外力作用下的振动

外力作用下的振动

【学习目标】

1．知道什么是阻尼振动和阻尼振动中能量转化的情况。

2．知道做受迫振动物体的振动频率跟固有频率无关，而等于驱动力的频率。 3．知道共振以及发生共振的条件，知道共振的应用和防止的实例。 4．会用单摆测定重力加速度．

5．学会用公式法和图像法处理实验数据． 【要点梳理】

要点一、振动的分类 1．振动的分类

按振子受力的不同可将振动分为： （1）自由振动（又称固有振动）．

回复力是系统内部的相互作用力．弹簧振子的弹力是系统内部的力，单摆的重力的切向分量也是系统内部的力．

（2）阻尼振动．

系统受到摩擦力或其他阻力．系统克服阻力的作用要消耗机械能．因而振幅减少，最后停下来，阻尼振动的图像如图所示．

要点诠释： 物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定。并不会随振幅的减小而变化．例如：用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变．

（3）受迫振动．

如系统受到周期性外力的作用，就可以利用外力对系统做功，补偿系统因阻尼作用而损失的能量，使系统持续地振动下去．

这种周期性的外力叫驱动力．

系统在驱动力作用下的振动叫受迫振动． 2．受迫振动的频率

系统做受追振动的频率总是等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关． 3．共振

系统做受迫振动时，如果驱动力的频率可以调节，把不同频率的驱动力先后作用于同—个振动系统，其受迫振动的振幅将不同，如图是共振曲线图．

驱动力频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振．

要点诠释：驱动力频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振． 要点二、共振的应用与防止 1．共振的应用与防止

（1）共振的应用：由共振的条件知，要利用共振就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致．如：共振筛、共振转速计、共鸣箱、核磁共振仪等．

①共振筛：共振筛是利用共振现象制成的．把筛子用四根弹簧支起来，在筛架上安装一个偏心轮，就成了共振筛．偏心轮在发动机的带动下转动时，适当调节偏心轮的转速，可以使筛子受到的驱动力的频率接近筛子的固有频率，筛子发生共振，提高了筛选工作的效率．

②共鸣箱：乐器发出的声音也作为驱动力使乐器箱内的空气做受迫振动．当满足共振条件时，箱内空气处于共振状态而有较大的振幅，这种声音的共振现象通常叫做共鸣．各种各样的乐器如小提琴、大提琴、二胡、琵琶……它们都有形状不同、构造各异的共鸣箱，靠箱内空气的共鸣，才发出洪亮、美妙、动听的声音．

③在无线电接收技术中用到的电谐振，它是共振的另一种表现形式．

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（2）共振的防止：由共振曲线可知，在需要防止共振时，要尽量使驱动力的频率和物体振动的固有频率不相等，而且相差越多越好．

要点诠释：如：部队过桥时，为避免周期性的驱动力使桥发生共振，应便步走． 2．微波炉原理

微波炉的微波频率与水分子振动的固有频率2500 MHz非常接近，因此，当微波照射到食物时，微波施加的驱动力使食物中的水分子做受迫振动，并且处于共振状态而剧烈振动，使食物的温度迅速升高．由于这种“加热”方式是从里到外同时发生的，所以比其他煮熟食物的方式更快捷．

3．减振原理

思路一是给被保护的物体加一层减振的阻尼材料（如泡沫塑料等），使冲击过程的机械能尽可能多地转化为阻尼材料的内能，减轻被保护物体受到的冲击作用．思路二是在物体与外界冲击作用之间安装一个“质量一弹簧”系统，如果该系统的固有周期比外界冲击力的周期大很多，它不会及时地把该冲击力传递给物体，这种延缓的过程实际上对冲击力起到了平均的作用．

4．声音的共振现象（共鸣）

如：取两个频率相同的音叉A和B，相距不远并排放在桌面上，敲击音叉A的叉股，使它发声，过一会儿用手抓住音叉A的叉股，可听到没有被敲的音叉B在发声．说明B受A的驱动作用而发生了共振．

声音的共振在乐器上应用很广泛，如小提琴、二胡等，通过共振现象，可以增加声强，改善音色． 二胡、小提琴等弦乐器主要是由弦的振动带动周围空气振动而发声的．

二胡、小提琴等弦乐器都带有一个“箱子”，这是因为这些“箱子”中都有空气，当弦乐器中的弦振动发声时，对“箱子”中的空气柱有一个周期性的驱动力，使“箱子”中的空气柱也振动起来，改变“箱子”的大小和形状，就会改变空气柱的固有频率，当它的固有频率与驱动力的频率相同时，就会出现声音的共振现象——共鸣，使乐器中原来的声音变得洪亮动听，因此把这个“箱子”叫做共鸣箱．

弦乐器的弦一般很细，与周围空气的接触面积很小，即使再强烈的弦振动，也搅动不了多少空气，所以它发出的声音也不会很强，但是，把弦的振动传给共鸣箱后，就能搅动许多空气，这样就把声音放大了．

要点诠释：乐器的共鸣箱不仅有放大声音的作用，而且兼有改善音色的作用．如：音箱的固有频率在低音范围，演奏到某些音调时，由于共鸣的作用，发音可以很强，使音色浑厚动听． 要点三、利用单摆测定重力加速度

1．实验内容 （1）实验目的：

利用单摆测定当地的重力加速度，巩固和加深对单摆周期公式的理解． （2）实验原理：

4?2ll 单摆在偏角很小时，可看成简谐运动，其固有周期T?2?，可得g?．据此，通过实

T2g验方法测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度值．

（3）实验器材：

铁架台及铁夹，金属小球（最好上面有一个通过球心的小孔），秒表，细线（1 m左右），刻度尺（最小刻度为mm）． （4）实验步骤：

①让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．

②将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．

③用刻度尺测量单摆的摆长（摆线静止悬挂时从悬点到球心间的距离）．

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④把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角不太大，再释放小球．当摆球摆动稳定以后，过最低位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次（或50次）的时间，求出1次全振动的时间，即单摆的振动周期．

4?2l⑤改变摆长，反复测量三次，将算出的周期T及测得的摆长l代入公式g?，求出重力加速2T度的值，然后求g的平均值． 2．实验数据的处理

4?2l （1）平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g?中，求出g值，并最后求

T2出g的平均值．

4?2l22

l，作出T2?l　 （2）图像法：由T?2?，得T?图像，即以T为纵轴，以l为横轴．其gg4?2斜率k?，由图像的斜率即可求出重力加速度g．

g 3．实验注意事项

（1）选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1m，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm．

（2）单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象．

（3）注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不太大，可通过估算振幅的办法掌握． （4）摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．

（5）计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时为好，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次（如30次或50次）全振动的时间，用取平均值的办法求周期． 4．误差的分析

（1）本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，是单摆还是复摆．球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等等．只要注意了上面这些方面，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差，达到忽略不计的程度．

（2）本实验偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量上．因此，要注意测准时间（周期），要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，进行多次测量后取平均值．

（3）本实验中长度（摆线长、摆球的直径）的测量时，读数读到毫米位即可（即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米位），时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可，秒表读数不需要估读．

5．其他测重力加速度的方法

（1）滴水法测重力加速度．滴水法测重力加速度的过程是这样的：让水龙头的水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整盘子的高度，让前一滴水滴到盘子时后一滴恰好离开水龙头，测出几滴水落到盘子中的总时间t，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差h，即可算出重力加速度．

这种实验方法简单易行，只是在操作上有些麻烦，比如在处理让前一滴水滴到盘子时后一滴水恰好离开水龙头，仅凭人眼大致判断有点难度．由于水滴下落的时间很短，为减少误差，应测几十滴水的总下落时间再算一滴水下落的时间，这也是累计法的运用．

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（2）用验证机械能守恒定律的实验装置测重力加速度：用

1212mv2?mv1?mgh，为减少误差，22除去前面几个点，从后面点迹清楚稳定的计时点中取两点，量出下落高度和算出两点的速度，不必测

质量．

此方法仪器现成，学生对实验装置熟悉，原理清楚，主要的实验误差是纸带与限位孔间的摩擦造成的，可通过增加所挂物体的质量来减少误差．

（3）利用平抛物体的实验装置测重力加速度：在画好平抛曲线的坐标纸上，先求出初速度，再依次取3个水平等间隔的点，算出它们的时间间隔，量出它们在竖直方向上的位移，用匀变速直线运动

2公式s2－s1?gT可得．

此方法设备也是现成的，由于画曲线时人为因素较大，相比较而言误差较大． 【典型例题】

类型一、阻尼振动的理解

例1．一单摆做阻尼振动，则在振动过程中（ ）． A．振幅越来越小，周期也越来越小 B．振幅越来越小，周期不变

C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变 D．振动过程中，机械能不守恒，周期不变

【思路点拨】阻尼振动的周期是不变的，但它不等于固有周期．

【答案】B、D

【解析】该题考查阻尼振动的能量和周期．因单摆做阻尼振动。所以振幅越来越小，机械能越来越小．振动周期不变，只是比单摆的固有周期大．

【总结升华】阻尼振动的周期是不变的，但它不等于固有周期．很多资料上都认为两者相等．这是不对的． 举一反三:

【变式】如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，而用手往下拉振子，放手使之上下振动，测得振子在10s内完成20次全振动，然后匀速转动摇把，转速为240r/min． 　．当振子振动稳定时，其振动周期为（ ）

A．0.5s B．0.25s

C． 2s D．4s 【答案】B

类型二、阻尼振动中的能量

例2．如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是（ ）． A．摆球在A时刻的动能等于B时刻的动能 B．摆球在A时刻的势能等于B时刻的势能 C．摆球在A时刻的机械能等于B时刻的机械能 D．摆球在A时刻的机械能大于B时刻的机械能

【答案】B、D

【解析】该题考查阻尼振动的图像以及能量的转化关系．在单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功使机械能逐渐转化为内能，C项错误，D项正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化．由于A、B两时刻，单摆的位移相等，所以势能相等，但动能不相等，A项错误，B项正确．

【总结升华】机械能E等于动能Ek和势能Ep之和．即E?Ek?Ep，阻尼振动中，E减小，但

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动能和势能相互转化．当Ep相等时，Ek不相等．而从振动图像上，可以确定Ep的关系．

举一反三:

【变式】在一根张紧的绳下端挂几只摆球，如图所示．其中，摆球A的质量较其他三只摆球的质量大得多，当A摆球摆动起来后，通过张紧的绳的作用使其余三只摆球也摆动起来，达到稳定后，有（ ）．

A．单摆C的摆长最长，振动的周期最大 B．单摆B、C、D的振动周期一样大 C．单摆B距离摆A最远，它的振幅最小

D．单摆B的摆长与单摆A的相同，它的振幅最大 【答案】D

类型三、受迫振动的应用

例3．把一个筛子用四根弹簧支起来，在筛子上安装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s，在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min．已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列哪些做法是正确的（ ）． A．提高输入电压 B．降低输入电压 C．增加筛子质量 D．减小筛子质量

【思路点拨】由题给信息出发解决问题． 【答案】A、C

【解析】在题设条件下，筛子振动的固有周期

电动偏心轮的转动周期（对筛子来说是驱动力的周期）

要使筛子振幅增大，就是使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大．

【总结升华】该题情景新颖，处理的关键是正确把握题目中所给信息，由题给信息出发解决问题． 举一反三:

【变式】共振筛是利用共振现象制成的.把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周就给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛.筛子在做自由振动时，完成10次全振动用（转每分）.已知增大电压，可以使偏心轮转速提高，15s，在某电压下，电动偏心轮的转速是36r/min　增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期，那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是（ ）．

A．提高输入电压 B．降低输入电压 C．增加筛子的质量 D．减小筛子的质量 【答案】AC

【解析】在题给条件下，筛子振动固有周期T固=说是驱动力的周期）T驱=15，电动偏心轮的转动周期（对筛子来=1.5（s）1060=1.67（s） ．要使筛子振幅增大，就得使这两个周期值靠近，可采用两种36做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大．

正确选项为AC．

【总结升华】理解并掌握共振原理在实际中的运用.

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类型四、受迫振动与驱动频率的关系的应用

例4．如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大?共振时摆球的最大速度和最大加速度各为多少？（g取10 m/s）

【答案】0.25m/s 0.8 m/ s【解析】该题考查共振曲线．从共振曲线可知，单摆的固有频率 因为 所以

代入数据解得

从共振曲线可知：单摆发生共振时，振幅

设单摆的最大偏角为?，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得 又

当?很小时 解得

摆球在最大位移处加速度最大，有 即

代入数据解得

【总结升华】发生共振的条件是f驱?f固，此时振动的振幅最大．因此从共振曲线上可以找出物体振动的固有频率．

类型五、测重力加速度中的图像问题及操作步骤

例5．某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当做摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出L-T图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示．他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g?________。请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将________（填“偏大”“偏小”或“相同”）．

【思路点拨】由单摆的周期公式T?2?222l，结合题意，作出相关计算。 g4?2(LB?LA)【答案】 相同

TB2?TA2【解析】由单摆的周期公式 得 则 可得

由此式可知测得的g与某一次的摆长无关，与两次实验中的摆长差有关，所以g值与摆球重心在不在球心处无关．

例6．在用单摆测重力加速度的实验中， （1）某同学的操作步骤为：

①取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端同定在铁架台上； ②用米尺量得细线长度l；

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③在摆线偏离竖直方向5?位置释放小球；

④用秒表记录小球完成n次全振动的总时间t，得到周期T?t/n；

4?2l ⑤用公式g?计算重力加速度．

T2 按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比________（填“偏大”“相同”或“偏小”）．

（2）已知单摆在任意摆角?时的周期公式可近似为

式中T0为摆角趋近于0?时的周期，n为常数．为了用图像法验证该关系式，需要测量的物理量有________；若某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图像中的横轴表示________．

【答案】（1）偏小 （2）T＇（或t、n）、

? T＇【解析】（1）g的计算式中l应为线长与小球半径之和，因此，算得的重力加速度值偏小． （2）通过测量不同摆角时摆角?所对应的周期值T＇，才能得出 的图像，验证关系式 即

进而利用图像可以确定a、T0的值．

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