基于MATLAB的自适应均衡器的研究

基于MATLAB的自适应均衡器的研究

【摘 要】:随着科技的发展，如何实现工作高效发展已经成为各个领域的首要因素，在通信领域亦是如此。ISI（码间串扰）是干扰时变通信质量和传输速度的主要因素。由于基带传输的通信系统不可能满足实际波形不失真的实时传输系统中，所以串扰是必然会发生的。通常把消除串扰的滤波器称为均衡器，它其实就是一个逆滤波器通道。信道失真在高速通信，无线通信中会更加严重，从而信道均衡技术是成为了通信传输中不可缺少的。在通信系统中，优良的信道均衡器可以弥补信道不理想特性，降低信号传输错误率，从而达到降低信号失真的一种重要技术手段。

本文介绍了自适应均衡器的设计原则，结合递归最小二乘算法和最小均方算法。最后运用MATLAB进一步分析仿真实现这些算法的自适应线性滤波器并分析其性能。 【关键词】 ：LMS算法；自适应；线性均衡器；RLS算法

I

Research on Adaptive Equalizer Based on MATLAB

Abstract：With the development of technology，how to efficiently achieve development has become a primary factor in various field，is also true in the field of communication. ISI is one of the important reasons for varying interference communication quality and transmission speed. Baseband transmission of the communication system can not meet the real-time actual waveform of undistorted transmission system， crosstalk is bound to arise. Crosstalk elimination circuit usually called equalizer came from the principle that it is an inverse filter channel. In communication systems， good channel equalizer to compensate for non-ideal characteristics of the channel in order to minimize signal distortion，an important technology to reduce the transmission error rate of the signal. Channel distortion in a high speed communication， wireless communication is more severe，so that channel equalization techniques become indispensable communication transmission.

The article describes the design principles of the adaptive equalizer，combined with recursive least squares algorithm and the minimum mean square algorithm. Finally，further analysis of simulation using MATLAB adaptive linear filter these algorithms and analyze their performance.

Key words：LMS algorithm；Adaptive；Linear equalizer；RLS algorithm

II

目录

第一章 绪论 ........................................................................................................................... 1

1.1 均衡器研究背景及意义 ........................................................................................... 1 1.2 国内外研究现状 ....................................................................................................... 2 1.3 本文研究内容和主要工作 ....................................................................................... 3 第二章 自适应均衡器原理及其分类 ................................................................................... 4

2.1 信道 ........................................................................................................................... 4 2.2 自适应均衡的原理和特点 ....................................................................................... 5 2.3自适应滤波器的分类和基本构成 ............................................................................ 6 2.4自适应过程 ................................................................................................................ 7 2.5 横向滤波器的实现结构 ........................................................................................... 8 第三章 基于LMS算法的自适应均衡原理 ....................................................................... 10

3.1 最小均方(LMS)算法基本原理 .............................................................................. 10 3.2 LMS算法 ................................................................................................................. 13 3.3 LMS 算法的应用 .................................................................................................... 20 第四章 基于RLS算法的自适应均衡原理 ......................................................................... 21

4.1 RLS算法 .................................................................................................................. 21 4.2 RLS算法的应用 ...................................................................................................... 24 4.3 RLS算法与LMS算法的比较 ............................................................................... 24 第五章 LMS与RLS算法的性能仿真及分析 ...................................................................... 26 第六章 总结 ......................................................................................................................... 33 致谢 ....................................................................................................... 错误！未定义书签。 参考文献 ............................................................................................................................... 34 附录1 .................................................................................................................................... 35 附录2 .................................................................................................................................... 37

III

第一章 绪论

1.1 均衡器研究背景及意义

随着科技的快速发展，通信系统在其中肩负重任。ISI是干扰通信质量和传输速度的重要原因。而其中导致码间干扰的最主要原因是由于多径传输导致信道的非理想特性。要使均衡信道不能达到理想状态的特性可以得到很好的弥补，从而降低了信号的失真度。至今，信道均衡是解决多径效应的最主要技术方法。在高速通信、无线通信领域，误码率会引起信道信号的严重失真，因此信道均衡技术是使得高速通信成为可能中不可或缺的技术手段。

由于移动通信环境具有时变性，就必须使得均衡技术要适应信道的时变多径传输，所以自适应能力是均衡技术必须具有的；因此，均衡算法的信号变化速度要自动跟踪通道的统计特性。简言之，均衡算法的跟踪能力要随着信道特性变化。为了获取信道的统计特性，在自适应均衡技术中，发端需要固定时间来发送一个特定的训练序列[1]，接收端通过这个训练寻列就可以使得均衡器的响应特性可以跟随信道响应特性，因此，均衡器脉冲系统由如上所述，满足无码间干扰的要求。

研究表明，以可调滤波器在接收端前置，信道系统特性的特点可以校正和补偿，从而使码间干扰所造成的不良影响得到减弱。校正信道特性可以从频域和时域两个不同的方面考虑。即频域均衡和时域均衡。频域均衡是从频率响应考虑，使包括均衡器在内的整个系统的总传输函数满足无失真传输条件；而时域均衡，则是直接从时间响应考虑，它是基于奈奎斯特第一准则[2]，通过调整滤波器抽头系数，使包括均衡器在内的整个系统的冲激响应满足无码间串扰条件。频域均衡适用于传输低速率数据时，因为频域均衡在信道特性保持不变；在高速数据传输中，时域均衡得到广泛应用，是因为它可以根据变化的信道特性来调整，从而有效地减小码间串扰。人工调整和自动调整是调整滤波器抽头系数的两种常用方法。对于已知信道特性，采用手动调整方式；未知的或随时间变化的信道特性，根据均衡器要求跟踪时变特性的通信信道，自动调整抽头系数，从而达到信道响应匹配。第二种叫做自适应均衡器。均衡器一般是通过滤波器来形成的，用滤波器来补偿脉冲的畸变，所以输出的样本已经是不存在码间串扰，无失真的信号。换句话说，自适应系统解调输出的信号波形，是经过均衡器纠正的结果。

在数字信号传输的自适应均衡器是根据算法不断调整的滤波器系数以便随时适应变化，从而产生更好的失真补偿，致使滤波器始终工作在最佳状态。基于LMS算法的自适应

1

均衡器，可以用使用MATLAB[3]软件来仿真，实现起来相对简单，可以克服在实际中成本高的缺点，达到了低成本高效率的目的，其中LMS算法是自适应滤波高效，典型算法之一，其结构简单，并且具有高稳定性；但是这种固定步长的算法必然存在某些不可控缺点，主要就是在收敛速度和失调量这对矛盾体。随着科技的发展，为了克服这些缺点，人们发对LMS自适应算法进行了更加深入的研究，而当今最热门的研究就是对如何减少相关算法的运算量。 1.2 国内外研究现状

均衡技术最初是用来克服电话信道相位的非线性引起的分散特性和频率特性不均匀的失真，广泛运用于电话信道这个领域。在上个世纪60年代之前，调整均衡器的参数的方法有2种，可分为：固定的或者手动调整的，接下来就来简单介绍下均衡技术的发展史。如表1-1

表1-1 自适应技术的发展

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近年来，自适应均衡技术更是在生活中无处不在。 1.3 本文研究内容和主要工作 1.3.1研究内容

第一章 简要介绍自适应技术和均衡技术的研究状况。 第二章 介绍了信道和自适应均衡基本理论。

第三章 介绍LMS算法的原理。 第四章 介绍RLS算法的原理。

第五章 用MATLAB对LMS算法和RLS算法仿真和解析。 第六章总结。 1.3.2主要工作

（1）介绍均衡器的基础概念和自适应均衡器的原理，介绍和分析对LMS算法、、RLS算法的概念和原理。

（2）分析LMS算法和RLS算法的性能，包括其稳定性、收敛速度、稳态误差，并用MATLAB进行仿真验证。

（3）比较总结各种算法的优缺点。

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第二章 自适应均衡器原理及其分类

事实上，该通信信道的特性是随时间变化的时变函数，所以由接收机接收的信号是发生码间干扰导致失真的信号。自适应均衡器是一个跟踪的信号接收端不同的特性变化的自适应算法，然后调整滤波器的抽头系数，消除符号间干扰。然后输出无失真信号波形。 2.1 信道

一个通信系统，大概可以分为可由三大部分组成，分别是发送设备、信道与接收设备

[4]

，其中信道是有噪声的，会干扰信号的传输，也就是信道不可能完完全全允许一个信号

完整的通过，这个媒介在某些方便会限制信号的通过，通常物理信道被划分为有线电视信道和无线广播信道两大信道，有线信道包括同轴电缆以及光纤等，无线信道电波传播，卫星中继，散射，和移动无线信道。

信道是信号的传输介质，可区分为2种类型：有线信道和无线信道。电磁波的传播是在信道中的一个基本物理过程。不管是什么信号的传播，都可以发现信道具有以下共同特性：

(1)既有输入端和输出端；

(2)大部分信道是线性的，即输出和输入量得关系满足一定线性函数[5]，在特殊情况下的信道可能存在非线性的函数；

(3)信号通过信道后能量被衰减；

(4)信号从输入端到输出端有一定的时间推迟；

(5)所有通道都存在噪声，也就是说信道一开始就存在干扰。 可以用如图2-1描述信道，其输入信号是

y(t)?f?x(t)??n(t) （2-1） 式中f?x(t)?表示其中输入信号x(t)经过无干扰信道的函数关系，n(t)表示加性噪声

x(t) 信道等效模型 y(t)?f?x(t)??n(t)

图2-1 信道模型（四端网络）

4

在线性信道的传输特性就是传输函数Hc(w)。长时间下Hc(w)不发生改变，就称为恒参信道；不然就是变参信道。 2.2 自适应均衡的原理和特点

{an}d(t)GT(?)发送滤波器C(?)+n(t)GR(?)接收滤波器y(t)抽样判决器{an'}信道

图2-2 数字通信系统的传输框图

图2-2中，一般设置会让信号通过的信道，并且信道会对信号加以限制。信道中会存在的干扰一般设置为均值为0的高斯白噪声，接收滤波器是用来接收信号的，并且尽最大可能去排除其他因素的干扰。那么由图可知，系统的总特性为：

H(w)?GT(w)C(w)GR(w) （2-2） 2.2.1通信系统的传输特性

信道肯定对某些信号是加以限制或阻碍其通过，这种信道对通过的脉冲波形进行拓宽延伸。当信道带宽远大于脉冲带宽时[6]，脉冲的拓展很小，当信道带宽接近于信号的带宽时，拓展将会超过一个码元周期，造成信号脉冲的重叠，称为码间串扰。下面以第k码元

ak为例来讨论。传输系统模型如上图2-1所示。

在码间串扰下，如果对第k码元ak的判决，其实是在kTS?t0时刻：

y(kTS?t0)?[d(t)*h(t)?nR(t)]|t?kTS?t0 ?[?anh(t?nTS)?nR(t)]|t?kTS?t0n?????

?n????ah(kTnS?t0?nTS)?nR(kTS?t0) (2-3）

?akh(t0)??anh[(k?n)TS?t0]?nR(kTS?t0)n?k公式2-3中akh(t0)是波形采样值判断的第一要素，们用它来确定ak价值；

?ah[(k?n)Tnn?kS?t0]是除了第k码元以外的其他有码元波形在第k码元的抽样时刻上的叠

加，这个就是干扰ak的串扰值；nR(t)是高斯白噪声，n(t)通过接收滤波器后输出的噪声，

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nR(kTS?t0)表示第k码元的抽样时刻那一瞬间输出的噪声，显然，它就是自由组合的一种

干扰。

通过分析，由于实际的通信系统不可能满足理论上的奈奎斯特第一准则，也就是波形完全不失真的情况，因为传输过去的脉冲波形的拖尾在肯定会对下一个时刻的脉冲波形造成影响，就是说会影响到相邻的脉冲波形，这就是ISI(码间串扰)，它会使得抽样判决器产生错误的判断，这样又增大了脉冲波形输出错误率。 2.2.2自适应滤波原理

如图2-3所示的是带均衡器的数字通信系统的框图。 {an}

图2-3带均衡器的数字通信系统

发送滤波器 信道 接收滤波器 均衡器 '{an}Gr(w) C(w) n(t) + GR(w) GE(w) 抽样判决器 由图2-3可知，这个加入了均衡器的系统的特性为

H?w??GT?w?C?w?GR?w?GE?w? （2-4）

一般来说，发射滤波器和接收匹配过滤器的情况来补偿信道失真的均衡器的传输函数满足：

GE?w??11?j??w??e （2-5） C?w?C?w?一般情况下是用滤波器来实现均衡器的，用滤波器来补偿信号的畸变，所以最后输出的已经是均衡后的结果，也就是已经避免了码间串扰。 2.3自适应滤波器的分类和基本构成

自适应滤波器有很多种类，本文按照自适应系统的分类方法来分类，则可分为：开环和闭环，如图2-4所示：

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（a）开环自适应系统 （b）闭环自适应系统

图2-4 自适应系统

(1) 开环自适应系统：系统的输出端与输入端之间安全没有什么联系，系统的输出不会对自适应算法有任何影响，开环是根据已知的信息形成算法，去调整自适应系统本身。

(2) 闭环自适应系统：相对于开环自适应系统，输出量是由一个适当的方式返回输入并与过程中的输入端相比较，是系统自带的“性能反馈”。除了对输入信号和环境的影响，还必须用系统调整所得结果去优化系统性能。简言之，自适应算法不仅取决于输入，同时还依赖于系统输出的结果。 2.3.1自适应滤波器的构成

图2-5 自适应滤波器的构成单元

如图2-5所示，自适应滤波器是由可编程滤波器、自适应算法和性能评估三大模块组成。为了让系数收敛于已知的信号，以获得期望响应。通常是通过调整自适应算法的来改变系数，而不是去改变滤波器的结构，因为去改变结构太复杂了。 2.4自适应过程

根据自适应算法调整系数的收敛过程，自适应滤波器的自适应过程分为学习过程、跟

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踪过程。

(1) 学习过程：如果信号运行环境是固定不变的，但未知的，那么自适应滤波器的最佳滤波参数是固定的，这样就要求自适应滤波器找到使其输出性能最佳的参数，然后不再去调整系数。这样的均衡器的收敛过程一般称为“学习”过程。

(2) 跟踪过程：如果信道特性是时变的，那么自适应下的最佳滤波参数也是时变的，而为了适应这种时变性，自适应均衡器就要根据信号的特性来调整自己的参数[7]，这就需要它能快速的得到信道每个时刻的特性。 2.5 横向滤波器的实现结构

其横向型结构如图2-6所示：

x(n)Z?1x(n?1)Z?1x(n?2)?Z?1x(n?N?1)w0(n)w1(n)w2(n)wN?1(n)?????y(n)

图2-6 FIR滤波器的横向型结构

该滤波器的输出y(n)为：

?n i) (2-6) y(n)??wi(n)x(i?0N?1式中，x(n)为输入信号，w(n)为权系数，n为时间序列，N为滤波器的阶数。 2.5.1 横向型FIR自适应滤波器

考虑到是否容易实现，选择最简单的横向FIR滤波器。以下讨论分析的都是该结构的滤波器。滤波器结构如图2-7所示：

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x(n)Z?1x(n?1)Z?1x(n?2)?Z?1x(n?N?1)w0(n)w1(n)w2(n)wN?1(n)????y(n)?自适应算法性能评估

图2-7 横向型FIR自适应滤波器

图2-7所示的自适应滤波器是现实中最容易实现的。

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第三章 基于LMS算法的自适应均衡原理

3.1 最小均方(LMS)算法基本原理

年由B.Widrow和Hoff 提出来的。就是因为它实现简 LMS（最小均方）算法是在1960单，并且可以处理信道的时变性，所以LMS算法在至今都应用的普遍。由前面的章节可知，自适应滤波器是通过最佳滤波器的研究才得到发展的。 3.1.1 MMS准则（最小均方误差准则）

图3-1显示了一个离散形式Wiener-filter的构成框图，滤波器的单位冲击响应h(n)，先用h(n)对x(n)进行处理，对期望响应d(n)进行估计，即滤波器的输出y(n)其实是等于期望响应d(n)的一个大约值d(n)，则估计误差为e(n)?d(n)?y(n)。要求给出最佳规范约束来实现最佳的过滤。

-

?

图3-1离散形式维纳滤波器问题示意图

MMSE准则作为最优准则。如果x(n)（输入信号）和d(n)（期望信号）是平稳的，不再发生任何波动，这样的最佳滤波器就是维纳滤波器；这就是离散形式维纳滤波器的概念。其本质如下：已知的输入信号x(n)，设计一个线性离散滤波器h(n)对所需的期望响应d(n)估计。让e(n)的均方值最小。

参考图3-1滤波器的单位脉冲响应h(n)用w0，w1，w2，...表示，则滤波器的输出y(n)是一个线性卷积和：

y(n)???kx(?n0? ) n=0，1，2，... (3-1) k2 J?E?e?(n)?? （3-2）

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由此看出，J是与滤波器的系数?k(k?0,1,2,...)有关系的函数。获得教小的J才能得到最佳滤波器的系数值。定义代价函数J的梯度向量▽J，对它求导，期中K元素为

?kJ??J k=0，1，2，... (3-3) ??K为了得到最小的J值，令

?J?0，也就是 ?wk ?KJ?0 k=0，1，2... (3-4) 这就是满足了最优条件下的滤波器了。 将（3-2）代入（3-3），得到

2?E?e(n)??J???2E??e(n)e(n)???2Ex(n?k)e(n) k=0，1，2，... (3-5) ? ?kJ???????K??k???k?将（3-5）的最后结果带入（3-4）中，得到维纳滤波器最优解的等效形式为

(n?k)0e(?n)? 0 E?x k=0，1，2，... (3-6) 式中，e0(n)是滤波器最好的估计误差值。

根据式（3-6），可得结论：使均方误差代价函数J达到最小值必须要满足其相应的估计误差e0(n)与估计期望响应的每个输入样本值x(n-k)(k=0，1，2，...)正交。这就是正交原理的线性MMSE估计。这是一个很重要的理论。利用式（3-6），可以得到离散形式维纳滤波器的另一个充分必要条件。将式子（3-1）带入到（3-6），得到

?????E?x(n?k)e0(n)??E?x(n?k)?d(n)?y0(n)???E?x(n?k)?d(n)???0,ix(n?i)???0

i?0???? k=0，1，2，... (3-7)

式中，y0(n)是最佳的输出滤波器，?0,i是最佳滤波器的第i个系数。 将式子（3-7）进行整理可得

??E?x(n?k)x(n?i)??E?x(n?k)d(n)? k=0，1，2，... (3-8)

0,ii?0?式中，E?x(n?k)x(n?i)??r(i?k) 是滤波器输入随机过程中不同时刻输入之间的自相关函数；E?x(n?k)d(n)??p(?k)是滤波器输入信号x(n-k)与期望响应d(n)的互相关。

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于是，维纳滤波器的另一个条件为

??i?0?0,ir(i?k)?p(?k) k=0，1，2，... （3-9）

这个方程称为Wiener-Hoff方程。 3.1.2 最小均方误差

由滤波器估计误差定义，可得到维纳滤波器的估计误差为

e0(n)?d(n)?y0(n)?d(n)?d0(n) （3-10） 式中。d0(n)理论中最优估值。于是

) d(n)?d(n??0??e( n ) （3-11）

令最小均方误差为

2 Jmin?E?n)??e(0? （3-12）

对于式子（3-11）两边取均方值，假定d(n)和d0(n)为零均值，根据正交原理的推论可得

22??d ?d0?Jmin （3-13）

?式中，?是期望响应d(n)的方差；?是其最优估值d0(n)的方差。于是得到

22??d Jmin??d0 （3-14）

2d2d0?由此可以看出：d(n)的方差与d0(n)的差值就是等于维纳滤波器所得最小均方误差。 3.1.3 横向滤波器Wiener-Hoff方程

?

图3-2 横向滤波器

使用最小均方误差准则（MMSE）进行优化，导出横向滤波器满足Wiener-Hoff方程

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为

M?1

??i?00,ir(i?k)?p(?k) k=0，1，2，... (3-15)

式中，?0,0,?0,1,....?0,M?1就是要求的最佳权值。

横向滤波器的维纳-霍夫方程可用以下形式表示。将横向滤波器的抽头输入

x(n),x(n?1),...,x(n?M?1)的相关矩阵定义为R，则

r(0) r(1) ... r(M-1) T R?E? r(0) ... r(M-2) (3-16) (xn)x(?)? r(1) ??n... ... ... ... r(M-1) r(M-2) ... r(0) T式中，x(n)??x(n),x(n?1),...,x(n?M?1)?是抽头输入向量。矩阵R一定是对称矩阵。互相关矢量P被定义为横向滤波器的抽头的输入和所需的响应，则

xn)d(?n)?? p?E?(p(0),?p(1),.p?..,? M( 1 )（3-17）

T这可以将横向滤波器的Wiener-Hoff方程表示为

R?0?p （3-18） 式中，?0=??0,0,?0,1,....?0,M?1?T这里是最佳的横向滤波器的抽头权重向量。显然，如

果相关矩阵R是非奇异的，则可得横向滤波器维纳解为

?0?Rp （3-19）

?13.2 LMS算法

LMS算法，采用最速下降算法，平均梯度的平方误差从目前估计系数矢量迭代于下一时刻滤波器系数向量，而且如果收敛因子μ选择适合[8]，抽头权值向量就会无限接近于维纳解，但为了得到一个准确的梯度向量必须知道的互相关矢量的抽头输入相关矩阵和抽头输入和预期的响应值的关系，所以当是处于时变的环境条件下梯度向量?J(n)的是不可能通过测量得到，只能通过数据对梯度向量进行有意义的猜测。则估计梯度向量的为：

???J( n ) w(n?1)?w(n) （3-20）

??对于最小均方误差准则来说，如果采用一般的梯度估计方法的自适应算法是需要一组数据中的平均值的两个均方误差的差[9]作为梯度估计，而LMS算法不需要这么做，而是

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直接用一次采样数据的e2(n)来等效为均方误差J(n)，然后进行梯度估计，这种就称为瞬时梯度估计。所以在自适应过程中的每次迭代，其梯度估计形式可以具体表现为此公式：

?e2(n)?? ?J(n)??d2(n)?wT(n)x(n)xT(n)w(n)?2d(n)xT(n)w(n)???? ?w(n)?w(n)?Tnx)Tn(w)n(?)dn2x(n)??(?)dn2?x(nw)n?xn)?(?)en(xn) 2x(??( （3-21）

将（3-21）代入（3-20）中，可得：

?w(n?)?? w(n?1)?J(?n)w?(n?)2e(n ) x n （3-22）

式（3-22）就是称为LMS算法。在这里，μ是一个重要的因素，用来控制自适应收敛的稳定性和收敛速度。

简化可得

?2p （3-23） ?J(n)?2Rw(n)

LMS算法的梯度估计指的就是?J(n)中R和p作瞬时估计，即：

T R(n)?x(n) ) （3-24） x( n?? p(n)?x(n)d( n ) （3-25） 相应的梯度向量的瞬时估计为：

?2p?2xT(n)x(n)w?(n) ?J(n)?2Rw(n)???2x (n d n （3-26）

所以，根据式（3-26）的梯度估计的迭代公式为： w(n?1)?w(n?)???J(?n)??w?(n?)?2??R?w(?n?) p??T??x(n)x(n)w?(n)x(n?? (n w(n)?2 ??)dw(n)?2?xn(?)n(?x)Tnw(n)?x(T)nwn(?)w(n)??e(n)xn2 （3-27） ?d??与（3-22）给出的迭代公式一致。

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图3-3 LMS算法向量信号流图

图3-3给出了LMS算法的向量信号流图。显然，这是一个本身就有性能反馈的闭环自适应系统。正确的调整滤波器来测量，你可以得到一个响应信号非常接近预期的输出[10]；让输出与期望响应相相减得到“误差”信号，通过降低误差信号，就能得到最有权值。从图中可以明显的看出，LMS算法是容易高效实现。

梯度向量的每个分量是由一个数据样本得到，没有进行平均，所以梯度估计肯定含有噪声的。但是在自适应过程中，随着时间的推移，这个噪声肯定会衰减的。 表 3-1 LMS算法流程

参数设置： M=滤波器的抽头系数 μ=收敛因子

已知数据： x(n)=抽头输入响应 d(n)=期望响应

初始化： w(0)由先验知识确定；否则令w(0)=0 迭代计算： 对n=0，1，...，计算 y(n)?w(n)x(n) e(n)=d(n) -y(n) w(n?1)?w(n)?2?e(n)x(n)

T3.2.1 LMS算法的收敛性

LMS算法最主要问题就是使E[e2(n)]达到最小值然后得到最优权向量的问题。一般情

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况下LMS算法最后的抽头权向量不可能是精准的出现在w0，而是随机的游走在w0附近。下面分析讨论LMS算法抽头权向量的期望值如何收敛的问题。

为了考察LMS算法权向量期望值的收敛性，首先注意到权向量w(n)仅与输入数据采样x(n?1),x(n?2),...,x(n)有关。因此，要把一个个的输入数据认为是是相互独立的，也就是说w(n)与x(n)独立。这样就可以可得LMS算法的梯度估计的数学期望为：

???E??J(n)???2E[e(n)x(n)]??2E[d(n)x(n)?x(n)xT(n)w(n)]?2?RE[w(n)?p]? （3-28） ??根据以上可以把LMS算法的梯度估计的数学期望简化为：

E[w(n?1)]?E[w(n)]??E[?J(n)]?E[w(n)]?2??RE[w(n)?p]??(I?2?R)E[w(n)]?2?Rw0 （3-29）

观察比较这两个式子，可以看出（3-29）的迭代公式就是最陡下降法权向量的迭代关系。因此，利用梯度算法估计方法的收敛性也可以得到期望的权重向量的收敛。

把这个放在主轴坐标系中分析，式（3-29）变为

]I(??2?E?)[n E[?(n?1)? ( （3-30）

?则

] E[?(n)?I(??2?n?) ( （3-31）

原理分析，可得： 0???1?max （3-32）

这个就是要让LMS算法权向量期收敛于最优解的前提条件。而：

?max?tr[R] (3-33)

根据上式，权向量的收敛条件可以变形为： 0???1 （3-34） tr[R]此外，在自适应横向滤波器中，有以下关系：

[2(n?)]MP tr[R]?MEx in （3-35）

式中Pin是输入信号功率。因此收敛条件可表示为：

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0???1 （3-36） MPin在这个范围内，自适应收敛速度取决于μ值的取值大小决定，同时μ也决定了权向量解的噪声。实际使用中，通常设置μ远小于

1。 MPin以上讨论的时候，设置了一个前提，就是输入向量去相关和平稳性的前提，然后得到的LMS算法收敛这只是一个假设，并不是一定要有这个前提。做这个假设也是为了方便分析问题。要知道现在没有一种LMS算法没有前提条件就能够证明它能自己收敛。 3.2.2 LMS算法的权向量噪声

根据以上的分析讨论，可知LMS算法权向量期望值在一定收敛条件下才会收敛于最佳权向量。但是以上，LMS算法都是根据单个数据样本得对梯度向量各分量的估计，没有使用平均值，那么推算出的梯度估计中肯定含有噪声成分[11]，从而导致LMS算法权向量是带噪声的，最终权向量就不可能是w0，而是漂移在最优值的附近，形成了最优值上的权向量噪声。下面来分析LMS算法最终权重向量噪声的统计特性。

设n次迭代中梯度估计的噪声向量为N（n），则

?J(n)??J(n)?N( n ) （3-37） 在LMS算法中，有

??2E[e(n)x (n E[?J(n)] （3-38） Pw?p)??2E[e(n)x(n ?J(n)?2( （3-39）

??由此看出，LMS算法中瞬时梯度估计是无偏的，估计噪声向量均值为零。

此外，假定LMS算法运行时采用一个小收敛因子，并且和自适应过程收敛到最优数量的权限w0附近，那么式（3-37）中的梯度估计?J(n)实际是趋近于零。则噪声向量N（n）将逼近于

N(n)??J(n)??2e(n)x ( n （3-40） 3.2.3 LMS算法的期望学习曲线

前面介绍过均方误差性能函数和迭代次数的关系J（n），即为学习曲线，并给出相应的时间常数。

对于一个已知向量w(n)的横向滤波器来说，J的与迭代次数n之间的关系函数有如下

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?

形式：

J?Jmin?w'TRw' (3-41) 根据最陡下降法中来分析LMS算法，因为使用的瞬时梯度估计，使得梯度估计掺杂噪声。虽然如此，但是在均方误差J(n)随着迭代次数n的增加会减小直至消失。

从方程（3-41）的观点来看，是由权偏差w'(n)的随机向量引起LMS算法均方误差J(n)中的偏差波动，即一次单一的试验中均方误差J(n)具有随机性。为了了解LMS算法均方误差随着迭代次数变化的统计规律，来研究LMS算法E[J(n)]的动态特性，并将E[J(n)]随着迭代次数n的变化称为期望学习曲线。

M?1?k?Jmin E[J(n)]?Jmin??Jmin????k(1?2??k)2n[?k2(0)?] （3-41）

1???1???k?0K?0kkM?1式（3-42）即为LMS算法的期望学习曲线。由此表明，LMS算法的期望学习曲线在一定条件下与最陡下降法的学习曲线的变化具有相同的规律。LMS算法期望学习时间常数为：

(?mse)k?14??k k=0，1，...，M-1 (3-42)

此外，由于LMS算法和观测数据的梯度估计，自适应时间常数Tmse测量数据样本进行测量就是等于相等的数量的迭代的学习曲线的时间常数?mse。因此，对LMS算法有： (Tmse)??(1 k=0，1，...1M-1 （3-43） )?msek4??k在一般情况下，实际的时间常数要稍大于式（3-43）给出的理论值。这是因为在使用LMS算法时，单个观测数据并不是它期望值的一个好的近似，从而使得其收敛过程是游弋的。

3.2.4 LMS算法的性能

如前所述，由于梯度估计噪声的存在，使稳定的权向量毫无目的的收敛在最佳权重向量附近。这意味着，J(n)总是大于最小均方误差Jmin，并且在Jmin附近无目的的波动。在稳定状态下，偏差权系数的最佳值（即w'?0）附近随机游动，造成J随机的偏差与最低点Jmin。

现在定义自适应过渡过程结束后的稳态均方误差的数学期望E[J(n)]与最小均方误差

Jmin之差值为超量均方误差Jex，即：

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n)?]Jmin Jex?E[J( （3-44）

根据以上可得，在选取μ较小时，可近似为：

Jex??Jmi??k??Jmtri[nR] (3-45) nk?0M?1由于存在梯度估计噪声，自适应过程结束后，权值仍然在最佳值附近随机变动，导致了均方误差值总是大于最小均方误差值并在其附近随机变化。Jex就是度量这种性能损失的一个参数。

失调Ц是另一个度量自适应性能损失的参数，它越来越普遍的应用于工程设计。它定义为Jex与Jmin的比值，即： Ц=

Jex （3-46） Jmin失调 Ц它是衡量跟踪真正贴近维纳解的自适应过程，也就是衡量“自适应能力的代价”的量度。

根据式（3-45）和（3-46）得到LMS算法的失调Ц为： Ц=??M?1?K??tr[R] 当μ较小时 （3-47）

k?01???K由此可见，LMS算法的失调 Ц随着自适应收敛因子μ增大而增大，减小而减小。由于R矩阵的迹就是输入到各个权上信号的总功率，一般情况下，总功率是已知的，因而可用式（3-47）来选取一个合适的μ值。

根据以上所述，定义自相关矩阵R的平均特征值为

1 ?av?MM?1k?0??k?1tr[R] （3-48） MLMS算法期望学习曲线的平均时间常数?mse,av定义为：

11M?11?) （3-49） ， ?av(平均特征值?Mk?0(?mse)k?mse,av再根据?av的定义可得 ?ms,ea?v14??av （3-50）

19

综合上式可得：

Ц??M?av?由此，可得出以下结论：

?对于固定的 ?mse,av，随着滤波器阶数M的增大，失调Ц线性增加；

?失调 Ц正随着收敛因子μ的增大而增大 ，平均时间常数?mse,av随着收敛因子μ的增大而减小。因此LMS算法中失调和收敛速度双方是矛盾的，在实际的自适应均衡器中，需要注意步长因子μ的选择。通常在失调量和收敛速度多加考虑和权衡。 3.3 LMS 算法的应用

（1）系统模拟与辨识；这个在控制系统是非常重要的；在传统工程领域之外，模拟是非常有用的，人们研究社会系统，经济系统或者生物系统，就采用模拟方法。例如：多径通信信道的自适应模拟，在地球物理勘探中的自适应模拟。

（2）自适应信道均衡。

（3）自适应干扰抵消，这是最佳滤波的一个深入研究，简单地说，滤波器的输入原来是从输入信号中减去包含的噪声，这样一来，削弱了原始噪声[12]，或者原始噪声由于对消而被去除，例如：胎儿心电图中母体心电图的对消，长途电话线路中的回声对消和天线旁瓣干扰的对消等。

M4?mse,av （3-51）

20

第四章 基于RLS算法的自适应均衡原理

4.1 RLS算法

最小均方误差准则是在数据进行平均后的条件下使滤波器的输出与期望响应误差的平方最小，是在相同特性的环境下设计出的最优滤波器；但是最小二乘准则是对一组样本而言，使滤波器的输出与期望响应的平方和最小[13]，因此，最小均方误差准则得到的是对具有相同统计特性的一类数据的最佳滤波器，而最小二乘准则得到的是对一组给定数据的最佳滤波器；对同一类数据来说，最小均方误差准则对不同的数据组将得到相同的最佳滤波器，而最小二乘准则对不同的数据组将得到不同的最佳滤波器，因此可以说最小二乘滤波器具有确定性。 4.1.1 RLS算法导出

这里将讨论最小二乘的一种递归实现方式。该方法从给定的初始条件出发，通过新的数据值对之前的数据进行更新调整，所以这个数据长度是不是固定的，而是有一定范围。数据的长度的范围与当前观测时刻n相对应，但是横向滤波器的阶数是固不变的。也就是说，这里讨论的是如何通过固定阶数的线性横向滤波器，利用可变长度的数据x(1)，x(2)，...，x(n)对期望响应d(1)，d(2)，...，d(n)进行递归最小二乘估计的问题。

这里最小二乘准则的代价函数（前加窗法）可表示为：

?(n)???n?ie2i( ) （4-1）

i?1n式中，?为加权因子，其取值为0???1。e(i)为i时刻滤波器的估计误差。根据第二章节中对横向滤波器的理解，有：

?) e(i)?d(i?d(?i)d?(i)Tw(n ) x i （4-2）

式中：

T x(i)=[x(i),x(i-1),... , x ( i - + 1 ) ] (4-3) M为i时刻滤波器的抽头输入向量；

w(n)?[w,w(n)M,?w...0(n)11T ) ] （4-4） n (为滤波器的抽头权向量。输入的数据随时刻n不断变化，这样滤波器权向量系数就没办法一直收敛于最优解，如果要让滤波器一直处于最佳状态，也就是说代价函数?(n)要一

21

直保持最小，这就要求滤波器的权向量就应随时刻n发生相应的改变，因此这里的横向滤波器要有时变的抽头权向量w(n)。而在这个区间1?i?n内，横向滤波器的抽头权向量不再发生变化。

通过对矩阵求逆利用最小二乘批处理算法可以直接求出权向量最佳值，但是这种方法运算量很大，一般为O(M3)，这么大的运算量根本就不能适用于实时滤波。采用递推实现方法就解决这一问题，就可以降低运算量。

C(n)???1C(n?1)???1g(n)xT(n)C(n?1) （4-5） 式中，C(n)称为逆相关矩阵；g(n)称为增益向量。这个式子是RLS算法的Riccati方程。 进行整理可得：

)??1 C(n)x(n?(n)x (n ) （4-6）

由此可见，增益向量g(n)为经过相关矩阵的逆矩阵变换的抽头输入向量x(n)。 接着。考虑互相关向量z(n)的递归计算。

?1?)x(n)d ( n （4-7） z(n)??z(n

最后推导出最下二乘估计抽头权向量的时间更新的递推公式：

w(n)?w(n?1)?g(n)x(n)w(n?1)?g(n)d(n)?w(n?1)?g(n)[d(n)?x(n)w(n?1)] （4-8）

??T??T?式中的内积xw(n?1)是当前时刻n的数据向量x(n)利用n-1时刻的抽头权向量

w(n?1)对未知的期望响应d(n)的一个揣测，因此d(n)?xw(n?1)是一个揣测误差，用

?T?T?由此看出，RLS算法抽头权向量是用前一个的值来推算出当前值的修正量。 e(nn?1)表示。

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表 4-1 递归最小二乘算法流程

初始化： w(0)?0C,? (?0?)?1I?为小的正常数,递归计算： 对每一时刻计算n=1，2，... 计算

??1C(n?1x)n() g(n)? ?1T1??x(n)C(n?1)x(n) w(n)?w(n?1)?g(n)[d(n)?x(n)w(n?1)] C(n)???1C(n?1)???1g(n)xT(n)C(n?1)

??T? 4.1.2 RLS算法的收敛性

本节讨论稳定环境下RLS算法的收敛性。为了简化分析，令加权因子?=1。同时假设：

?期望响应d(n)与抽头输入向量u(n)之间的关系可用多重线性回归模型表示

T d(n)?w0x(n)?e0(n) （4-9）

2式中，w0?[w0,0,w0,1,...,w0,M?1]T为回归参数向量；e0(n)是平均数为零，方差为?0的白

噪声，与x(n)无关。

?抽头输入向量x(n)由随机过程生成，它的自相关函数具有各态经历的随机过程性。输入向量x(n)的统计平均自相关矩阵可用如下形式：

1 R??(n) n?M （4-10）

n?? E[w(n)]?w0?E[??1(n)]?(0)w0?w0?R?1w0 n?M （4-11）

n式中表明，RLS算法的均值是收敛的。由于?(0)??I对算法进行初始化，使得RLS算法所得的w(n)有偏的。但是当n趋于无限大时，偏差将逐渐趋于零。

定义RLS算法权向量w(n)所有的误差向量为

)0w ?(n)?w(n? （4-12）

???通过以上的分析，可得RLS算法权向量的均方误差为

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?1121M1?12 ??(n)??0tr[R]??0? n?M （4-13）

wnni?0?i式中?i(i?0,1,...,M?1)是相关矩阵R的特征值。可以看出，RLS权向量的均方误差同时还可以看出?(n)是由相关矩阵R的最小特征?(n)随递推时刻n的增加而线性减小。

w?w?值?min所决定的。当?min很小时，??(n)就会很大，这样就使得收敛性变差。

w4.1.3 RLS算法的期望学习曲线

RLS算法的先验估计误差e(nn?1)为

e(n n-1) =d(n)?w(n?1)x(n) （4-14）

?TRLS算法的期望学习曲线为

J'(n)?E[e2(nn?1)] （4-15）

进过一系列运算后，得到 J'(n)??02?1?012tr[RR?]??0?21?0tr[I]??0?22M ? 0 2 n?M （4-16）

n由此得到如下结论：

①RLS算法学习期望曲线大约需要2M次迭代后才得到收敛。

②随着迭代次数n越来越大，最后趋于无限时，先验估计误差J'(n)趋于测量误差e0(n)的

2方差?0。也就是说RLS算法在纯理论依据上是零失调。

③RLS算法在均方意义上的收敛性与输入向量相关矩阵R毫无无关。 4.2 RLS算法的应用

（1）自适应干扰对消。 （2）系统辨别应用。 （3）多麦克风降噪。

（4）热工过程对象建模；因为RLS算法的过热气温在线性自适应建模算法，能够在未知环境下去跟踪输入向量随时间变化的特性。 4.3 RLS算法与LMS算法的比较

通过前面对RLS算法及其性能的介绍，下面将RLS算法与LMS算法进行比较，可得

24

出：

①比较RLS与LMS算法的权向量迭代公式，可以看出RLS算法中的增益向量与LMS算法中的?x(n)的作用相似，但是从RLS算法增益向量的表达式可以看出，在该增益向量中与LMS算法中标量?相当的是随n而变的方阵[14]，这表明了不同时刻n，RLS算法中权向量的每个元素的自改变量全部随下一个新的数据用不同的步长因子作改变，而不是用同一收敛因子?来调整。这表征了RLS算法调整的精细性及利用新信息的充分性。 ②在稳定不变的环境下，当迭代次数近似无限时，RLS算法和LMS算法所得的权向量在统计平均的意义是相等的，换句话说，LMS算法就是RLS算法。但是针对收敛后的均方误差来说，LMS算法远远不如RLS算法。

③RLS算法期望学习曲线经过2M次迭代收敛，其收敛速度比LMS算法快一个等级。 ④根据RLS算法公式可知，基本RLS算法每次迭代需要3M3?3M?1次乘法，一次除法和2M2?2M次加减法，即每次迭代运算量为O(M2)，而LMS算法每次迭代的运算量为O(M)，因此可以看出比起LMS算法，RLS算法的运算量大得多。

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第五章 LMS与RLS算法的性能仿真及分析

1.用MATLAB仿真LMS算法下的自适应滤波器，它的收敛因子?是0.03，采样频率为1000Hz，模拟频率为10Hz，采样次数为1000。信道参数为h=[-0.005，0.009，-0.024，0，854，-0.218，0.049，-0.0323]；抽头系数为30个。（代码见附录1）

图5-1为仿真结果：

图5-1 LMS算法下的自适应曲线

如图5-1所示：其中蓝色曲线代表理想输入，也就是无干扰的输入；而黄色曲线是已经加入了信噪比为30dB高斯白噪声后的输入信号，由此可见，信号的码间干扰十分严重，输入信号完全失真变形；红色曲线结果算法在自适应滤波器，和理想信号比较，几乎没有错误；绿色曲线是误差曲线，由图可见，在迭代次数为100时，LMS算法下的自适应均衡器开始收敛到最优解，达到了均衡作用。

下面来讨论不同收敛因子μ的值，分析LMS算法收敛速度： （1）μ=0.01：

26

图5-2 μ=0.01 下的误差曲线

如图5-2所示：当μ=0.01时，观察误差曲线，刚开始误差非常大，大约需要迭代大约450次，LMS算法才收敛，才能够达到均衡作用。 （2）μ=0.05

图5-3 μ=0.05下的误差曲线

如图5-3所示，当μ=0.05时，观察误差曲线，大约需要迭代200次才能够是的LMS算法收敛，达到均衡作用。

（3）μ=0.25

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图5-4 μ=0.25下的误差曲线

如图5-4所示，μ=0.25时，LMS算法已不收敛，也就是达不到自适应均衡的效果，不能补偿新到的统计特性。同时，也说明了μ是有取值范围，在这个范围中，μ决定了收敛速度。一旦超过这个范围，就没有均衡的效果了。对于横向滤波器来说：

0???1 （5-1）

(L?1)(信号功率)其中，L是最后一个滤波权的指标。

2.用MATLAB仿真RLS算法下的自适应滤波器，它加权因子?是0.99，采样频率为1000Hz，模拟频率为10Hz，采样次数为1000。信道参数为h=[-0.005，0.009，-0.024，0，854，-0.218，0.049，-0.0323]；抽头系数为30个。如图5-5所示：

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图5-5 RLS算法下的自适应曲线

如图5-5所示：RLS算法很快就收敛了，由图可见，在迭代次数大约为60时，RLS算法下的自适应均衡器收敛，满足理论推导。已知加权因子?的范围为0

图5-5中，信道为h=[-0.005，0.009，-0.024，0，854，-0.218，0.049，-0.0323]迭代次数是1000次，将信道改为离散时间信道h=[0.407，0.815，0.407]，迭代次数也是1000，如图5-6所示：

图 5-6 RLS下的自适应曲线

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由理论可知，RLS算法是无失调的，RLS算法随着迭代次数逐渐趋于无限大，权向量系数按均值收敛于最佳值，但是对于有限的迭代次数n，因为?的存在，RLS算法是会存在这个偏差，也就是说RLS算法是有偏估计。下面来通过实验来证明。迭代次数改为5000次，信道为离散时间信道h=[0.407，0.815，0.407]： （1）迭代次数为300时：

图5-7 迭代次数为300的误差曲线

（2）迭代系数为5000时：

图5-8 迭代次数为5000的误差曲线

随着实验发现，?值对收敛速度没有影响，它只是仅仅影响着RLS均衡器的自动跟踪信号的特性的能力，?值越小，跟踪能力越强，但是不能过小，过小就会造成均衡器就会

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失去稳定。RLS算法随着迭代次数的逐渐趋于无穷时，权向量系数就会收敛到最佳值。

3.比较LMS算法与RLS算法的收敛速度（同一前提下）

图5-9 LMS算法下的误差曲线

图5-10 RLS算法下的误差曲线

由图5-9和图5-10可以看出RLS算法收敛速度远远大于LMS算法。LMS算法对收敛因子敏感。总的来说，RLS算法的误差性能优于LMS算法好，该算法收敛速度快，稳态误差小，但是算法复杂度上远远高于LMS算法，而造成这个的原因就是RLS算法要求每次系数更新，所需存储量很大。

综合以上，观察图5-1和5-5中的红色曲线的切入点，发现在LMS算法下红色曲线一开始的振幅值低于实际的输入信号的振幅值，也就是说LMS算法一开始的均衡效果不稳定，效果不加，所以使得输出信号微微的失真。而RLS算法下的却没有发生这个现象。换个角度考虑，其实也是说明了RLS算法的收敛速度比LMS快。再来比较图5-9和图5-10，发现在

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收敛之后，RLS算法的曲线波动比较小，而LMS算法的波动比较大，也就是说，RLS算法收敛的稳态比较好，误差小，精确度高，而LMS算法由于采用的是瞬时梯度估计，消除噪声的能力比较不好，在图中可以看出收敛之后还有波动，也就是还掺杂部分噪声。

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第六章 总结

在今天，由于信息技术的飞速发展，在自适应技术中，速度已经成为当今研究的热点。经过研究，发现其实自适应滤波器最基本，最主要的性质就是它的时变性，自调整性。对于自适应系统，通常的领域是通信，雷达，声纳，地震学，机械设计，导航系统及生物学。

自适应滤波器中有很多自适应算法，并且各有优缺点。而每个算法有每个算法的独特应用。本文中主要讲述了最小均方算法和最小二乘算法的原理。通过实验研究，分析这两个算法的性能。发现，LMS算法设计简单而且容易实现，并且运算量小，仅仅只有O(M)，而且LMS算法收敛速度受到收敛因子μ的影响，致使要选取合适的μ值才能达到合适的收敛速度并且不会造成较大的是失调量。而RLS算法虽然设计比LMS算法困难[15]，但是收敛速度比LMS算法快一个数量级，但是就是要牺牲运算量，RLS算法的运算量是

O(M2)。总的来说，选取自使用算法要考虑这些因素：设计难易程度，收敛速度，运算量，

失调量等。

在生活中，其实生活中存在许多常见的其他算法的自适应均衡器的应用。例如：无人直升机动态逆神经网络自适应姿态控制；自适应控制系统与人力资源管理中的平衡计分卡和最优捕鱼策略的自适应控制；自适应计数在十字路口交通控制的应用等。

总的来说，自适应技术是当今不可或缺的重要手段，而当今在这个技术领域中，最热门的研究就是如何去减少运算量而去加快收敛速度。

33

参考文献

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附录1

%LMS算法， clear all

L=30； %滤波器抽头数 μ=0.03； %步长因子，收敛因子 n_max=1000； %总采样次数 Fs=1000； %采样频率 F0=10； %模拟频率 w=zeros(L，1)； %权系数初始化 d=zeros(L，1)； u=zeros(L，1)；

h=[-0.005，0.009，-0.024，0.854，-0.218，0.049，-0.0323]； %ISI信道参数，输入信号进去信道的信道参数 for t=1:L-1

d(t)=sin(2*pi*F0*t/Fs)； %正弦序列 end input=d； for t=L:n_max

input(t)=sin(2*pi*F0*t/Fs)； for i=2:L

d(L-i+2)=d(L-i+1)； end

d(1)=input(t)； %理想信号 u=filter(h，1，d)；%信道输出信号 u

u=awgn(u，30，'measured')； %在信号u中加入一个信噪比为30dB的高斯白噪声 %在系统中就插入LMS均衡器，消除码间干扰 %算法的开始 output=w'*u； E=d(1)-w'*u；%误差

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w=w+μ*E*u；%LMS算法公式， indata(t-L+1)=u(1)； outdata(t-L+1)=output； err(t-L+1)=E； end

plot(input)；%无干扰的输入信号 hold on

plot(indata，'y') ；%码间干扰的输入信号 hold on

plot(outdata，'r')；%自适应滤波器输出信号 hold on

plot(err，'g') ；%LMS误差曲线，判别收敛速度 hold off

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附录2

%RLS算法.2014.4.15 clear all

L=30； %抽头数

delta=0.1； %是一个很小的常数 lamda=1； %加权因子 n_max=1000； Fs=1000； F0=10；

w=zeros(L，1)； %权系数初始化 d=zeros(L，1)； u=zeros(L，1)；

P=eye(L)/delta；%初始化相关矩阵

h=[-0.005，0.009，-0.024，0.854，-0.218，0.049，-0.0323]；%输入信号进去信道的信道参数 for t=1:L-1

d(t)=sin(2*pi*F0*t/Fs)；%正弦序列 end input=d； for t=L:n_max

input(t)=sin(2*pi*F0*t/Fs)； for i=2:L

d(L-i+2)=d(L-i+1)； end

d(1)=input(t)；

u=filter(h，1，d)；%信号经过信道

u=awgn(u，30，'measured')；%加上信噪比为30dB的高斯白噪声噪声 %在系统插RLS均衡器 %算法的开始

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output=w'*u；

k=(P*u)/(lamda+u'*P*u)；%计算增益矢量 E=d(1)-w'*u； %误差 w=w+k*E； %权系数更新公式

P=(P/lamda)-(k*u'* P)/lamda；%相关矩阵更新 indata(t-L+1)=u(1)； outdata(t-L+1)=output； err(t-L+1)=E； end

plot(input) ，title('发送信号')； hold on

plot(indata，'black') ，title('接收信号')； hold on

plot(outdata，'r') ，title('RLS均衡后输出信号')； hold on

plot(err，'g') ，title('RLS误差信号')； hold off

38

output=w'*u；

k=(P*u)/(lamda+u'*P*u)；%计算增益矢量 E=d(1)-w'*u； %误差 w=w+k*E； %权系数更新公式

P=(P/lamda)-(k*u'* P)/lamda；%相关矩阵更新 indata(t-L+1)=u(1)； outdata(t-L+1)=output； err(t-L+1)=E； end

plot(input) ，title('发送信号')； hold on

plot(indata，'black') ，title('接收信号')； hold on

plot(outdata，'r') ，title('RLS均衡后输出信号')； hold on

plot(err，'g') ，title('RLS误差信号')； hold off

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