

应该看到二次型(1)的矩阵A的元素,当i?j时aij?aji正是它的xixj项的系数的一半,而aii是xi2项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型

f(x1,x2,?,xn)?X?AX?X?BX

且A??A,B??B,则A?B.

令

?c11??c21C?????c?n1c12c22?cn2????c1n??y1????c2n?y?2?,Y????, ????????cnn??yn?于是线性替换（4）可以写成

?x1??x2????x?n??c11????c21????????c??n1c12c22?cn2????c1n????c2n????????cnn???y1??y2? ???yn??或者

X?CY.

经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系.

设

f(x1,x2,?,xn)?X?AX,A?A? (7)

是一个二次型，作非退化线性替换

X?CY (8)

得到一个y1,y2,?,yn的二次型

Y?BY ，

二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵A与B的关系. 把（8）代入（7），有

f(x1,x2,?,xn)?X?AX?(CY)?A(CY)?Y?C?ACY?Y?(C?AC)Y?Y?BY.

易看出，矩阵C?AC也是对称的，由此即得

B?C?AC.

这是前后两个二次型的矩阵的关系。

定义2 数域P上两个n阶矩阵A，B称为合同的，如果有数域P上可逆的

n?n矩阵C,使得

B?C?AC.

合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质: 1) 自反性:任意矩阵A都与自身合同. 2) 对称性:如果B与A合同,那么A与B合同.

3) 传递性:如果B与A合同,C与B合同,那么C与A合同.

因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。这样把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。

最后指出，在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何上看，这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线性替换

X?CY

是非退化时，由上面的关系即得

Y?C?1X.

这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.

§2 标准形

一、二次型的标准型

二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型

d1x1?d2x2???dnxn222. （1）

定理1 数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式.

易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵，

d1x1?d2x2???dnxn?d1??0??x1,x2,?,xn?????0?2220d2?0????0??x1????0??x2?

.??????????dn???xn?反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为：

定理2 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.

定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使

C?AC

成对角矩阵.

二次型f(x1,x2,?,xn)经过非退化线性替换所变成的平方和称为

f(x1,x2,?,xn)的标准形.

例 化二次型

f(x1,x2,?,xn)?2x1x2?2x1x3?6x2x3

为标准形.

二、配方法

1.a11?0,这时的变量替换为

性指数；它们的差p?(r?p)?2p?r称为f(x1,x2,?,xn)的符号差.

应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.

定理5 （1）任一复对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵：

?1????1???????????I???r?0??O???0??O?.

?O??其中对角线上1 的个数等于A的秩.

（2）任一实对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵：

?Ip??0??00?Ir?p00??0?, ?0?其中对角线上1的个数p及-1的个数r?p（r等于A的秩）都是唯一确定的，分别称为A的正、负惯性指数，它们的差2p?r称为A的符号差..

§4 正定二次型

一、正定二次型

定义4 实二次型f(x1,x2,?,xn)称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1,c2,?,cn都有

实二次型

f(x1,x2,?,xn)?d1x1?d2x2???dnxn222f(c1,c2,?,cn)?0.

是正定的当且仅当di?0,i?1,2,?,n.

设实二次型

nnijf(x1,x2,?,xn)???ai?1j?1xixj,aij?aji, (1)

是正定的，经过非退化实线性替换

X?CY (2)

变成二次型

nnij g(y1,y2,?,yn)???bi?1j?1yiyj,bij?bji, (3)

则y1,y2,?,yn的二次型g(y1,y2,?,yn)也是正定的，或者说，对于任意一组不全为零的实数k1,k2,?,kn都有g(k1,k2,?,kn)?0.

因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换

X?CY?1

变到二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变.

二、正定二次型的判别 定理6 实数域上二次型

n.

f(x1,x2,?,xn)是正定的

?它的正惯性指数等于

定理6说明，正定二次型

22f(x1,x2,?,xn)的规范形为

2y1?y2???yn (5)

定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型

X?AX

正定.

因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的?它与单位矩阵合同.

推论 正定矩阵的行列式大于零. 定义6 子式

a11Pi?a21ai1a12?a22?a1ia2i(i?1,2,?,n)

???????ai2?aii称为矩阵A?(aij)nn的顺序主子式. 定理7 实二次型

nnijf(x1,x2,?,xn)???ai?1j?1xixj?X?AX

是正定的?矩阵A的顺序主子式全大于零. 例 判定二次型

f(x1,x2,x3)?5x1?x2?5x3?4x1x2?8x1x3?4x2x3

222是否正定.

定义7 设f(x1,x2,?,xn)是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数

c1,c2,?,cn都有f(c1,c2,?,cn)?0,那么f(x1,x2,?,xn)称为负定的；如果都有

f(c1,c2,?,cn)?0f(c1,c2,?,cn)?0，那么，那么

f(x1,x2,?,xn)称为半正定的；如果都有

f(x1,x2,?,xn)称为半负定的；如果它既不是半正定又不

是半负定，那么

f(x1,x2,?,xn)就称为不定的.

f(x1,x2,?,xn)是负定

由定理7不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当时，?f(x1,x2,?,xn)就是正定的.

定理8 对于实二次型等价：

（1）

f(x1,x2,?,xn)?X?AX，其中A是实对称的，下列条件

f(x1,x2,?,xn)是半正定的；

（2）它的正惯性指数与秩相等； （3）有可逆实矩阵C，使

?d1???d2??C?AC?? ?????dn???其中di?0,i?1,2,?,n；

（4）有实矩阵C使

A?C?C.

（5）A的所有主子式皆大于或等于零；

注意，在（5）中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如

?02f(x1,x2)??x2?(x1,x2)??0?0??x1????1???x2? ???就是一个反例.

证明 Th8,(5)?(1) 设A的主子式全大于或等于零，Am是A的m级顺序主子式，Am是对应的矩阵

??a11?Em?Am?a21?am1??ma12????a1ma2m???a22?am2m?1

??amm?P1????Pm?1??Pm其中Pi是Am中一切i级主子式之和，由题设Pi?0，故当??0时，?Em?Am?0，

?E?A是正定矩阵.

???b1若A不是半正定矩阵，则存在一个非零向量X0b2?bn?，使

?AXX00??C(C?0)

令 ??C?X0X0?Cb?b???b21222n?0

?C?C?0

?(?E?A)X0?X0??EXX00?AX?X00与??0时?E?A是正定矩阵矛盾，故A是半正定矩阵.

Th8(1)?(5) 记A的行指标和列指标为i1,i2,?,ik的k级主子式为Ak，对应矩阵是Ak，对任意Y0??bi,bi,?,bi??0，有X0??c1,c2,?,cn??0,其中

12k?bj,j?i1,i2,?,ik;cj??

?0,j?i1,i2,?,ik,?AX0?0. 又A是半正定矩阵,从而 Y0?AkY0?X0若Ak?0，则P234,12T，存在Y?0使Y?AkY?0与Y?AkY?0矛盾，所以

Ak?0.

◇设A为n级实矩阵，且A?0，则A?A,AA?都是正定矩阵. ◇设A为n?m实矩阵，则A?A,AA?都是半正定矩阵.

证明 A?A是实对称矩阵，?X?Rn令U?AX，则U是m维实向量

?U??u1,u2,?,um?

?222X?(A?A)X?(X?A?)(AX)?U?U?u1?u2???um?0

?A?A 是半正定矩阵，同理可证AA?是半正定矩阵.

◇设A是n级正定矩阵，则k?0时，A?1,kA,A*.An都是正定矩阵. 证明 由于A正定，存在可逆矩阵C，使C?AC?E,

?C?1A?1(C?)?1?E,从而A?1为正定矩阵.

?0?X?Rn,X?AX?0,?X?(kA)X?0(k?0)

?kA正定

又A正定，A?0 ,A?1正定,A*?AA?1正定.

Ak?Akk?0,A对称

当m?2k时，Am?A2k?(Ak)?EAk,从而Am正定. 当m?2k?1时, Am?A2k?1?(Ak)?A(Ak) 所以Am与A合同，因而Am正定.

第五章 二次型(小结)

一、二次型与矩阵 1. 基本概念

二次型;二次型的矩阵和秩;非退化线性替换;矩阵的合同. 2. 基本结论

(1) 非退化线性替换把二次型变为二次型.

(2) 二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX可经非退化的线性替换Xf?(y1,y2,?,yn)?Y?AY?B?C?AC.

?CY化为二次型

(3) 矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性. 二、标准形 1. 基本概念

二次型的标准形;配方法. 2. 基本定理

(1) 数域P上任意一个二次型

X?CYf(x1,x2,?,xn)都可经过非退化的线性替换

化为标准形式d1y12?d2y22???dnyn2.

(2) 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 三、唯一性 1. 基本概念

复二次型的规范形;实二次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差. 2. 基本定理 (1) 任一复二次型

f(x1,x2,?,xn)都可经过非退化的线性替换X?CY化为唯

一的规范形式z12?z22???zr2,r?f的秩.

因而有:两个复对称矩阵合同?它们的秩相等.

(2) 惯性定律:任一实二次型f(x1,x2,?,xn)都可经过非退化线性替换

X?CY化为唯一的规范形式

z1???zp?zp?1???zr,r?f2222的秩,

p为

f(x1,x2,?,xn)的惯性指数.因而两个n元实二次型可经过非退化线性替换互

化?它们分别有相同的秩和惯性指数.

(4) 实二次型的标准形式中系数为正的平方项的个数是唯一确定的,它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.

四、正定二次型 1. 基本概念

正定二次型，正定矩阵;顺序主子式，负定二次型，半正定二次型，半负定二次型，不定二次型.

2. 基本结论

(1) 非退化线性替换保持实二次型的正定性不变. (2) 实二次型

f(x1,x2,?,xn)?X?AX正定?

① A与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵P,使得A?P?P; ② A的顺序主子式都大于零. ③

f(x1,x2,?,xn)的正惯性指数等于n.

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