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1 第十二章 导体电学

【例题精选】

例12-1 把A ，B 两块不带电的导体放在一带正电导体的电场中,如图所示. 设无

限远处为电势零点，A 的电势为U A ，B 的电势为U B ，则 (A) U B > U A ≠0． (B) U B > U A = 0．

(C) U B = U A ． (D) U B < U A ． [ D ] 例12-2 选无穷远处为电势零点，半径为R 的导体球带电后，其电势为U 0，则球外离球心距离为r

处的电场强度的大小为

(A) 302r

U R ． (B) R U 0． (C) 20r RU ． (D) r U 0． [ C ] *例12-3 如图所示，封闭的导体壳A 内有两个导体B 和C 。A 、C 不

带电，B 带正电，则A 、B 、C 三导体的电势U A 、U B 、U C 的大小关系是

（

A ） U A = U

B = U

C （B ） U B > U A = U C

（C ） U B > U C > U A （D ） U B > U A > U C 例12-4 在一个不带电的导体球壳内，先放进一个电荷为 +q 的点电荷，点电荷不与球壳内壁接触。

然后使该球壳与地接触一下，再将点电荷+q 取走。此时，球壳的电荷为 ；电场分布的范围是 ． -q 球壳外的整个空间

例12-5 如图所示，A 、B 为靠得很近的两块平行的大金属平板，两板的面积均为

S ，板间的距离为d ．今使A 板带电荷q A ，B 板带电荷q B ，且q A > q B ．则A 板

的靠近B 的一侧所带电荷为 ；两板间电势差U = ． )(21B A q q - S

d q q B A 02)(ε- 例12-6 一空气平行板电容器，电容为C ，两极板间距离为d 。充电后，两极板间相互作用力为F 。

则两极板间的电势差为 ；极板上的电荷为 。

C Fd /2 FdC 2

例12-7 C 1和C 2两个电容器，其上分别标明200 pF （电容量）、500 V （耐压值） 和300 pF 、900 V ．把

它们串连起来在两端加上1000 V 电压，则

(A) C 1被击穿，C 2不被击穿． (B) C 2被击穿，C 1不被击穿．

(C) 两者都被击穿． (D) 两者都不被击穿． [ C ] A B A C B

d

2

例12-8 半径分别为1.0 cm 与2.0 cm 的两个球形导体，各带电荷 1.0310-

8 C ，两球相距很远．若用

细导线将两球相连接．求：(1) 每个球所带电荷；(2) 每个球的电势．(

22/C m N 10941

90

??=πε) 解：两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响．球上电荷均匀分布．

设两球半径分别为r 1和r 2，导线连接后的电荷分别为q 1和q 2，而q 1 + q 1 = 2q ， 则两球电势分别是 10114r q U επ=

， 2

02

24r q U επ=

两球相连后电势相等 21U U =，则有 2

1212122112r r q

r r q q r q r q +=

++== 由此得到 9

2

1111067.62-?=+=

r r q

r q C 92

122103.132-?=+=r r q

r q C

两球电势 31

01

21100.64?=π=

=r q U U ε V

例12-9 如图所示，三个“无限长”的同轴导体圆柱面A 、B 和C ，半径分

别为 R a 、 R b 、R c ．圆柱面B 上带电荷，A 和C 都接地．求Ｂ的内表面上电荷线密度λ1和外表面上电荷线密度λ2之比值λ1/ λ2．

解：设B 上带正电荷，内表面上电荷线密度为λ1，外表面上电荷线密度

为λ2，而A 、C 上相应地感应等量负电荷，如图所示．则A 、B 间场强分布为 E 1=λ1 / 2πε0r ，方向由B 指向A

B 、

C 间场强分布为E 2=λ2 / 2πε0r ，方向由B 指向C

B 、A 间电势差 a b R R R R BA R R r r r E U a

b a b

ln 2d 2d 01

1

1ελελπ=π-=?=??

B 、

C 间电势差 b c R R R R BC R R r r r E U c

b c

b ln 2d 2d 02

22

ελελπ=π-=?=

?

? 因U BA ＝U BC ,得到

()()

a b b c R R R R /ln /ln 21=

λλ 【练习题】

*12-1 设地球半径R =6.4?106 m ，求其电容？

解：C=4πε0R=7.12310-4

F

12-2三块互相平行的导体板，相互之间的距离d 1和d 2比板面积线度小得多，外面二板用导线连接．中间板上带电，设左右两面上电荷面密度分别为σ1和σ2，如图所示．则比值σ1 / σ2为

λ2

3 (A) d 1 / d 2． (B) d 2 / d 1． (C) 1． (D) 2122/d d ． [ B ]

12-3 充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F 与两极板间的电压U 的关系：

(A) F ∝U ． (B) F ∝1/U ． (C) F ∝1/U 2． (D) F ∝U 2． [ D ]

12-4 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则

(A) 空心球电容值大． (B) 实心球电容值大．

(C) 两球电容值相等． (D) 大小关系无法确定． [ C ]

12-5 一导体A ，带电荷Q 1，其外包一导体壳B ，带电荷Q 2，且不与导体A 接触．试证在静电平衡

时，B 的外表面带电荷为Q 1 + Q 2．

证明：在导体壳内部作一包围B 的内表面的闭合面,如图．设B 内表面

上带电荷Q 2′，按高斯定理，因导体内部场强E 处处为零，故

0/)(d 021='+=??

εQ Q S E S ∴ 12

Q Q -=' 根据电荷守恒定律，设B 外表面带电荷为2

Q ''，则 222Q Q Q =''+' 由此可得 21222

Q Q Q Q Q +='-='' 第十三章 电介质

【例题精选】

例13-1 一导体球外充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球

面上的自由电荷面密度σ为

(A) ε 0 E ． (B) ε 0 ε r E ． (C) ε r E ． (D) (ε 0 ε r - ε 0)E ． [ B ]

例13-2 C 1和C 2两空气电容器串联起来接上电源充电。然后将电源

断开，再把一电介质板插入C 1中，如图所示。则

（A ）C 1上电势差减小，C 2上电势差增大

（B ）C 1上电势差减小，C 2上电势差不变

（C ）C 1上电势差增大，C 2上电势差减小 （D ）C 1上电势差增大，C 2上电势差不变 [ B ]

例13-3 一个平行板电容器，充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大，则两极

板间的电势差U 12、电场强度的大小E 、电场能量W 将发生如下变化

（A ）U 12减小，E 减小，W 减小 （B ）U 12增大，E 增大，W 增大

4 （C ）U 12增大，E 不变，W 增大 （D ）U 12减小，E 不变，W 不变

例13-4 一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常量为εr 的各向同

性均匀得电介质，这时两极板上的电荷是原来的 倍；电场能量是原来的 倍．

εr εr

例13-5 真空中有“孤立的”均匀带电球面和一均匀带电球体． 如果它们的半径相同且总电荷相等．问

哪一种情况的电场能量大？ 为什么？

答：在两球半径相同、总电荷相等的条件下，带电球体的电场能量大．

因为在上述情况下，带电球面和带电球体两者在球外的场强是相同的，而带电球面内场强为零．带电球体内场强不为零．故带电球体的电场能量要比带电球面多出一部分．

例13-6 关于介质中的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？

(A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D 为零．

(B) 高斯面上处处D 为零，则面内必不存在自由电荷．

(C) 高斯面的D 通量仅与面内自由电荷有关．

(D) 以上说法都不正确． [ C ]

【补充题】

13-1 真空中有“孤立的”均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电荷都相等．则

它们的静电能之间的关系是

(A) 球体的静电能等于球面的静电能．

(B) 球体的静电能大于球面的静电能．

(C) 球体的静电能小于球面的静电能．

(D) 球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能． [ B ] 13-2 在一点电荷q 产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面

S ，则对此球形闭合面： (A) 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强．

(B) 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强． (C) 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立．

(D) 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立． [ B ]

第十四章 稳恒磁场

5 【例题精选】

例14-1在真空中，电流由长直导线1沿垂直于底边bc 方向经a 点流入一由电阻

均匀的导线构成的正三角形金属线框，再由b 点从三角形框流出，经长直

导线2沿cb 延长线方向返回电源(如图)．已知长直导线上的电流强度为I ，三角框的每一边长为l ，求正三角形的中心点O 处的磁感强度B ． 解：令1B 、2B 、acb B 和ab B 分别代表长直导线1、2和三角形框ac 、cb 边

和ab 边中的电流在O 点产生的磁感强度．则 ab acb B B B B B +++=21

1B ：由于O 点在导线1的延长线上，所以1B = 0． 2B ：由毕－萨定律)60sin 90(sin 402?-?π=d

I B μ 式中 6/330tan 21l l Oe d =??== )231(34602-?π=l

I B μ)332(40-π=l I μ 方向：垂直纸面向里． acb B 和ab B ：由于ab 和acb 并联，有 a c b

a c

b ab ab R I R I ?=? 又由于电阻在三角框上均匀分布，有 2

1=+=cb ac ab R R acb ab ∴ acb ab I I 2= 由毕奥－萨伐尔定律，有ab acb B B =且方向相反．

∴ )332(402-π==l I

B B μ，B 的方向垂直纸面向里．

例14-2 如图所示，一无限长载流平板宽度为a ，线电流密度(即沿x 方向单位长度上的电流)为δ ，求与平板共面并且距离平板一边为b 的任意点P 的磁感强度． 解：利用无限长载流直导线的公式求解． (1) 取离P 点为x 宽度为d x 的无限长载流细条，它的电流 x i d d δ=

(2) 这载流长条在P 点产生的磁感应强度 x i

B π=2d d 0μx x

π=2d 0δμ

方向垂直纸面向里．

(3) 所有载流长条在P 点产生的磁感强度的方向都相同，所以载流平板在P 点产生的磁感强度

==?B B d ?+πb a b x dx 20

δμb b a +π=ln 20δμ 方向垂直纸面向里． 例14-3 如图所示，半径为R ，线电荷密度为λ (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点的B 的大小及其方向． 解： λωR I = 2/32230)(2y R R B B y +==λω

μ

6

B

的方向与y 轴正向一致．

例14-4 平面闭合回路由半径为R 1及R 2 (R 1 > R 2 )的两个同心半圆弧和两个直

导线段组成(如图)．已知两个直导线段在两半圆弧中心O 处的磁感强度为零，且闭合载流回路在O 处产生的总的磁感强度B 与半径 为R 2的半圆弧在O 点产生的磁感强度B 2的关系为B = 2 B 2/3，求R 1与R 2的关系．

解：由毕奥－萨伐尔定律可得，设半径为R 1的载流半圆弧在O 点产生的磁感强度为B 1，

则 1014R I

B μ=

同理, 2

024R I

B μ=

∵ 21R R > ∴ 21B B <

故磁感强度 12B B B -= 204R I μ=104R I μ-2

06R I

μ=

∴ 213R R =

例14-5 在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路L 1、L 2，圆周内有电流I 1、I 2，其分布相同，且均在真空中，但在(b)图中L 2回路外有电流I 3，P 1、P 2为两圆形回路上的对应点，则：

(A) =

??1d L l B

??2

d L l B

，21P P B B = (B)

≠

??1

d L l B ??2

d L l B

，21P P B B =．

(C) =

??1

d L l B

??2

d L l B

，21P P B B ≠．(D)

≠

??1

d L l B ??2

d L l B

，21P P B B ≠． [ C ]

例14-6 在安培环路定理∑??=i L

I l B 0d μ

中，∑i I 是指 ；B 是指 ．

环路L 所包围的所有稳恒电流的代数和 环路L 上的磁感强度

例14-7 如图，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明导线a 到b 之间的一段上所受的安培力等于载同一电流的直导线ab 所受的安培力．

证明：由安培定律 B l I f

?=d d ，ab 整曲线所受安培力为 ???==b a

B l I f f d d

因整条导线中I 是一定的量，磁场又是均匀的，可以把I 和B

提到积分号之外，

即 ??=b a

B l I f d B l I b

a

?=?

)d (B I

?=

载流相同、起点与终点一样的曲导线和直导线，处在均匀磁场中，所受安培力一样．

例14-8判断下列说法是否正确，并说明理由：

（1） 若所取围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但不是圆，安培环路定理也成立． （2） 若围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但不在一个平面内，则安培环路定理不成立． 答：第一说法对，第二说法不对．

I a

b

B

1 2

I 3

(a)

(b)

⊙

7 ∵ 围绕导线的积分路径只要是闭合的，不管在不在同一平面内，也不管是否是圆，安培

环路定理都成立．

例14-9 如图所示，一半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，面电荷密度为σ．该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转．试求圆筒内部的磁感强度．

解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流密度i ， σωσωR R i =ππ=)2/(2

作矩形有向闭合环路如右图中所示．从电流分布的对称性分析可知，在ab 上各点B 的大小和方向均相同，而且B 的方向平 行于ab ，在bc 和fa 上各点B 的方向与线元垂直，在de , cd fe ,上各点0=B

．

应用安培环路定理 ∑??=I l B 0d μ

可得 ab i ab B 0μ= σωμμR i B 00==

圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小为σωμR B 0=，方向平行于轴线朝右．

例14-10 如右图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场

作用下，线圈发生转动，其方向是 (A) ab 边转入纸内，cd 边转出纸外． (B) ab 边转出纸外，cd 边转入纸内．

(C) ad 边转入纸内，bc 边转出纸外． (D) ad 边转出纸外，bc 边转入纸内． [ A ]

例14-11 如图，长载流导线ab 和cd 相互垂直，它们相距l ，ab 固定不动，cd 能绕中点O 转动，并

能靠近或离开ab ．当电流方向如图所示时，导线cd 将

(A) 顺时针转动同时离开ab ． (B) 顺时针转动同时靠近ab ．

(C) 逆时针转动同时离开ab ． (D) 逆时针转动同时靠近ab ． [ D ] 例14-12两个同心圆线圈，大圆半径为R ，通有电流I 1；小圆半径为r ，通有电流I 2，方向如图．若r

<< R (大线圈在小线圈处产生的磁场近似为均匀磁场)，当它们处在同一平面内时小线圈所受磁力

矩的大小为

(A)

R r I I 22210πμ． (B) R r I I 22210μ． (C) r R I I 22

210πμ． (D) 0． [ D ]

例14-13 载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩大小与线圈所围面积 ；在面积一定时，与线

圈的形状 ．(填： 有关、无关)

有关 无关

O r R I 1 I 2

8 【练习题】

14-1 边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I (其

中ab 、cd 与正方形共面)，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感强度的大小分别为

(A) 01=B ，02=B ． (B) 01=

B ，l

I B π=0222μ．

(C) l I B π=0122μ，02=B ． (D)

l I B π=0122μ，l I B π=0222μ． [ C ] 14-2 在真空中，电流I 由长直导线1沿垂直bc 边方向经a 点流入一由电

阻均匀的导线构成的正三角形线框，再由b 点沿平行ac 边方向流出，经

长直导线2返回电源(如图)．三角形框每边长为l ，则在该正三角框中心

O 点处磁感强度的大小为 ；磁感强度的方向为 。 l

I π430μ 垂直纸面向里 14-3 无限长直导线在P 处弯成半径为R 的圆，当通以电流I 时，则圆心O 点的磁感强度大小等于

(A) R I

π20μ． (B) R I

40μ． (C) 0． (D) )11(20π

-R I μ． [ D ] 14-4 如图，一半径为R 的带电塑料圆盘，其中半径为r 的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为+σ ，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为-σ 当圆盘以角速度

ω 旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感强度为零，问R 与r 满足什么关系？

解：带电圆盘转动时，可看作无数的电流圆环的磁场在O 点的叠加． 某一半径为ρ 的圆环的磁场为 )2/(d d 0ρμi B =

而 ρσωρωρρσd )]2/([d 2d =π?π=i ∴ ρσωμρρσωρμd 2

1)2/(d d 00=

=B 正电部分产生的磁感强度为 r B r 2d 2000σωμρσωμ==

?+ 负电部分产生的磁感强度为 )(2

d 200r R B R r -==

?-σωμρσωμ 今 -+=B B ∴ r R 2= 14-5 两根长直导线通有电流I ，图示有三种环路；在下列情况下，??

d B 等于： (对环路b )； (对环路c )．

0 2I 0μ

a

9 14-6、有一同轴电缆，其尺寸如图所示，它的内外两导体中的电流均为I ，且在横截面上均匀分布，但二者电流的流向正相反，则在r < R 1处B= ；在

r > R 3处B= ． )2/(210R rI πμ 0

14-7 把轻的正方形线圈用细线挂在载流直导线AB 的附近，两者在同一平面内，直导线AB 固定，

线圈可以活动．当正方形线圈通以如图所示的电流时线圈将 (A) 不动． (B) 发生转动，同时靠近导线AB ．

(C) 离开导线AB ． (D) 靠近导线AB ． [ D ] 14-8

两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷之比是

1∶2，它们所受的磁场力之比是 ；运动轨迹半径之比是 ．

1∶2 1∶2

14-9 如图所示，有两根平行放置的长直载流导线．它们的直径为a ，反

向流过相同大小的电流I ，电流在导线内均匀分布．试在图示的坐标系中求出x

轴上两导线之间区域]25,21[a a 内磁感强度的分布． 解：建立坐标系，应用安培环路定理，左边电流产生的磁感应强度 x

2I B 0

1πμ=； 方向向里 右边电流产生的磁感应强度

)x a 3(2I B 02-πμ=； 方向向外 应用磁场叠加原理可得磁场分布为， )3(2200x a I

x I

B -π+π=μμ )2

52(

a x a ≤≤ B 的方向垂直x 轴及图面向里． 14-10 有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为

b 处的P 点(如图)的磁感强度B 的大小为

(A) )(20b a I

+πμ．(B) b b a a I

+πln 20μ．(C) b b a b I +πln 20μ． (D) )

2(0b a I +πμ．[ B ] 14-11 若空间存在两根无限长直载流导线，空间的磁场分布就不具有简单的对称性，则该磁场分布

(A) 不能用安培环路定理来计算．

(B) 可以直接用安培环路定理求出．

(C) 只能用毕奥－萨伐尔定律求出．

(D) 可以用安培环路定理和磁感强度的叠加原理求出． [ D ]

A

B

I

10 14-12 长直电流I 2与圆形电流I 1共面，并与其一直径相重合如图(

设长直电流不动，则圆形电流将 (A) 绕I 2旋转． (B)

向左运动． (C) 向右运动． (D) 向上运动． [ C ] 14-13 一质量为m 、电荷为q 的粒子，以与均匀磁场B 垂直的速度v

射入磁场内，则粒子运动轨道所包围范围内的磁通量Φm 与磁场磁感强度B 大小的关系曲线是(A)～(D)中的哪一条？

[ C ] 14-14 一个动量为p 的电子，沿图示方向入射并能穿过一个宽度为D 、磁感强度为B

(方向垂直纸面向外)的均匀磁场区域，则该电子出射方向和入射方向间的夹角为 (A) p eBD 1cos -=α． (B) p

eBD 1sin -=α． (C) ep BD 1sin -=α． (D) ep BD 1cos -=α． [ B ] 14-15 一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管，两螺线管

单位长度上的匝数相等．设R = 2r ，则两螺线管中的磁感强度大小B R 和B r 应满足：

(A) B R = 2 B r ． (B) B R = B r ． (C) 2B R = B r ． (D) B R = 4 B r ． [ B ]

14-16 电子在磁感强度为B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆周运动，电子运动所形成的等效圆电流强

度I = ；等效圆电流的磁矩p m = ．已知电子电荷为e ，电子的质量为m e ．

)2/(2e m Be π )2/(22e m R Be

【补充题】

14-1 在一顶点为45°的扇形区域，有磁感强度为B 方向垂直指向纸面内

的均匀磁场，如图．今有一电子(质量为m ，电荷为-e )在底边距顶点O

为l 的地方，以垂直底边的速度 v 射入该磁场区域，若要使电子不从上面边界跑出，电子的速度最大不应超过多少？

解：电子进入磁场作圆周运动，圆心在底边上．

当电子轨迹 与上面边界相切时，对应最大速度，此时有如图所示情形．

R R l =?+45sin )( ∴ l l R )12()12/(+=-=

由 )/(eB m R v =，求出v 最大值为 m

leB m eBR )12(+==v O B

Φm (C) O B Φm (D)

l 45° v B O O O ′ R R l 45°

11 14-2 一边长a =10 cm 的正方形铜线圈，放在均匀外磁场中，B

竖直向上，且B = 9.40310-3 T ，线

圈中电流为I =10 A ． (1) 今使线圈平面保持竖直，问线圈所受的磁力矩为多少？ (2) 假若线圈能以某一条水平边为固定轴自由摆动，问线圈平衡时，线圈平面与竖直面夹角为多少？(已知铜线横截面积S = 2.00 mm 2，铜的密度ρ = 8.90 g/cm 3 ) 解：(1) 2Ia p m =，方向垂直于线圈平面．

?=?=90sin B p B p M m m = 9.40310-4 N 2m

(2) 设线圈绕AD 边转动，并且线圈稳定时，线圈平面与竖直平面夹角为θ ，则磁场对线圈的力矩为

)2

1sin(θ-π=?=B p B p M m m θcos B p m =

重力矩： )sin 2

1(2sin θθa mg mga L +=θρsin 22g S a =

=θcos B p m θρsin 22g S a 712.3)/(2ctg ==BI g S ρθ

于是 θ = 15°

14-3 试证明任一闭合载流平面线圈在均匀磁场中所受的合磁力恒等于零． 证明：由安培公式，电流元l I d 受磁场作用力为 B l I F ?=d d

则闭合电流受总磁力为 B l I B l I F F ?=?==???)d (d d 其中，因为B 为恒矢量，可提出积分号外而保持叉乘顺序不变．

由于 0d =?l (∵多边形矢量叠加法则) ∴0=F (证毕)

14-4一通有电流I 1 (方向如图)的长直导线，旁边有一个与它共面通有电流I 2

(方向如图)每边长为a 的正方形线圈，线圈的一对边和长直导线平行，

线圈的中心与长直导线间的距离为2/3a (如图)，在维持它们的电流不变

和保证共面的条件下，将它们的距离从2/3a 变为2/5a ，求磁场对正方

形线圈所做的功．

解：如图示位置，线圈所受安培力的合力为

])

(22[10102a x I x I aI F +π-π=μμ 方向向右

从x = a 到x = 2a 磁场所作的功为

?+-π=a a x a

x x I aI A 2210d )11(2μ)3ln 2ln 2(2210-π=I aI μ )

θ-

I 2 I 2

14-5 、如图，均匀磁场中放一均匀带正电荷的圆环，其线电荷密度为λ，圆环可绕通过环心O与环面垂直的转轴旋转．当圆环以角速度ω 转动时，圆环受到的磁力矩大小为 ；磁力矩的方向 ．ArrayλB

ω

R3

π在图面中向上

第十五章磁介质

【例题精选】

例15-1 顺磁物质的磁导率：

(A) 比真空的磁导率略小(B) 比真空的磁导率略大

(C) 远小于真空的磁导率(D) 远大于真空的磁导率[ B]

例15-2 用细导线均匀密绕成长为l、半径为a (l >> a)、总匝数为N的螺线管，管内充满相对磁导率为μr的均匀磁介质．若线圈中载有稳恒电流I，则管中任意一点的

(A) 磁感强度大小为B = μ0 μ r NI．(B) 磁感强度大小为B = μ r NI / l．

(C) 磁场强度大小为H = μ0NI / l．(D) 磁场强度大小为H = NI / l．[ D]

例15-3 置于磁场中的磁介质，介质表面形成面磁化电流，试问该面磁化电流能否产生楞次─焦耳热？为什么？

答：不能．

因为它并不是真正在磁介质表面流动的传导电流，而是由分子电流叠加而成，只是在产生磁场

这一点上与传导电流相似．

12

13

【练习题】

15-1 磁介质有三种，用相对磁导率μr 表征它们各自的特性时，

(A) 顺磁质μr >0，抗磁质μr <0，铁磁质μr >>1．

(B) 顺磁质μr >1，抗磁质μr =1，铁磁质μr >>1．

(C) 顺磁质μr >1，抗磁质μr <1，铁磁质μr >>1．

(D) 顺磁质μr <0，抗磁质μr <1，铁磁质μr >0． [ C ] 15-2 长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导体中有等值反向均匀电流I 通过，其间

充满磁导率为μ的均匀磁介质．介质中离中心轴距离为r 的某点处的磁场强度的大小H = ；磁感强度的大小B = ．

I / (2πr ) μI / (2πr )

15-3 图示为三种不同的磁介质的B ~H 关系曲线，其中虚线表示的是B = μ0H

的关系．说明各代表哪一类磁介质的B ~H 关系曲线：a 代表 的B ~H

关系曲线．b 代表 的B ~H 关系曲线．

铁磁质 顺磁质 15-4 有很大的剩余磁化强度的软磁材料不能做成永磁体，这是因为软磁材料 ；如果做成永磁

体 .

矫顽力小 容易退磁

15-5 、如图所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘

米绕10匝．当导线中的电流I 为2.0 A 时，测得铁环内的磁感应强度的大小B

为1.0 T ，则可求得铁环的相对磁导率μr 为(真空磁导率μ 0 =4π310-7 T 2m 2A -

1)

(A) 7.963102 (B)

3.983102 (C) 1.993102 (D) 63.3

第十六章 变化的电磁场

【例题精选】

例16-1 如图所示，一载流螺线管的旁边有一圆形线圈，欲使线圈产生图示方向的感应电流i ，下列哪一种情况可以做到？

14 (A ) 载流螺线管向线圈靠近． (B) 载流螺线管离开线圈．

(C) 载流螺线管中电流增大． (D) 载流螺线管中插入铁芯． [ B ]

例16-2 如图所示，一电荷线密度为λ的长直带电线(与一正方形线圈共面并

与其一对边平行)以变速率v =v (t )沿着其长度方向运动，正方形线圈中的总

电阻为R ，求t 时刻方形线圈中感应电流i (t )的大小(不计线圈自身的自感)． 解：长直带电线运动相当于电流λ?=)(t I v ．

正方形线圈内的磁通量可如下求出

x a x a I d 2d 0+?π=μΦ 2ln 2d 2000?π=+π=?

Ia x a x Ia a

μμΦ 2ln t d I d 2a t d d 0i π

μ=-=εΦ2ln t d )t (d a 20v λπμ= 2ln t d )t (d a R 2R )t (i 0i

v λπμ=ε= 例16-3电荷Q 均匀分布在半径为a 、长为L ( L >>a )的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度ω 绕中心轴线旋转．一半径为2a 、电阻为R 的单匝圆形线

圈套在圆筒上(如图所示)．若圆筒转速按照)/1(00t t -=ωω的规律(ω 0和t 0

是已知常数)随时间线形地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向．

解：筒以ω旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流π

?2ωL Q ，它和通电流螺线管的nI 等效． 按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强度为：L

Q B π=20ωμ (方向沿筒的轴向) 筒外磁场为零．穿过线圈的磁通量为： L

a Q B a 22

02ωμΦ=π= 在单匝线圈中产生感生电动势为 =Φ-=εt d d )d d (220t L Qa ωμ-0

0202Lt Qa ωμ= 感应电流i 为0020RLt 2Qa R i ωμ=ε= i 的流向与圆筒转向一致． 例16-4 如图所示，一段长度为l 的直导线MN ，水平放置在载电流为

I 的竖直长导线旁与竖直导线共面，并从静止由图示位置自由下落，

则t 秒末导线两端的电势差=-N M U U ； 点电势高． a l a t Ig +π-ln 20μ N 例16-5 一内外半径分别为R 1, R 2的均匀带电平面圆环，电荷面密度为σ，其中心有一半径为r 的导体小环(R 1 >>r )，二者同心共面如图．设带电圆环以变角速度ω =ω(t )绕垂直于环面的中心轴旋转，导体小环中的感

应电流i 等于多少？方向如何(已知小环的电阻为R ＇)？ a a

15 解：带电平面圆环的旋转相当于圆环中通有电流I ．在R 1与R 2之间取半径为R 、宽度为d R 的环

带，环带内有电流 R t R I d )(d ωσ=

d I 在圆心O 点处产生的磁场 R t R I B d )(2

1/.d 21d 00σωμμ==

在中心产生的磁感应强度的大小为 ))((2

1120R R t B -=σωμ 选逆时针方向为小环回路的正方向，则小环中 2120))((2

1r R R t π-≈σωμΦ t t R R r t i d )(d )(2d d 1220ωσμΦε-π-=-= t t R R R r R i i d )(d 2)(π1220ωσμε?'--='= 方向：当d ω (t ) /d t >0时，i 与选定的正方向相反；否则 i 与选定的正方向相同．

例16-6 求长度为L 的金属杆在均匀磁场B 中绕平行于磁场方向的定轴OO ＇转动时的动生电动势．已知杆相对于均匀磁场B 的方位角为θ，杆

的角速度为ω，转向如图所示． 解：在距O 点为l 处的d l 线元中的动生电动势为 d ε l B d )(??=v

θωsin l =v ∴???απ=?=εL

v v d cos )21sin(B d )B (L ??θω=θω=ΛθL

2d sin B sin d sin lB θω22sin 21BL = ε 的方向沿着杆指向上端． 例16-7在感应电场中电磁感应定律可写成t l E L

K d d d Φ-=?? ，式中K E 为感应电场的电场强度．此式表明：

(A) 闭合曲线L 上K E 处处相等． (B) 感应电场是保守力场．

(C) 感应电场的电场线不是闭合曲线．(D) 不能像对静电场那样引入电势的概念． [ D ] 例16-8 在圆柱形空间内有一磁感强度为B 的均匀磁场，如图所示．B 的大小以速率d B /d t 变化．在

磁场中有A 、B 两点，其间可放直导线AB 和弯曲的导线ACB ，则

(A) 电动势只在直导线AB 中产生． (B) 电动势只在弯曲导线ACB 中产生． (C) 电动势在直导线和弯曲的中都产生，且两者大小相等．

(D) 直导线AB 中的电动势小于弯曲的导线ACB 中的电动势． [ D ]

例16-9 两根平行无限长直导线相距为d ，载有大小相等方向相反的电流I ，电流变化率d I /d t =α >0．一个边长为d 的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距d 如图所示．求线圈中的感应电动势ε，并说明线圈中的感应电动势的方向．

解：无限长载流直导线在与其相距为r 处产生的磁感强度为：)2/(0r I B π=μ以顺时针为线圈回路的正方向，与线圈相距较远和较近的导线在线圈中产生的磁通量为：

O

I

16 23ln 2d 203201π=π?=?Id

r r I d d d μμΦ 2ln 2d 20202π-=π?-=?Id r r I d d d

μμΦ 总磁通量 34ln 2021π-=+=Id μΦΦΦ 感应电动势为： 3

4ln 2d d )34(ln 2d d 00αμμεπ=π=-=d t I d t Φ 由ε >0，所以ε 的绕向为顺时针方向，线圈中的感应电流亦是顺时针方向． 例16-10在一个塑料圆筒上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa ′和bb ′，当线圈aa ′和bb ′绕制如图(1)时其互感系数为M 1，如图(2)绕制时其

互感系数为M 2，M 1与M 2的关系是

(A) M 1 = M 2 ≠0． (B) M 1 = M 2 = 0． (C) M 1 ≠M 2，M 2 = 0． (D) M 1 ≠M 2，M 2 ≠0． [ D ]

例16-11 对于单匝线圈取自感系数的定义式为L =Φ /I ．当线圈的几何形状、大小及周围磁介质分

布不变，且无铁磁性物质时，若线圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数L

(A) 变大，与电流成反比关系． (B) 变小．

(C) 不变． (D) 变大，但与电流不成反比关系． [ C ]

【练习题】

16-1 将形状完全相同的铜环和木环静止放置，并使通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，则

不计自感时

(A) 铜环中有感应电动势，木环中无感应电动势．

(B) 铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小．

图(2)

17 (C) 铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大．

(D) 两环中感应电动势相等． [ D ] 16-2半径为R 的长直螺线管单位长度上密绕有n 匝线圈．在管外有一包围着螺线管、面积为S 的圆线圈，其平面垂直于螺线管轴线．螺线管中电流i 随时间作周期为T 的变化，如图所示．求圆线圈中的感生电动势ε．画出ε─t 曲线，注明时间坐标．

解：螺线管中的磁感强度 ni B 0μ=，

通过圆线圈的磁通量 i R n 20π=μΦ．

取圆线圈中感生电动势的正向与螺线管中电流正向相同，有 t d i d R n t d d 20i πμ-=Φ-

=ε

．

在0 < t < T / 4内， T I T I t i m m 44/d d == ， 20i R n πμ-=εT

I m 4=T I nR m /420μπ-= 在T / 4 < t < 3T / 4内， T

I T I t i m m 42/2d d -=-=， =εi T /I nR 4m 20μπ． 在3T / 4 < t < T 内， T

I T I t i m m 44/d d ==， =εi T I nR m /420μπ-． ε ─t 曲线如图．

16-3在一通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一半径为r 、电阻为

R 的导线小环，环中心距直导线为a ，如图所示，且a >> r ．当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电荷约为 (A)

)11

(220r

a a R Ir +-πμ (B) a r a R Ir +ln 20πμ (C) aR Ir 220μ (D) rR Ia 22

0μ [ C ] 16-4 如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I 与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度v 导线．设t =0时，线圈位于图示位置，求：(1) 在任意时刻t 线圈的磁通量Φ． (2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势ε．

解：建立坐标系，x 处磁感应强度x 2I B 0πμ=；方向向里 在x 处取微元，高l 宽dx ，微元中的磁通量：

dx x

2I Bydx S d B d 0 πμ==?=Φ 磁通量：???πμ==S 0x d r 2I S d B )t ( Φ?++πμ=t b t a 0x x d 2I v v t a t b ln 2I 0v v ++μ=π I m

-I

18 感应电动势ab

2)a b (I t d d 0

0t π-μ=-=ε=v Φ 方向：顺时针 16-5在一长直密绕的螺线管中间放一正方形小线圈，若螺线管长1 m ，绕了1000匝，通以电流 I =10cos100πt (SI )，正方形小线圈每边长5 cm ，共 100匝，电阻为1

Ω，求线圈中感应电流的最大值(正方形线圈的法线方向与螺线管的轴线方向一

致，μ0 =4π310-7 T 2m/A ．) 解： n =1000 (匝/m) nI B 0μ= nI a B a 022μΦ=?= t

I n Na t N d d d d 02με-=Φ-==π2310-1 sin 100 πt (SI) ==R I m m /επ2310-1 A = 0.987 A

16-6 如图所示，在一长直导线L 中通有电流I ，ABCD 为一矩形线圈，它与

L 皆在纸面内，且AB 边与L 平行． 矩形线圈在纸面内向右移动时，线圈中

感应电动势方向为 ；矩形线圈绕AD 边旋转，当BC 边已离开纸面正

向外运动时，线圈中感应动势的方向为 ． ADCBA 绕向 ADCBA 绕向 16-7 金属杆AB 以匀速v =2 m/s 平行于长直载流导线运动，导线与AB 共面且

相互垂直，如图．已知导线载有电流I = 40 A ，则此金属杆中的感应电动势εi = ； 端电势较高．(ln2 = 0.69)

1.11310-5 V

A 端 16-8 两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b 的金属杆CD 与两导线共面且垂直，相对位置如图．CD 杆以速度v 平行直线

电流运动，求CD 杆中的感应电动势，并判断C 、D 两端哪端电势较高？

解：建立坐标(如图)则：21B B B

+= x I

B π=201μ， )

(202a x I

B -π=μ x I a x I B π--π=2)(200μμ， B 方向⊙ d εx x a x I x B d )11(2d 0--π==v v μ ??--πμ=ε=ε+x d )x 1a x 1(2I d b a 202a

v b a b a I ++π=2)(2ln 20v μ 感应电动势方向为C →D ，D 端电势较高．

16-9 两根无限长平行直导线载有大小相等方向相反的电流I ，并各以d I /d t 的变

化率增长，一矩形线圈位于导线平面内(如右图)，则： (A) 线圈中无感应电流． (B) 线圈中感应电流为顺时针方向．

(C) 线圈中感应电流为逆时针方向． (D) 线圈中感应电流方向不确定． [ B ]

C

B 2a x +d x 2a +b I I

C

D v x O x

a a

b I I C D v I

19 16-10 用线圈的自感系数L 来表示载流线圈磁场能量的公式22

1LI W m = (A) 只适用于无限长密绕螺线管 (B) 只适用于单匝圆线圈

(C) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺绕环 (D) 适用于自感系数Ｌ一定的任意线圈 [ D ]

16-11两根平行长直导线，横截面的半径都是a ，中心线相距d ，属于同一回路．设两导线内部的磁通

都略去不计，证明：这样一对导线单位长的自感系数为

L π=ln 0μ证明：取长直导线之一的轴线上一点作坐标原点，设电流为I 导线的平面上两线之间的区域中B 的分布r I

B π=20μ)(20r d I

-

π+μ

穿过单位长的一对导线所围面积（如图中阴影所示）的磁通为

==??S S B d Φr r

d r I a d a d )11(20

?--+πμa a d I -π=ln 0μ a a d I L -π==ln 0μΦ 16-12 一自感线圈中，电流强度在 0.002 s 内均匀地由10 A 增加到12 A ，此过程中线圈内自感电动

势为400V ，则线圈的自感系数为 ；线圈末态储存的能量为 ．

0.400 H 28.8J

16-13 两个通有电流的平面圆线圈相距不远，如果要使其互感系数近似为零，则应调整线圈的取向

使

(A) 两线圈平面都平行于两圆心连线．

(B) 两线圈平面都垂直于两圆心连线．

(C) 一个线圈平面平行于两圆心连线，另一个线圈平面垂直于两圆心连线．

(D) 两线圈中电流方向相反． [ C ] 16-14 空中两根很长的相距为2a 的平行直导线与电源组成闭合回路如图．已知导线中

的电流为I ，则在两导线正中间某点P 处的磁能密度为

(A) 200)2(1a I πμμ. (B) 200)2(21a I πμμ. (C) 200)(21a

I πμμ. (D) 0 . [ C ]

第十七章 电磁波

【例题精选】

例17-1 电磁波在自由空间传播时，电场强度电E 和磁场强度H

20 （A ）方向在垂直于传播方向的同一直线上 （B ）它们朝互相垂直的两个方向传播

（C ）它们的方向互相垂直，且都垂直于传播方向 （D ）它们的相位差为π /2 [ C ] 例17-2 由于E 和H 的振动方向都与电磁波的传播方向______，所以电磁波是____波。任一时刻E

和H 的振动相位____（相同，不同），它们____达到最大值或零（同时，不同时）。

垂直；横：相同；同时

例17-3 一电台的平均辐射功率为20 kW ，假定辐射能量均匀地分布在以电台为心的球面上。那么，

距电台10km 处，电磁波的平均辐射强度为____________。

-521.5910W/m ?

【补充题】

17-1 试证明：平面电磁波的电场能量的密度与磁场能量的密度相等。

证： E H εμ= m e w H E H E w ====222

12121

μεμε 17-2 一同轴电缆，内外导体间充满了相对介电常数ε r = 2.25、相对磁导率μ r =１的介质（聚乙烯），

电缆损耗可以忽略不计。讯号在此电缆中传播的速度为___________________。

8210m/s ?

17-3 坡印廷矢量的物理意义是：_________________________________________；

其定义式是________________________。

能流密度矢量，其大小表示单位时间内流过与能量传输方向垂直的单位横截面积的能量，

其方向为能量的传输方向；S E H =?

第十八章 光的干涉

【例题精选】

例18-1在双缝干涉实验中，波长λ＝5.50310-7 m 的单色平行光垂直入射到缝间距a ＝2310-

4 m 的双

缝上，屏到双缝的距离D ＝2 m ．求：(1) 中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；(2) 用一

厚度为e ＝6.6310-5 m 、折射率为n ＝1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明

纹处？

21 解：(1) ?x ＝20 D λ / a ＝0.11 m

(2) 覆盖云玻璃后，零级明纹应满足 (n －1)e ＋r 1＝r 2

设不盖玻璃片时，此点为第k 级明纹，则应有r 2－r 1＝k λ

所以 (n －1)e = k λ k ＝(n －1) e / λ＝6.96≈7

零级明纹移到原第7级明纹处

例18-2 在双缝干涉实验中，若使两缝之间的距离增大，则屏幕上干涉条纹间距 ；若使单色

光波长减小，则干涉条纹间距 ．

变小 变小

例18-3两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射．若上面的平玻璃慢慢地

向上平移，则干涉条纹

(A) 间隔变小，向棱边方向平移． (B) 间隔变大，向棱边方向平移．

(C) 间隔不变，向棱边方向平移． (D) 间隔不变，向远离棱边方向平移． [ C ]

例18-4 一束波长为λ的单色光由空气垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上，透明薄膜放在空气中，

要使反射光得到干涉加强，则薄膜最小的厚度为

(A) λ / 4 ． (B) λ / (4n )． (C) λ / 2 ． (D) λ / (2n )． [ B ]

例18-5 若把牛顿环装置(都是用折射率为1.52的玻璃制成的)由空气搬入折射率为1.33的水中，则

干涉条纹

(A) 中心暗斑变成亮斑． (B) 变疏．

(C) 变密． (D) 间距不变． [ C ]

例18-6 图示一牛顿环装置，设平凸透镜中心恰好和平玻璃接触，透镜凸表面的

曲率半 径是R ＝400 cm ．用某单色平行光垂直入射，观察反射光形成的牛顿

环，测得第5个明环的半径是0.30 cm ．(1) 求入射光的波长．(2) 设图中OA

＝1.00 cm ，求在半径为OA 的范围内可观察到的明环数目． 解：(1) 明环半径 ()2/12λ?-=R k r ()R

k r 1222

-=λ＝5310-5 cm (或500 nm) (2) (2k －1)＝2 r 2 / (R λ)

对于r ＝1.00 cm ， k ＝r 2 / (R λ)＋0.5＝50.5

故在OA 范围内可观察到的明环数目为50个．

【练习题】

18-1 如图，在双缝干涉实验中，若把一厚度为e 、折射率为n 的薄

云母片覆盖在S 1缝上，中央明条纹将向 移动；覆盖云母

片后，两束相干光至原中央明纹O 处的光程差为 ．

O

S

屏 21

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