2014年六年级数学思维训练：数论综合三

2014年六年级数学思维训练：数论综合三

一、兴趣篇 1．（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数． （2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数． 2．已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×…×n） 3．一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7．如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．

4．请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除． 5．在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：所有满足条件的两位数之和是多少？

6．用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？

7．一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小值．

8．有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除．满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？

9．小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？

10．对于一个自然数N，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除．那么在1至2008这2008个自然数中有多少个“破坏数”？

二、解答题（共12小题，满分0分） 11．（1）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20； （2）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是04；

（3）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20，后两位是04． 12．已知n!+4等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×…×n）

13．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．

14．三个两位奇数，它们的最大公约数是l，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数．求所有满足要求的情况．

15．1×4×7×lO×…×2008的末尾有多少个连续的零？ 16．一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数．如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？

17．任意一些末两位数是25的数相乘，它们的乘积末两位数仍是25，我们就称25是“变不掉的两位数尾巴”．显然000是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”． 18．在3和5之间插入6、30、20三个数，可以得到3、6、30、20、5这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．请你在4与3之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．

19．M、N是互为反序的两个三位数，且M＞N．请问：

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（1）如果M和N的最大公约数是7，求M； （2）如果M和N的最大公约数是21，求M．

20．用l、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是多少？

21．请将l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数．

22．一根红色的长线，将它对折，再对折，…，经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线．已知红色短线比白色短线多．m且它们的数量之和是100的倍数．请问：红色短线至少有多少条？

三、解答题（共8小题，满分0分）

23．求出所有正整数n，使得25+n能整除25×n．

24．一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数．

25．一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？

26．一个不超过200的自然数，如裂川四进制表示，那么它的数字和是5；如果用六进制表示，那么它的数字和是8；如果用八进制表示，那么它的数字和是9．如果用十进制表示，这个数是多少？

27．把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除．这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？

28．用l、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数，你能否从这120个数里面找出11个数来，使得它们除以11的余数互不相同？如果五个数字是1、3、4、6、8呢？

29．用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B．请问：A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？

30．我们将具有如下性质的自然数K称为“巨人数”：如果一个整数M能被K整除，则把M的各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被K整除，请求出100以内的所有的“巨人数”．

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2014年六年级数学思维训练：数论综合三

参考答案与试题解析

一、兴趣篇 1．（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数． （2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数． 【分析】（1）估算出40000和41000之间的平方数即可．

（2）估算略大于800、8000以及80000的数，看看有没有在它左边写上80后所得的数是完全平方数的数即可．

【解答】解：（1）200=40000，201=40401，202=40804，可见只有401和804可以． （2）估算略大于800，没有； 估算略大于8000，没有；

2

估算略大于80000的数可得：284=80656，因此，最小数是656．

2．已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×…×n）

22

【分析】对任意偶数2k，其平方4k必能被4整除，对任意奇数2k+1，其平方4k+4k+1被4整除余1，由于当n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故当n≥4时，1×2×3×…×n+3不可能是一个自然数的平方．

【解答】解：对任意偶数2k，其平方4k必能被4整除，对任意奇数2k+1，其平方4k+4k+1被4整除余1，由于当n≥4，1×2×3×…×n+3被4除余3，故当n≥4时，1×2×3×…×n+3不可能是一个自然数的平方． 将n=1，2，3代入知：

1+3=4=2

2

1×2×3+3=9=3 故n=1，或n=3．

答：自然数n的值为1或3． 3．一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7．如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数． 【分析】设两个完全平方数个分别为A×A和B×B，由题意，B×B﹣A×A=3333，可以写作（B+A）×（B﹣A）=3333，而3333=3×11×101，有可能的形式是3333=3333×1或1111×3或101×33或303×11，然后进行讨论解决．

【解答】解：两个完全平方数个分别为A×A和B×B，由题意，B×B﹣A×A=3333，可以写作（B+A）×（B﹣A）=3333而3333=3×11×101，有可能的形式是3333=3333×1或1111×3或101×33或303×11也就是说A和B的和可能是3333，差可能是1，或者和是1111，差是3，诸如此类，共有4种情况但因为完全平方数A×A和B×B是四位数，A和B最多是两位数，所以只能有A和B的和是101，差是33，那么A=（101﹣33）÷2=34，原来的四位数为34×34=1156．

4．请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除． 【分析】首先所有的奇数有1、3、5、7、9五个数字，再进一步根据被数整除的特征逐一分析探讨得出答案即可．

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2

2

2

2

2

2

【解答】解：从1、3、5、7、9中选出3个，

显然无9，因为若有9，要求其他两位数字之和为9的倍数，这是做不到的． 从1、3、5、7选出三个数共4种情况，而有5时必须在末尾 ①1、3、5：135，315；

②1、3、7：无（1+3+7=11不是3的倍数）； ③1、5、7：175，715（不是7的倍数，舍去）； ④3、5、7：735，375（不是7的倍数，舍去）； 所以符合条件的三位数有：135、315、175、735．

5．在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：所有满足条件的两位数之和是多少？

【分析】①设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除； ②因为100A+B=90A+（10A+B），由数的整除性质可知90A能被10A+B整除．而

2

90A=2×3×5×A，A的取值范围是1至9这9个数字．利用穷举法即可推出符合条件的两位数．

【解答】解：设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除． 因为100A+B=90A+（10A+B），由数的整除性质可知90A能被10A+B整除． 因为90A=2×3×5×A，根据A的取值，可以列举出所有符合题意的两位数如下表所示：

2

由上述列举可得，符合条件的两位数分别是：

10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，90 10+15+18+20+30+40+45+50+60+70+80+90

=（10+90）+（20+80）+（30+70）+（40+60）+50+15+45+18 =450+60+18 =528

答：所有满足条件的两位数之和是528．

6．用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？ 【分析】设组成两个三位数为A和B，（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，设 d=（A，B，540），540=2×2×3×3×3×5，因为2、3、4、5、6、7这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5，则d的最大值为：2×2×3×3×3=108，据此解答即可． 【解答】解：设（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数， 设 d=（A，B，540），540=2×2×3×3×3×5，

因为2、3、4、5、6、7这六个数字中只有一个是5的倍数， 所以d的因数中不可能包含5， 则d的最大值为：2×2×3×3×3=108，

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此时这两个三位数分别是432、756． 答：这两个三位数应该分别是432、756．

7．一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小值．

【分析】设自然数为n，与99的乘积为99n，然后根据99的整除性质，可知99n能同时被9和11整除，被9整除：各位数字和，是9的倍数；被11整除：奇数位数字和与偶数位数字和的差，能被11整除（或为0）．再根据各位数字都是偶数，且数字和是9的倍数，那么数字和就是18的整数倍．经过试算，可知两位数、三位数、四位数、五位数只军无解，六位数时，228888为最小的符合条件的数，进一步解决问题． 【解答】解：设自然数为n，与99的乘积为99n， 99=9×11，99n能同时被9和11整除， 被9整除：各位数字和，是9的倍数；

被11整除：奇数位数字和与偶数位数字和的差，能被11整除（或为0）． 各位数字都是偶数，且数字和是9的倍数，那么数字和就是18的整数倍． 再看怎么满足能被11整除， 数字和为18，不能满足；

数字和为36，18﹣18=0，满足， 经试乘积最小为228888．

所求自然数最小为：228888÷99=2312． 答：满足要求的最小值2312．

8．有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除．满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？ 【分析】由于这三个自然数其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，所以三个数的形式应为：ab，ac，bc，其中a，b，c两两互质，且不能为1．取最小的三个，两两互质的数2，3，5，得三个数分别为2×3=6，2×5=10，3×5=15． 【解答】解：根据题意可知，三个数的形式应为：ab，ac，bc， 其中a，b，c两两互质，且不能为1． 取最小的三个，两两互质的数2，3，5， 得三个数分别为2×3=6，2×5=10，3×5=15． 6+10+15=31．

答：三个自然数的和的最小值是31．

9．小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？

x+tx

【分析】设小华赢了x局，小明赢了x+t局，t是正整数，则3﹣3=99m，m也是正整数，

xt

即3×（3﹣1）=11×9m．

【解答】解：设小华赢了x局，小明赢了x+t局，t是正整数，

x+tx

则3﹣3=99m，m也是正整数，

xt

即3×（3﹣1）=11×9m，

t

所以3﹣1是11的倍数， 234

3﹣1=8，3﹣1=26，3﹣1=80，这些都不是11的倍数，

5

而3﹣1=242=11×22，可以满足条件，所以t最小值为5．

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【分析】根据约数的概念，经过多次试探，可排出：6、2、1、9、3、7、4、8、10、5、11；还有其他情况．

【解答】解：有以下两种排列方法：

①6、2、1、9、3、7、4、8、10、5、11； ②11、1、2、7、3、8、4、9、5、10、6．

22．一根红色的长线，将它对折，再对折，…，经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线．已知红色短线比白色短线多．m且它们的数量之和是100的倍数．请问：红色短线至少有多少条？

【分析】根据题意我们可以用两种线实际操作演示，通过演示得出一根红色的长线经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2m+1）条短线，一根白色的长线经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2n+1）条短线；再根据m＞n和红色短线的数量与白色短线的数量之和是100的倍数，推出最小值．

【解答】解：我们可以实际操作，通过操作得出一根红色的长线经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2m+1）条短线，一根白色的长线经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2n+1）条短线；

则（2m+1）+（2n+1）=100a（a为正整数）， 2m+2n+2=100a， a=

，

因为（2m+1）有最小值，则m要有最小值， 又因为a为正整数，且m＞n， 则得到：a=1，m+n=49， 那么m=25，n=24． 则2m+1=50+1=51（条）． 答：红色短线至少有51条．

三、解答题（共8小题，满分0分）

23．求出所有正整数n，使得25+n能整除25×n． 【分析】根据题意，可得

是一个整数，因为

=

=25﹣

，它是

一个整数，而且625=125×5=625×1，所以25+n=125，或25+n=625，进而求出n的值即可． 【解答】解：根据题意，可得因为

=

=25﹣

是一个整数，

，它是一个整数，

而且625=125×5=625×1，

所以25+n=125，或25+n=625， 解得n=100，或n=600．

故n=100，或n=600时，25+n能整除25×n．

24．一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数．

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【分析】显然这个数至少有两个质因子．设所含质因子中最小两个为p，q（p＜q），（此数只含有一个质因子P的话，最小四约数为1，p，p，p，其平方和=此数不被p整除．矛盾） 如果p不为2则该数为奇数，约数全奇，四个奇数的平方和为偶数 不等于该数 矛盾．p=2该数为偶数，该数最小四因子为1，2，a，b时，a、b不可同时为偶或者同时为奇，否则平方和为奇数也不等于该数．

分奇偶情况讨论如下：最小四约数可能为1，2，q，2q或1，2，4，q；得出答案即可． 【解答】解：（1）最小四约数可能为1，2，q，2q令n=2kq， 此时2kq=1+4+5q=5（q+1）右边含质因子q 只能q=5， 代入检验有k=13，该数为130；

（2）最小四约数可能为1，2，4，q，其中q为大于4的质数，令n=4kq．

2

此时4kq=q+21得到q|21，只能q=7， 代入检验k无整解．

于是符合要求的只有130．

25．一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？

【分析】设M=abcd，N=dbca，则M﹣N=1000a+100b+10c+d﹣（1000d+100b+10c+a）=999a﹣999d=999（a﹣d）；因为M和N的最大公约数是63，所以M与M﹣N的最大公约数也是63，

可得999（a﹣d）是7、9的倍数，所以a﹣d=7，解得

，所以M=9bc2或M=8bc1，

2

2

2

3

M是7、9的倍数，然后分类讨论，求出原四位数可能是多少即可．

【解答】解：设M=abcd，N=dbca，则M﹣N=1000a+100b+10c+d﹣（1000d+100b+10c+a）=999a﹣999d=999（a﹣d）；

因为M和N的最大公约数是63，

所以M与M﹣N的最大公约数也是63， 可得999（a﹣d）是7、9的倍数， 所以a﹣d=7， 解得

，

M=9bc2或M=8bc1，M是7、9的倍数， ①当M=9bc2时， 因为M是9的倍数，

所以9+b+c+2=11+b+c是9的倍数， 因此b+c=7或b+c=16（舍去）， 经验证，9702满足题意， 同理，2709也满足题意； ②当M=8bc1时， 因为M是9的倍数，

所以8+b+c+1=9+b+c是9的倍数， 因此b+c=9或b+c=18（舍去）， 经验证，8631满足题意， 同理，1638也满足题意，

综上，原四位数是9702、2709、8631或1638．

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26．一个不超过200的自然数，如裂川四进制表示，那么它的数字和是5；如果用六进制表示，那么它的数字和是8；如果用八进制表示，那么它的数字和是9．如果用十进制表示，这个数是多少？

【分析】利用如果一个数为n进制数，这个自然数和各个数为上的数字和除以n﹣1的余数相同，换句话说也就是关于n﹣1同余，由此利用同余分析解答即可． 【解答】解：若abc为n进制数，则abc=a+b+c（modn﹣1）， 设这个数为x，

由题意可得x=5（mod3）， x=8（mod5）， x=9（mod7），

则x=23（mod105） x=23或128， 23=113（4进制） 23=35（6进制） 23=27（8进制） 23满足题意．

128=3000（4进制） 128=332（6进制） 128=200（8进制） 符合条件的为23． 答：这个数是23．

27．把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除．这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？

【分析】根据题意，设出两个质数，再根据题中的数量关系，列出方程，再根据未知数的取值受限，解答即可．

【解答】解：设a，b是满足题意的质数，根据一个两位质数写在另一个两位质数后面，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除 那么有100a+b=k（a+b）÷2（ k为大于0的整数） 即（200﹣k）a=（k﹣2）b

由于a，b均为质数，所以k﹣2可以整除a，200﹣k可以整除b 那么设k﹣2=ma，200﹣k=mb，（ m为整数） 得到m（a+b）=198 由于a+b可以被2整除 所以m是99的约数

可能是1，3，9，11，33，99

若m=1，a+b=198且为两位数 显然只有99+99 这时a，b不是质数 若m=3，a+b=66 则 a=13 b=53 或a=19 b=47 或a=23 b=43 或a=29 b=37

若m=9，a+b=22 则a=11 b=11（舍去） 其他的m值都不存在满足的a，b

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综上a，b实数对有（13，53）（19，47）（23，43）（29，37）共4对 13×53=689，19×47=893，23×43=989，29×37=1073 所以两个质数乘积最大是：1073 乘积最小是：689

答：这样的两个质数乘积最大是1073，最小是689．

28．用l、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数，你能否从这120个数里面找出11个数来，使得它们除以11的余数互不相同？如果五个数字是1、3、4、6、8呢？

【分析】我们看能被11整除的数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．这个差是几，那么余数就是几．

【解答】解：设一个五位数是，奇位数字之和与偶位数字用A、B来表示，另A＞B，有≡A﹣B≡k（mod11），其中0≤K≤10． （1）用1、2、3、4、5组成的一个，数字和为A+B=15，因为A+B与A﹣B奇偶数相同，那么用1、2、3、4、5不能 组成余数为0的数，所以不能找到使得他们除以11的余数互不相同．

（2）用1、3、4、6、8组成一个，数字和为A+B=22，因为A+B与A﹣B奇偶相同，那么A﹣B一定为偶数，那些奇数的余数只能出现在A﹣B＞11时，当K=9，那么A﹣B=20不可能出现，所以不能找到使得它们除以11的余数互不相同．

29．用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B．请问：A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？ 【分析】（1）设（A，B，630）表示A，B和630的最大公约数，设d=（A，B，630），630=2×3×3×5×7，因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5；又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数，所以A、B的公约数中不可能包含9，即d的因数中不可能包含9，则d的最大值为：3×7=21，据此解答即可；

（2）当这两个三位数分别是：231、546时，231、546、630这三个数的公约数最大，公倍数最小，进而求出它们的最小公倍数即可． 【解答】解：（1）设（A，B，630）表示A，B和630的最大公约数， 设d=（A，B，630），630=2×2×3×3×3×5，

因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数， 所以d的因数中不可能包含5，

又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，

l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数， 所以A、B的公约数中不可能包含9， 即d的因数中不可能包含9，

则d的最大值为：3×7=21，此时这两个三位数分别是：231、546， 即A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是21．

（2）当这两个三位数分别是：231、546时，

231、546、630这三个数的公约数最大，公倍数最小， 因为231=21×11，546=21×2×13，630=21×2×3×5， 所以231、546、630这三个数的最小公倍数是：

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21×11×2×13×3×5=90090．

30．我们将具有如下性质的自然数K称为“巨人数”：如果一个整数M能被K整除，则把M的各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被K整除，请求出100以内的所有的“巨人数”． 【分析】能被1、3、9、11、33、99整除的数，各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被1、3、9、11、33、99整除，由此写出答案即可．

【解答】解：符合条件的数有1，3，9，11，33，99都是“巨人数”．

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【命题方向】 常考题型：

例1：有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是（ ） A、56 B、78 C、84 D、96

分析：把最大公约数8和最小公倍数96分解质因数，根据最大公约数是两个数的共有质因数，最小公倍数是两个数的共有质因数与独有质因数的乘积，可以判断出这两个数可能是什么，即可得解． 解：8=2×2×2， 96=2×2×2×2×2×3，

所以这两个最大公约数8，最小公倍数是96的二位数只能是2×2×2×2×2=32和2×2×2×3=24； 这两个二位数的和是：32+24=56； 故选：A．

点评：利用求解最大公约数和最小公倍数的方法，凑数逆向求解出两个二位数，观察选项，即可得解．

经典题型：

例2：沿小路一边从头开始插彩旗，每隔4米插一面，插到另外一端共插了37面彩旗．如果改成每隔6米插一面彩旗，可以有（ ）面彩旗不用移动．

A、12 B、13 C、14 D、15

分析：根据题意明白路头栽一棵除去，再利用间隔米数×彩旗面数=路的总长度；再求出4和6的最小公倍数，在算一算路的总长里有多少个这样的最小公倍数；就有多少颗公栽的树，最后加上开始那颗．

解：4和6的最小公倍数是12， 路长：4×（37﹣1）=144（米）， 公栽棵树：144÷12=12（棵）， 12+1=13（棵），

答：可以有13面彩旗不用移动． 故选：B．

点评：此题不是多难，关键别忘了路两头都栽树，开始那棵不占路长，再明白路长一定，间距再变，棵树也在变，得有公有的及要用到求最小公倍数，根据题意完成即可．

【解题方法点拨】

（1）两个数如果存在着倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数．

（2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积．

（3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的因数（除l外）即可；而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止．

（4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似．

6．位值原则 【知识点归纳】

1．位置原则：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同．也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”．例如“5”，写在个位上，就表示5

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个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等．这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则．

2．通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”．就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等．写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等．

3．用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数．例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6．根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数．

【命题方向】 经典题型：

例1：个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有（ ）

A、3 B、4 C、5 D、6

分析：设：原两位数的十位数为x，个位数为y，则原两位数值为（10x+y），交换后两位数的个位数为x，十位数为y，数值为（10y+x），x．y为小于10的正整数．因为交换后的两位数比原来小27，所以：（10x+y）﹣（10y+x）=27，进而得出x﹣y=3．然后对x、y进行取值，解决问题．

解：设原两位数的十位数为x，个位数为y，由题意得： （10x+y）﹣（10y+x）=27 10x+y﹣10y﹣x=27 9x﹣9y=27 x﹣y=3， 则x﹣3=y，y+3=x，

因为x．y为小于10的正整数，

所以x=9，8，7，6，5，4；y=6，5，4，3，2，1 所以10x+y=96，85，74，63，52，41共有6个． 答：满足条件的两位数共有6个． 故选：D．

点评：对于位置原则问题，一般采取设未知数的方法，推出关系式，进行取值，解决问题．

例2：表示一个三位数，=100a=10b=c，那么++是（ ）的倍数． A、321 B、111 C、101 D、121 分析：根据位值原则，把计算得出．

+

+

表示为（100a+10b+c）+（100b+10c+a）+（100c+10a+b），

解：++，

=（100a+10b+c）+（100b+10c+a）+（100c+10a+b）， =111（a+b+c）； 故选：B．

点评：此题考查了学生用字母表示数以及对位值原则问题的解答能力．

【解题方法点拨】

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通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”，就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等．写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等．

7．数的整除特征 【知识点归纳】

整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数 数的整除特征

（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除． （2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除． （3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．

（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．

（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．

（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除．

【命题方向】 经典题型：

例1：下列4个数都是六位数，A是大于0小于10的自然数，B是0，一定能同时被2、3、5整除的数是（ ）

A、AAABAA B、ABABAB C、ABBABB D、ABBABA 分析：这个六数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管A是比10小的哪个自然数，A+A+A的和一定是3的倍数，所以ABABAB一定能被3整除 解：B=0，

ABABAB能被2和5整除， A+A+A的和一定是3的倍数， ABABAB也一定能被3整除， 故选：B．

点评：此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．

常考题型：

例2：有一个四位数3AA1能被9整除，A是 7 ．

分析：已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9．若A=9，那么3+A+A+1=22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18．

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解：根据题意可得：

四位数3AA1，它能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数；

因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9；若A=9，那么3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18；

当3+A+A+1=9时，A=2.5，不合题意； 当3+A+A+1=18时，A=7，符合题意； 所以，A代表7，这个四位数是3771． 答：A是7， 故答案为：7．

点评：本题主要考查能被9整除数的特征，即一个数能被9整除，那么这个数的数字和一定是9的倍数，然后在进一步解答即可．

8．整除性质 【知识点归纳】 整除的性质

性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a﹣b也都能被m整除（这里设a＞b）． 例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18﹣12）． 性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除． 例如：3丨6，6丨24，那么3丨24．

性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除． 例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36． 如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的． 例如：7与50是互质的，18与91是互质的．

性质4 整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除． 例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除．

性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2．

性质4可以说是性质3的特殊情形．因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c． 事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：

要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除．

能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题．

【命题方向】 常考题型：

例1：一个数除以9余8，除以6余5，这个数加上1就能被5整除，则符合条件的最小自然数是 89 ．

分析：由题意可得：该数加上1，可以被9，6，5整除，即求三个数的最小公倍数减1；三个数的最小公倍数是3×3×2×5=90，所以最小是90﹣1=89． 解：3×3×2×5﹣1=89； 故答案为：89．

点评：解答此题的关键是要明确：该数加上1，可以被9，6，5整除，即求三个数的最小公倍数减1即可．

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经典题型： 例2：从1到2010这2010个正整数中，能被8整除，且不能被9整除的正整数有 224 个． 分析：先求出能被8整除的数的整数个数，所有8的倍数，去掉72的倍数即是8的倍数又是9的倍数，即可求出是能被8整除，且不能被9整除的正整数个数： 1至2010这些整数，是能被8整除数的共有251个．2010÷8=251…4， 又是8的倍数又是9的倍数那么就是72的倍数．2010÷72=27…66， 251﹣27=224个

解：2010÷8=251…4，

所以1至2010这些整数，是能被8整除数的共有251个， 2010÷72=27…66，

能被72整除数的共有27个，

所以能被8整除，且不能被9整除的正整数个数有251﹣27=224（个）， 故答案为：224

点评：解决此题关键是先求出能被8整除的数的个数，能被72整除的数的个数，进一步得解．

9．约数个数与约数和定理 【知识点归纳】

约数个数与约数和定理

设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×pk 那么： n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）

012a1012a2012ak

n的所有约数和：f（n）=（p1+p1+p1+…p1）（p2+p2+p2+…p2）…（pk+pk+pk+…pk）

【命题方向】 经典题型：

例1：105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（ ）

A、4个 B、6个 C、8个 D、10个 分析：根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案． 解：105=3×5×7，

共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数， 答：它的约数共有8个． 故选：C．

αβγ

点评：此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=p×q×r（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．

例2：恰有20个因数的最小自然数是（ ）

A、120 B、240 C、360 D、432

分析：首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可． 解：20=20=2×10=4×5=2×2×5；

四种情况下的最小自然数分别为：2、2×3、2×3、2×3×5，其中最小的是最后一个4

2×3×5=240．

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19

9

4

3

4

故选：B．

点评：此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论．

10．完全平方数性质 【知识点归纳】 1．完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数． 2．性质：

性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9． 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1． 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型． 性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．

性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型． 性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9． 性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．

【命题方向】 经典题型：

例1：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数．则a的最小值是（ ） A、30 B、20 C、120 D、60

分析：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，所以将1080×a的乘积分解质因数后，其质数的指数一定全为偶数，据此分析解答即可．

解：因为1080×a是一个完全平方数，所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数；

33

而1080=2×3×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数， 所以，a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5=30． 故选：A．

点评：明确完全平方的数的质因数的指数为一定全为偶数是完成本题的关键．

例2：是四个四位数，其中“*”代表不能辨认的数字，若其中有一个数是完成平方数，那么这个数是（ ）

A、 B、 C、 D、

【分析】根据0﹣9的平方，所以完全平方数个位不能为2，3，7，8，故19*8被排除； 如果个位数字是5，其平方数为个位是5，十位则为2，所以**45被排除； 个位为9时，完全平方数的个位为1，通过试探，23*1也不是完全平方数；

2

综上，只有3*49是完全平方数，即57=3249．

解：①完全平方数个位不能为2，3，7，8，故19*8被排除；

②如果个位数字是5，其平方数为个位是5，十位则为2，所以**45被排除； ③个位为9时，完全平方数的个位为1，通过试探，23*1也不是完全平方数； 因此，只有3*49是完全平方数，即57=3249． 故选：D．

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2

点评：此题通过寻找规律，根据完全平方数的性质，运用排除法进行解答．

11．数字和问题 【知识点归纳】

题型：给出一个多位数的各位的数字之和，然后以一定的方式改变数字的位置，再次得到一个数．告诉新得到的数字和原来的数字之差或者之和，求算原来的数字．

【命题方向】 常考题型：

例1：5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（ ）

A、360 B、340 C、350 D、无法求出

分析：根据“5个连续自然数的和是315”，先求出这5个连续自然数，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数也就出来了，求和即可．

解：5个连续自然数的和是315，那么中间的数是315÷5=63，这5个连续的数是61、62、63、64、65；

紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数分别是66、67、68、69、70，和为：66+67+68+69+70=340． 故选：B．

点评：此题考查学生对连续自然数的求法，对于此类问题一般应先求出中间数．

经典题型：

例2：将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同．分得苹果个数最多的小朋友，至少得到几个苹果？

分析：本题可更理解为把100最多能分解为多少个不同加数的和，就先找到10个小朋友平均每人分几个100÷10=10个，因为10是偶数，所以中间两个是9和11，故

100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15，共有10个加数，每个小朋友的苹果个数互不相同，所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果． 解：100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15， 因为共有10个不同的加数．

所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果． 答：分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果．

点评：完成本题要注意抓住“苹果个数互不相同”就可以看作是几个不同加数的和，来进行分析解答．

【解题方法点拨】

解决方法：使用一元一次方程的方法，将整数拆成1，10，100的关于未知数的和．然后进行相减或者相加，即可解出未知数x．

12．最大与最小 【知识点归纳】

研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大和最小问题．

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在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题．如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题．这里贯穿了一种统筹的数学思想﹣最优化原则．概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果．这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用．

【命题方向】 常考题型：

例1：用一块长12米、宽8米的长方形铁皮剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼），至多能做（ ）个．

A、11 B、8 C、10 D、13

【分析】因为从边长是3米的正方形里最大可以剪出半径是1.5米的圆，剪出半径为1.5米的圆，就相当于要剪边长是3米的正方形．分别求出长方形的长和宽各自能放几个这样的正方形，就可以求出至多能做多少个圆了． 解：8÷（1.5×2）=2（个）…2（米）； 12÷（1.5×2）=4（个）； 4×2=8（个）； 故选：B．

【点评】注意：因为不能剪拼，所以本题不能用面积来计算．

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