太阳影子定位

摘要

本文通过对太阳光与地球影子的分析，建立了利用太阳影子的变化得出其定为和日期的数学模型。

问题一需要对确切时间地点的直杆的影长随时间的变化进行描述。由于太阳与地球的距离和杆长的长度数量级别相差太大，用长度与距离的比例关系进行计算会导致误差太大，所以采用太阳高度角进行求解。根据对实际情况的分析，可推导出太阳高度角与赤纬角、观测地点的纬度，一天之中的具体时间的函数关系。在给定地点日期的情况下，赤纬角、观测地点的纬度随之确定，可得到太阳高度角随时间的变化函数。直杆长的长度与直杆影长呈现直角三角形关系，二斜边与直杆影长的夹角巧好为太阳高度角。得到太阳高度角在一天之中随时间变化的函数关系，通过三角公式的变换，也就得到了一天之中直杆影长随时间变化的函数曲线。

针对问题二，先画出直杆影长与时间的散点图，用二次函数进行拟合，得出其最短影长所对应的北京时间。正午的影长最短，所以其最短影长所对应的时间即为观测点的正午时间。用观测点的正午时间与北京的正午时间作计算比较，即可得出观测点的经度值。同样，利用附件所给数据，画出时间与影长的散点图，利用问题一所得的模型对其进行拟合，得出可能的最优解。并求出每个最优解下的直杆地点。通过我们的计算拟合，得到其最优解为经度为110.7750，纬度为

18.50，通过地图的查询，其具体位置为海南省陵水县。

问题三与问题二类似，只是在给出数据时减少了具体的日期。在求解过程中依旧是先对其数据做二次函数的拟合，得出其最短影长所对应的北京时间，通过相应的模型求解出其经度。再利用问题一所给的模型，对其直杆影长随时间变化的散点图进行拟合，得出其可能的最优解及其情况下所对应的地点与日期。附件二可能的地点有两个，第一个为南纬16.470，东经880，时期为5月14号，具体位置为印度洋。第二个为北纬33.790，东经880，时期为4月15号，具体位置为西藏自治区。附件三可能的地点有两个，一个是南纬33.150，东经109.1250，日期为4月21日，地点在印度洋。第二个北纬46.10，东经109.1250，日期为6月11日，地点在蒙古国。

针对问题四，可利用比例从视频中得出相关的数据，再利用问题三建立的模型进行求解。

关键词：太阳高度角；时角；最小二乘法

一、问题重述

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？

二、问题分析

问题一需要在已知时间、地点的情况下，对直杆的影长随时间的变化的曲线进行描述。由于太阳与地球的距离和杆长的长度数量级别相差太大，用长度与距离的比例关系进行计算会导致误差太大。在计算球面弧长，球面高度等一般习惯用角度进行描述，且在计算影长时，用角度进行计算的准确率较高。在计算过程中，将太阳影子顶点与杆长顶点进行连线，此线段与水平地面的夹角可求，利用这个角度即可与杆长求出影长。在地理学中，这个角度被称为太阳高度角，它在一天内，随时间的变化而变化。所以在知道杆长的情况下，只要知道太阳高度角的变化情况即可对影长的变化进行描述。太阳高度角与赤纬角（太阳直射纬度）、地点纬度、时间三者有关。在确定地点为北京，时间为10月22日的情况下，太阳赤纬角只与时间有关，且为可测的函数关系。得到函数关系之后，即可对影长的变化曲线进行描述。

问题二给出各个时间下太阳影子的顶点坐标数据，并且给出了具体的日期。但是杆长，经纬度为未知数。在此条件下，需要建立模型求解出数据对应的直杆可能的地点。首先，可以直杆在地面的位置为原点，计算出各个时间下的杆影长。

再利用二次函数对时间与杆影长的关系进行拟合，从而求出最短杆影长所对应的北京时间。由于杆影长在正午时间最短，所以最短影长所对应的时间即为此地的正午时间，时间形式为北京时间。利用这个时间与北京正午时间的比较，即可得出此地的经度。用理想的杆影长与时间的曲线对实际的杆影长与时间的变化曲线进行拟合，即可得到可能的最优解，得出各个情况下的经纬度。

问题三同样是在告知各个时间下太阳影子的顶点坐标数据的情况下，要求建立模型求解出数据对应的直杆的位置与拍摄的日期。同问题二，利用二次函数的拟合可求出最短影长的所对应的北京时间。再用此时间与北京的正午时间作比较计算，得出此地的经度。最后，同样利用最小二乘法对实际的杆影长与时间的变化曲线进行拟合，得出其可能的最优解，并得出各个最优解情况下的直杆所对应的时间与地点。

三、模型假设

1.假设地球不动，太阳绕地球运动；

2.同时由于地球非常大，在某一点的周围可以看出是一个平面； 3.且在同一天里面忽略太阳的公转所带来的影响。 4.太阳光为平行光

四、符号说明

l：直杆影长； H：直杆长度；

h：太阳光与地面的夹角，即太阳高度角；

?：观测地点的纬度； ?：太阳赤纬角；

?：t时刻的太阳光与正午的太阳光的夹角，即时角；

t1：此地的正午时间所对应的北京时间。

五、模型建立与求解

5.1问题一的模型建立与求解

问题一需要在已知日期与地点的情况下，对太阳影子随时间变化的曲线进行描述。但是由于太阳离地球的距离、地球的半径、直杆的长度三者的数量级别相差太大，且地球在不断的自传与公转，利用长度比例进行计算时，会产生非常大的误差。所以在计算时，可以避开长度的计算，利用角度对直杆的影长进行计算。如下图：

图一，阳光直射图

图中，H为杆长，BC为太阳光，AC为地面,h为太阳光与地面所成的夹角，在图中为?ACB,l为直杆的影长。因为直杆与地面垂直，所以△ABC为直角三角形，影长的公式为：

l?H tanh式中，l为影长，H为直杆长度，h为太阳光与地面的夹角。

由上述公式可知，只要知道了太阳光与地面的夹角h，就可以知道影长与影长的变化。下面我们展开对角度h的推导与求解。 5.1.1太阳高度角

在实际过程中，地球是个圆形，在自转的同时绕太阳公转。但为了计算与建模的方便，假设地球不动，太阳绕地球运动；同时由于地球非常大，在某一点的周围可以看出是一个水平面；且在同一天里面忽略太阳的公转所带来的影响。

由此，可以通过计算得到一天之中太阳每一时刻相对于地球的位置，且可以求出每个时刻太阳光与地面的夹角h。

通过我们资料查询，上述太阳光与地面的夹角h在地理学中被称为太阳高度角。它与时间日期有关、经纬度、某一确定天数的时刻三者有关。现在通过相关的地理知识与数学知识进行推导。

为了推导的方便，需要引入两组描述太阳和地球相对位置的坐标系。 第一组给出太阳相对于固定在地球上的坐标系的位置，坐标系的一个轴指向天顶，另一个与之正交的轴指向地平线，即下图中的i, j坐标系，称为地平坐标系。

另一组坐标系也固定在地表的同一个位置，但是一个轴指向极点，即北天极，另一个与之正交的轴则指向与赤道平行的方向，即下图中的I, J坐标系，称为时角坐标系。

图二.坐标系

图中，?为两个坐标系之间的夹角,即观测的纬度。

两个坐标系之间有如下关系：

i?(sin?)I?(cos?)J

（cos?)?(sin?)J j? k?K

式中，?为两个坐标系之间的夹角,即观测的纬度。

下图给出了正午时分的太阳（在天空的最高点）在地平坐标系中的方位。

图三.地平坐标系

从而，指向太阳的单位矢量可以写成：

s?(cosz)i?(coszcosaz)j?(sinzsinaz)k

其中z称为天顶角而az称为太阳方位角。

第二个坐标系的一个轴始终指向北天极而另一轴位于赤道面上，方向指向南点。因而，指向正午太阳的单位矢量可以写成：

s?(sin?)I?(cos?cos?)J?(cos?sin?)K

图四.时角坐标系

?为太阳光与时角坐标系JOK平面的夹角，图中，?为太阳光在JOK的投影与J轴的夹角，正午时分为00。

由于在两组坐标系中的矢量s相同，可以得到：

cosZ?(sin?)(sin?)?(cos?)(cos?)cos?

上式中，Z为天顶角，与太阳高度角h互余；?为太阳赤纬角，?为观测点所在的纬度，?为t时刻的太阳光与正午的太阳光的夹角。

由于天顶角Z与太阳高度角h互余，可将公式转化为与太阳高度角的公式，如下：

cosh?(sin?)(sin?)?(cos?)(cos?)cos?

由此就得到了太阳高度角h的公式。 5.1.2模型的求解

根据以上的推导，得到了太阳高度角h随赤纬度、纬度、时间的变化关系。将太阳高度角的变化函数与杆长相联立，即可得到影长的变化函数。即将如下两公式联立：

H??l? ?tanh??sinh?(sin?)(sin?)?(cos?)(cos?)cos?将以上两公式联立即可得到影长随时间变化的规律。

在上述公式中，杆长和纬度已知，赤纬角和时角?未知，还需要进行进一步的数据处理。

题一中，具体日期已知，为10月22日。根据库伯公式，可得出每个确切日期太阳所对应的太阳赤纬角。其公式如下：

284?n) 365??23.45sin(360式中的n为从1月1日开始算起，到现在日期的天数，在上式中n为295.

利用上述公式，可求?为-12.10。

而时角?为t时刻的太阳光与正午的太阳光的夹角，由于一天之中，太阳相对于绕了地球一圈。即24小时内绕了360度，每个小时绕了15度。在正午时分，时角的大小为0度。由此可以推导出时间与时角的公式：

??（t?12)*15

其中t为24小时制。

此时，太阳高度角只与时间有关系。即在确切的时间地点，影长只与此时一天中的时刻有关系。将公式导入MATLAB，得出时间与影长的变化曲线。如下图：

表五.影长随时间变化

5.2模型的建立与求解

问题二给出了某固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据，要求建立模型确定直杆所处的地点。

影长公式的模型中共有5个参数，分别为影长、杆长、赤纬角、纬度、时角。问题二可利用坐标点求出直杆影长；给出了具体的日期，根据库伯公式可以得出赤纬角；时角可根据问题所给的北京时间推算得出。剩下的杆长与纬度则需要进行拟合求出其可能的最优解。 5.2.1经度的求解模型

根据从问题一得出的影长随时间变化的图形，可以看出，时间与影长的函数关系图与二次函数的图像类似，可以将附件一给出的数据用二次函数进行拟合，得出时间与直杆影长的近似函数关系。

22?y0设给定的坐标为.每个坐标与（x0,y0)，则影长l的计算公式为：l?x0唯一的影长一一对应。在得到杆影长后，可以用时间为横坐标，以影长为纵坐标建立起影长的坐标系。以(t,l)画散点图，用二次函数对所画的散点图进行拟合，得到一个二次函数关系，形式如下：

l?at2?bt?c

由于影长的变化的规律都是早晨与傍晚最长，正午最短，所以拟合出的直线为开口向上的函数，并且含有一个大于0的最小值。影长最小的值出现的时间一定为当地的正午时间。由于给定的时间为北京时间，所以求出的当地的正午时间所对应的时间形式也应为北京时间。

每个经度正午时间所对应的北京时间都不同，由于太阳每个小时所走的经度为15度。由此可求出此地所对应的经度。公式如下：

J?116023?15*(t1?12)

式中，J为此地的经度，116023为北京当地的经度，t1为此地的正午时间所对应的北京时间。

通过以上公式便可确定地点的经度，并且可以利用它得出的经度值求出相应的时角?，为接下来的解题做准备。

5.2.2纬度和杆长的求解模型

在影长相对于时间变化的五个参数影长、杆长、赤纬角、纬度、时角中，赤纬角可通过库伯公式得到，影长则可利用坐标点进行计算，时角与经度有关。只剩下直杆长与纬度位置未知。

通过坐标点可以求出直杆影长，而问题一已经得出了影长随时间变化的模型。可以用所得出的理论上的直杆影长去逼近实际直杆影长，在逼近过程中，可求出直杆长和纬度的最优解。逼近的方法如下：

nminZ??(i?1H?li) tanhi式中，Z目标函数，H为假定的直杆长，li为附件所给定的第i个坐标下的影长，

hi为附件所给出的第i个坐标对应的太阳高度角。

此公式的意义是，在已知影长与时间的关系的情况下，用公式所决定的理想曲线去逼近现有的曲线，由此可以得出最优解。

在上式中，hi与太阳赤纬角，纬度，时角存在如下关系：

cosh?(sin?)(sin?)?(cos?)(cos?)cos?

式中，? 为赤纬角，?角为当地纬度，?为时角。

在确定该地点的正午时间相对于北京t1后，时角?可通过公式求解，如下：

??（t?t1)*15

在确定其具体日期时，赤纬角?可利用库伯公式进行换算，换算方式如下：

??23.45sin(360284?n) 365式中的n为从1月1日开始算起，到现在日期的天数。

将所有的可求数据进行求解，此时，我们可以得到完整的求解模型，模型如下：

nminZ??(i?1H?li)； tanhi?cosh?(sin?)(sin?)?(cos?)(cos?)cos???s.t???（t?t1)*15； ?22l?x?y?00?i式中，Z目标函数，H为假定的直杆长，li为附件所给定的第i个坐标下的影长，

? 为赤纬角，hi为附件所给出的第i个坐标对应的太阳高度角，hi为太阳高度角，?角为当地纬度，?为时角。

通过上述模型即可得拟合得出近似的杆长H和纬度?。 5.2.3地点的求解

用附件一所给出的时间做横坐标，用通过计算所得的影长为纵坐标，画散点图，用二次函数的关系进行拟合。得到如下的图像：

表六.拟合曲线

t2?0.0089?0.55.得出其拟合度为拟合出的二次函数关系为， l?0.000371.说明我们的拟合是成功的。

通过得出的拟合关系，得到在t1?12:36:56，即在北京时间12:36:56时，此地正好为正午时间。通过经度与时间的转换关系：J?116023?15*(t1?12) 可得其经度为110.7750。

（t?t1)*15得出时角的得出经度后，再利用时角与正午时间的关系??确切表达式，其中t1?12:36:56。附件一给出的日期4月18号，根据库伯公式求得其赤纬角为10.510。

在得出赤纬角，时角，给定影长后，用求解模型进行拟合，得出直杆长

H?1.97m，纬度为18.50。

综上所述，附件一可能的地点为经度为110.7750，纬度为18.50。通过地图的查找，其位置为海南省陵水县。 5.3问题三的模型建立与求解

问题三依旧是给出了某固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据，要求建立模型确定直杆所处的地点与日期。相比于问题二来讲，只是缺少了具体的日期。也就是缺少了赤纬角的求解。其求解过程也大致类似于问题二。 5.3.1经度的确定

同样是利用时间与影长的数据做二次函数的拟合，得出其最短影长所对应的北京时间，即为当地的正午时间。再利用正午的北京时间与经度转换公式求出该地点的经度。时间与经度的转换时间公式如下：

J?116023?15*(t1?12)

式中，J为经度，t1为得到的正午北京时间。

同时，在得到正午的北京时间t1后，还可以求出其时角的变化的规律，其变化规律如下：

??（t?t1)*15；

式中，?为时角，t1为得到的正午时间。

通过上述的过程，可以得到该地点的经度与时角变化规律。 5.3.2纬度和杆长的求解模型

在进行上述的求解后，影长的模型的五个重要参数直杆长、影长、赤纬角、纬度、时角确定了时角，影长有附件的坐标点可求出。即在影长的模型公式中，直杆长，纬度，赤纬角为未知数。

同样，利用附件得出时间与影长的散点图。再利用已知的影长随时间变化的模型对其进行逼近。得出赤纬角，直杆长，纬度的最优解。其模型如下：

nminZ??(i?1H?li) tanhi?cosh?(sin?)(sin?)?(cos?)(cos?)cos???s.t???（t?t1)*15 ?22??li?x0?y0式中，Z目标函数，H为假定的直杆长，li为附件所给定的第i个坐标下的影长，

? 为赤纬角，hi为附件所给出的第i个坐标对应的太阳高度角，hi为太阳高度角，

?角为当地纬度，?为时角。

得到赤纬角、直杆长、纬度的长度后，利用库伯公式将赤纬角反推出日期。 5.3.3地点与时间的求解

对附件二的数据利用二次函数进行拟合，得出其最短影长的北京时间，即当地的正午时间为北京时间的下午2点08分，将转化为24小时制，为14.13小时。利用正午时间与经度之间的关系式，如下：

J?116023?15*(t1?12)；

式中，J为该地点的经度，t1为该观测点所对应的正午北京时间，为24小时制。

经过计算得出其经度为东经880度。

再利用理想的杆影长与时间的模型第实际的散点图进行拟合。得到两个可能的最优解第一个为南纬16.470，东经880，时期为5月14号，具体位置为印度洋。第二个为北纬33.790，东经880，时期为4月15号，具体位置为西藏自治区。

对附件三同样先进行二次函数拟合，得出其正午的北京时间为12时43分。将其转化为24小时制，为12.72小时。

利用转换公式将其转换，得其经度为东经109.1250。

再利用理想的杆影长与时间的模型第实际的散点图进行拟合。得到两个可能的最优解，一个是南纬33.150，东经109.1250，日期为4月21日，地点在印度

洋。第二个北纬46.10，东经109.1250，日期为6月11日，地点在蒙古国。

六 模型评价

6.1 模型优点

(1)该模型适合大多数在给出杆影的数据能求出地点和日期的情形。 (2)有效地避免了坐标系不明带来的误差。 (3)求解过程通俗易懂，内容框架简单清晰。 6.2 模型缺点

(1)为简单计算将地球从椭圆形简化成球形。

(2)由于地球自转产生向心力，导致杆的重心不指向地心。 (3)将太阳光线假设成平行的了。

(4)将北京正午时间所对应的经度粗略地估计为东经120度。

七 模型检验

针对附件给出的数据，我们利用最小二乘法求出几组可能的地点，日期。由于最小二乘法有其局限性，为此我们根据几组可能的值进行回归分析。由于附件给出的数据都符合二次曲线，因此利用二次曲线的回归分析来检验最小二乘法。

R?1-i=121?（Li?L)21^?(L?L)ii?1? 式中，R代表误差系数，Li代表建立模型所算出的数据，L代表算出数据的平均值，L代表样本数据的平均值。因为时间不够，在这里只给出模型二的验算结果： 印度洋的误差系数R1=0.008256;西藏的误差系数R2=0.007927874. 由此可看出此次对于最小二乘法的结果还是接近样本数据的。

?^参考文献

[1]赵静等，数学建模与数学实验，高等教育出版社，2006年.

[2]百度百科. 太阳高度角.http://baike.http://www.wodefanwen.com//link.?url=UWN-V

E1rP973100YEC3zCjlHrBaOdnhLkuPHmAuPsdzRqvEl47uq0soz TwG4x8v eyAFEcNbQNIpYimtHD8b6fq。2016.8.20 [3]百度文库，太阳辐射角.

http://www.docin.com/p-230168278.html.2016.8.20

附录

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0uwo.html