工程硕士现代信号处理复习（word版）

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学习要点 ? 1.课随机变量的描述 ? 2.随机变量的数值特征 ? 3.离散随机过程 ? 4.狭义平衡随机过程 ? 5.随机过程的数值特征 ? 随机过程的数值特征 ? 6.自相关序列和自协方差序列 ? 7.离散随机过程的平均 ? 8.相关序列和协方差序列的性质 ? 9.功率谱 ? 10.离散随机信号通过线性非移变系统习题一

设　x(n)?Aicos(win)?Bisin(win) i?1

其中随机变量Ai,Bi都服从均值为零、

方差为?2的高斯分布，并且两两之间互相独立。

求x(n)的均值、自相关函数和功率谱密度（PSD）。解：

p iiii?1

???x(n)的均值为：E?x(n)??E??Acos(wn)?Bsin(win)???

iiii i?1i?1

因为正弦与余弦为正交函数：

x(n)的自相关函数为：x(n)?Ex(n1)x(n2) ?p??p?Aicos(win1)?Bisin(win1)??Aicos(win2)?Bisin(win2)? =E? ?i?1??i?1? pppp ＝E?AiAjcos(win1)cos(wjn2)??E?BiBjsin(win1)sin(wjn2)????? i?1ji?1i?1

p 2=cos(wim),m?n1-n2

＝?E?Acos(wn)?+?E?Bsin(wn)? =0??????????i??? 1

x(n)的功率谱函数为：P?x(n)??FT????x(n1)x(n2)???

=FT??p??2cos(w?im)?,m?n1-n2

?i? ?p

??2???(w-wi)??(w?wi)? i ?p =?2???(w-wi)??(w?wi)?i第二章维纳滤波器

第二章维纳滤波器习题课内容

? 维纳滤波器分类 ? 维纳滤波器的时域解 ? 维纳滤波器的Z域解 ? 维纳滤波器的预测器一、维纳滤波分类

(2)由过去的观测值估计当前甚至将来的信号值，即以x(n),x(n-1),x(n-2),,来确定s?(n?N)，

这属于预测或外推。 (1)由当前的及过去的观测值估计当前的信号值，即由x(n),x(n-1),x(n-2),,来确定s?(n)，这常作滤波。

(3)由过去的观测值估计过去的信号值，即以x(n),x(n-1),x(n-2),,来确定s?(n-N)，而N?1，这常被称作内插或者平滑。

二、维纳滤波的时域解为维纳－霍夫方程。 ??xs????xx??h?

维纳滤波器的最佳解 ?h???h?opt???-1xx???xs?

三、维纳滤波的复频域(Z)解

维纳－霍夫方程不能直接转入z域求解的根本原因是：系统的因果性。

系统的单位取样响应h(n)为因果序列, 对应的Z变换属于单边Z变换.2

比较因果维纳滤波器与非因果维纳滤波器：

(1)在Z域上，因果维纳滤波器的最小均方误差与非因果维纳滤波器的最小均方误差的形式相同：

E??e2

(n)??min=12?j?c???ss(z)-Hopt(z)?xs(z-1)??z-1dz

但公式中的Hopt(z)的表达式不同：因果：Hopt?1??xs(z)?2

wB(z)???B(z-1)??? 非因果：H(z)?1?xs(z)?xs(z opt?2B(z?1 w)B(z)?)?xx(z)

比较因果维纳滤波器与非因果维纳滤波器设计步骤： (2)在时域上，因果维纳滤波器与非因果维纳滤波器的最小均方误差：

E??e2?(n)????(0)-12ss???ws(k) min2wk?-? 因果：E??e2? (n)????ss(0)-12?2 minw??ws(k)k?0

它们第二项求和域不同。可通过计算积分函数在单位园内的极点的留数来得到。

因果滤波器设计实现步骤：

(1)根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应的信号模型的传输函数，

即采用谱分解的方法得到B(z)。3

非因果：具体方法为： 2-1?(z)??B(z)B(z)xxw 把单位园内的零极点分配给B(z)，

单位园外的零极点分配给B(z-1)，

2系数分配给?w。

(2)求 ??xs(z)? ?B(z-1)?的反变换，?? 取其因果部分再做z变换。

即舍掉单位园外的极点，得： ??xs(z)? ?B(z-1)????

opt2-1

2-1-1 ssoptxsminc 2 optmin

四、最佳线性预测滤波器

? 1、IIR预测器

? 2、N步IIR纯预测器 ? 3、一步线性预测器 1、IIR预测器

(3)积分曲线取单位园，应用式：1??(z)?H(z)????B(z)?B(z)?E??e(n)??=2?j?1???(z)-H(z)?(z)??zdz。计算H(z)和E??e(n)??x(n)?s(n)??(n)H(z) ?(n?N)y(n)?s

基本的维纳预测器

输入与输出关系：?(n?N)??h(m)x(n-m)??hixi y(n)?smi4

xyd(k)??hopt(m)?xx(k-m) k?0

m?0

?Nxyd(z)?z?xs(z)

非因果IIR预测器 H(z)??xyd(z) opt ?xx(z) N步预测的维纳预测器的最小均方误差：

E??e2 (n?N)??min=E??s(n?N)-s?(n?N)?2? min ?1 2?j??c??-1ss(z)-Hopt(z)?xyd(z)??z-1dz Hopt(z)??xyd(z)zN?xs(z) ?)?xx(z?xx(z)

及 E??s(n?N)-s?(n?N)?2?min=12?j????-H-N-1-1ss(z)opt(z)z?xs(z)?c?zdz 5

因果IIR预测器 opt2

ssopt

c opt

2、N步IIR纯预测器

纯预测:不考虑噪声信号，即：

(n)=0， x(n)?s(n)+(n)=s(n)

H??xyd(z)?1(z)???-1?B(z)?B(z)?+?Z?xs(z)?1=??-1?B(z)?B(z)??其最小均方误差：?(n?N)?E?s(n?N)-s1??min-1-1????(z)-H(z)?(z)zdzxy?d?2?j?-N-1-1??=?(z)-H(z)z?xs(z)?zdz??2?j1对比可知：因果、非因果表示形式完全一样，(z)不尽相同罢了。只是H??x(n)?s(n)H(z) ?(n?N)y(n)?s

纯预测器

对于因果系统：1Hopt(z)?2?wB(z)??xyd(z)???-1?B(z)?+N2-1?Z?wB(z)B(z)?1=2??-1?wB(z)?B(z)??1N???ZB(z)??B(z)??-k???ZB(z)???=Z?B(z)-?b(k)z?k?0??NNN-1?1N?-k??Hopt(z)??Z?B(z)-?b(k)z??B(z)??k?0??N-1其最小均方误差：2E?e?(n?N)??min1-1-1????(z)-H(z)?(z)zdzssoptxyd???2?jc?????2?jc122-NN-1??wB(z)B(z-1)-?wzB(z-1)?zB(z)zdz????E?e(n?N)?2?n?0min?2222??wb(n)-?b(n?N)?w?n?07

特例： opt

min

3、一步线性预测器，也称FIR单步预测器

E?e(n?N)?2min??2w?b(n)2n?0N-12单步IIR纯预测器为：设b(0)?1,?w?1H1(z)??ZB(z)??=Z?B(z)-1?B(z)B(z)E?e(n?1)???2w?bn?0N-12(n)=1x(n-1),x(n-2),x(n-p)H(z) 一步线性预测?(n)y(n)?x

?(n)??h(k)x(n-k) 其输出信号：y(n)?xk?1p是典型的一步线性预测计算公式。x(n-1),x(n-2),式中：p为阶数，看出此线性预测器为FIR型。x(n-p)h(1)z-1z-1z-1h(2)h(3)h(p)?(n)x一步线性预测器p阶FIR单步预测器

预测误差的均方值取得最小值时，预测误差与进入预测的数据正交： E?e(n)x(n-l)??0, l?1,2,,p 推出：Yule-Walker方程。

令h(k)?-apkYule-Walker方程

?p ??xx(0)??apk?xx(k)?E??e2(n)? ? ?k?1?min ?p ??xx(l)??apk?xx(l-k)?0, l?1,2,,p ?k?1 以矩阵形式表示： ? ??xx(0)?xx(1)?xx(p)??1??E??e2(n)??min? ??xx(1)?xx(0)??? ???xx(p-1)??a??p1?=??0?? ? ??xx(p)?xx(p-1)???????xx(0)???app???? ?0?? 是求解一步维纳预测器的有效方法。 H(z)?h(1)?h(2)z?1??h(p)z?(p?1) ??a?1p1?ap2z??a?(p?1)ppz 预测误差滤波器

x(n-1),x(n-2),x(n-p)ap0z-1z-1z-1ap1ap2apne(n)一步线性预测误差滤波器题2 设已知：x(n)?s(n)??(n),以及 ?ss(z)?0.38 (1-0.6z-1)(1-0.6z)

???(z)?1,(白噪声) ?(z)?0,(s(n)与?(n)不相关) s? 其中s(n)为希望得到的信号，?(n)为加性白噪声，试求物理可实现与物理不可实现两种情况时的

Hopt(z)与相应的E??e2(n)??min。

解：

设?(z)?0，? s???(z)?1,所以： ?xx(z)??ss(z)? ???(z) =0.38(1-0.4z-1)(1-0.4z) (1-0.6z-1)(1-0.6z)+1=1.5(1-0.6z-1)(1-0.6z) ?xx(z)??2wB(z)B(z-1)

其中B(z)由单位园内的零、极点，

B(z-1)由单位园外的零、极点组成。10

?2w=1.5,(1-0.4z-1B(z)=)(1-0.6z-1),B(z-1)=(1-0.4z)(1-0.6z)对于物理可实现情况：设?s?(z)?0，???(z)?1,所以：H(z)=1??xs(z)?opt?2?(z-1)?? wB(z)?B+=1??ss(z)??2-1?wB(z)??B(z)?+=1-0.6z-1?0.38?1.5(1-0.4z-1)??(1-0.6z-1)(1-0.4z)??+Z-1??0.38?-1?1?10.4z??(1-0.6z-1)(1-0.4z)??=Z??2??1-0.6z-1?1-0.4z??????1n1n2?0.6???n?0时?2?2.5?（n<0时)n?0之项。1??0.38?2?(1-0.6z-1)(1-0.4z)??=＋1-0.6z-111Hz)?1-0.6z-1opt(231.5(1-0.4z-1)1-0.6z-1=1-0.4z-111

由于由于讨论是物理可实现的情况，取因此第三章卡尔曼滤波器内容

? 卡尔曼滤波器的信号模型－离散状态方程和量测方程 ? 卡尔曼滤波的算法

? 卡尔曼滤波与维纳滤波的关系

1.卡尔曼滤波器的信号模型－离散状态方程和量测方程

– 离散系统的n维状态方程：

x(k)?Akxk?1?wk-1离散系统的m维量测方程： yk＝ckxk＋?k

2.卡尔曼滤波算法

? 采用的误差准则：均方误差最小。 ? 采用递推估计方法。统计特性：

E?w??0，cov??w,w???E??wwT

kkjkj???Qk?kj E????0，cov???,????E????T kkjkj?

??Rk?kj

cov??w,????E??w?T