第十八届北京市大学生数学竞赛本科试题解答

第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答

（2007年10月14日 下午2：30--5：00）

注意：本考卷共九题. 甲组九题全做, 乙组只做前七题

一、 填空题（每小题2分，共20分）

1.设当x?1时,1?解m?3.m1?x???xm?1是x?1的等价无穷小,则m?______.2.设f(x)?解f?(1)?(x?1)(x?2)?(x?n)(x?1)(x?2)?(x?n)(?1)n?1,则f?(1)?________.

n(n?1).1n3.已知曲线解y?f(x)在点(1,0)处的切线在1n)]ny轴上的截距为?1,则lim[1?f(1?n??)]n?_____.lim[1?f(1?n???e.kn4.limn???k?1enn?1k?______.

解π原式?e?1.x?sin25.解??2π2x2(1?cosx)dx?_________.原式?4?π.6.设函数z?f(x,y)在点 (0,1)的某邻域内可微, 且f(x,y?1)?1?2x?3y?o(?),其中??解x?y，则曲面 z?f(x,y) 在点 (0,1) 处的切平面方程为_____________.切平面方程为2x?3y?z?2?0.227.直线解x?10?y?11?z?112绕z轴旋转的旋转曲面方程2为_____________.旋转转曲面方程x?y?z2?1.8.设L为封闭曲线解原式?0.|x|?|x?y|?1的正向一周，则?xydx?cos(x?y)dy?____.L229.设向量场A?2xyzi?xyzj?xyzk,则其散度divA在点M(1,1,2)处沿?方向l?{2,2,?1}的方向导数(divA)|M?______.?l22解原式?.33222210.设y?e2x22?(1?x)e是二阶常系数线性微分?_______.??2x方程y????y???y??e的一个特解,则x?2??22????

解??14.二、(10分)设二元函数试证明函数f(x,y)?|x?y|?(x,y),其中?(x,y)在点(0,0)的一个邻域内连续件是?(0,0)?0..f(x,y)在(0,0)点处可微的充分必要条证由于(必要性)设f(x,y)在(0,0)点处可微,则fx?(0,0),fy?(0,0)存在.fx?(0,0)?lim|x|?(x,0)?f(x,0)?f(0,0)xlim?limx?0|x|?(x,0)x,x?0x(充分性)若?(0,0)?0,则可知x?022且lim??(0,0),|x|?(x,0)?x?0xfx?(0,0)?0,fy?(0,0)?0.因为?|x?y|?(x,y)x?y22???(0,0),故有?(0,0)?0.f(x,y)?f(0,0)?fx?(0,0)x?fy?(0,0)yx?y所以limx?0y?0,又|x?y|x?y22?|x|x?y22?|y|x?y22?2,|x?y|?(x,y)x?y22?0.由定义f(x,y)在(0,0)点处可微.三、(10分)设f(x)在区间[?1,1]上三次可微f???(?)f(1)?f(?1)??f?(0).62证f(1)?f(0)?f?(0)?f(?1)?f(0)?f?(0)?f(1)?f(?1)?2f?(0)?由导数的介值性知存在f???(?)6?f??(0)2!f??(0)2!16??f???(?1),3!f???(?2)3!,证明存在实数??(?1,1),使得

,

[f???(?1)?f???(?2)].12[f???(?1)?f???(?2)].于是实数??(?1,?2),使得f???(?)??f?(0).2f(1)?f(?1)2四、(10分)设函数u(x,y),v(x,y)在闭区域D:x?y2?1上有一阶连续偏导数,又??u??v?u??v???f(x,y)?v(x,y)i?u(x,y)j,g(x,y)??????i????j,且在D的边界上有?x?y?x?y????u(x,y)?1,v(x,y)?y,求

??Df?gd?.解??ff??D???u??v?u??v??g?v???u?????y??y??x??x??(uv)?(uv)???gd?????d??x?y??D???u?v??u?v??(uv)?(uv)????v?u?v?u?,?????x?x?y?y?x?y????

??0?uvdx?uvdy??ydx?ydyLL2π??(?sin??sin?cos?)d???π,2L:x2?y2?1,正向.z2五、(10分)计算??x?2dydz?ydzdx?zdxdy,其中?:(x?1)?(y?1)?22224?1(y?1),取外侧.解设?0:y?1,左侧,D:(x?1)???2z24?1,则原式??????0????0.???0??dzdx??2π,D?????0?2???Vπ(x?y?z)dv?2π???V(x?y)dv?2d?0??ππd?0?12(rcos?sin??rsin?sin??2)rsin?dr20?1121922(cos?sin??sin?sin??sin?)d??π,0044331925原式?π?2π?π.33?4d???另解设?0:y?1,左侧,D:(x?1)???2z24?1,则原式?????????0?0V.???0??dzdx??2π,??D2???02?2???(x?y?z)dv,V2故原式?2???(x?y?z)dv?2π.

z2???Vxdv??xdx20??Dxdydz?π?x(2x?x)dx?243π,0Dx:(y?1)?116242?2x?x,y?1,z22???Vydv??ydx831??Dydzdx?π113?y?2?(2y?y)dy?2532π,0Dy:(x?1)?4?2y?y,2?原式?π?π?2π??π.六、(10分)设正项级数(1)limn???an?1n收敛,且和为S.试求：?

.a1?2a2???nann;(2)?n?1a1?2a2???nann(n?1)解(1)a1?2a2???nan?Sn??lim(2)?nS1?S2???Sn?1?Sn?Sn?S1?Sn?S2???Sn?Sn?1nS1?S2???Sn?1n?1?n?1n,na1?2a2???nan??Sn?n??na1?2a2???nan?S?S?0;a1?2a2???nan?a1?2a2???nan

n(n?1)a1?2a2???nannnn?1a?2a2???nan?(n?1)an?1?1?an?1.n?1记?bn?a1?2a2???nannn(n?1),则a1?2a2???nann(n?1)??n?1?bn?bn?1?an?1

??n?1a1?2a2???nan?b1??an?1??an?1n?S.七、(10分)飞机在机场开始滑行着陆.在着陆时刻已失去垂直速度,水平速度为v0米/秒.飞机与地面的摩擦系数为?,且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比,在水平方向的比例系数为机的质量为解kx千克?秒/米,在垂直方向的比例系数需的时间.22为ky千克?秒/米.设飞22m千克,求飞机从着陆到停止所Rx?kxv,垂直方向的阻力dsdt222水平方向的阻力Ry?kyv,摩擦力W??(mg?Ry).2由牛顿第二定律，有kx??kym?kx??kym(dsdt)??g?0.dsdtABv0).222记A?,B??g,根据题意知dvA?0.于是有1AB?A(dsdt)?B?0,即2dvdt?Av2?B?0.分离变量得Av2?B??dt,积分得1ABarctan(ABv)??t?C.代入初始条件1ABt?0,v?v0,arctan(1ABABv0)?得C?1ABABarctan(AB?t?arctan(v).mkx??kym?g当v?0时，t?arctan(v0)?(kx??ky)?garctanv0(秒).

以下两题乙组考生不做

八、(10分)证明sin1是无理数.证设sin1是有理数，则pqsin1??1?13!?

pq15!15!,p,q是互素的正整数?17!17!???(?1)(?1)n?1.?(?1)n根据sinx的展开式有由(2n?1)!(?1)n(2n?1)!n?1(2n?1)!(?1)ncos?(2n?1?q).pq?(2n?1)![1?13!

cos?知，?????(2n?1)!).]?2n(2n?1)2n(2n?1)cos?是整数(两个整数之差仍是整数(?1)cos?2n(2n?1)n然而|cos?|?1,2n?1,故所以sin1是无理数.不可能是整数,矛盾.

九、(10分)在区间(0,π2)内,试比较函数tan(sinx)与sin(tanx)的大小，并证明你的结论.解 设 f(x)?tan(sinx)?sin(tanx),则.22cos(sinx)cosxπππ当0?x?arctan时，0?tanx?,0?sinx?.222π由余弦函数在（0，）上的凸性有21tanx?2sinx23cos(tanx)cos(sinx)?[cos(tanx)?2cos(sinx)]?cos.33设?(x)?tanx?2sinx?3x，??(x)?sec于是tanx?2sinx?3x,所以cos于是当x?(0,arctan当x?[arctanπ22f?(x)?sec(sinx)cosx?cos(tanx)sec22x?cosx?cos(tanx)cos(sinx)32x?2cosx?3?tan2x?4sin22x2?0.3tanx?2sinx3?cosx,即cos(tanx)cos(sinx)?cosx.f(x)?0.)时，f?(x)?0,又f(0)?0,所以sin(arctanπππ,)时,sin(arctan)?sinx?1.由于222ππtan(arctan)πππ22)????,2224ππ4?π21?tan(arctan)1?24于是1?tan(sinx)?tan1.

故?π4?sinx?1.ππ,)时,f(x)?0.22π综上可得,当x?（0,)时,tan(sinx)?sin(tanx).2当x?[arctan

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