【高考复习参考】2014届高考数学试题大冲关 二元一次不等式(组)
更新时间:2023-04-07 16:23:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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2014届高考数学理科试题大冲关:二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题
1.若实数x ,y 满足不等式组??? x +2y -5≥0,2x +y -7≥0,
x ≥0,y ≥0,则3x +4y 的最小值是
( )
A .13
B .15
C .20
D .28
2.已知向量a =(x +z,3),b =(2,y -z ),且a⊥b ,若x ,y 满足不等式|x |+|y |≤1,则z 的取值范围为 ( )
A .[-2,2]
B .[-2,3]
C .[-3,2]
D .[-3,3]3.若不等式组????? x ≥0,x +3y ≥4
3x +y ≤4,所表示的平面区域被直线y =kx +43
分为面积相等的两部分,则k 的值是 ( )
A.73
B.37
C.43
D.34
4.已知O 是坐标原点,点A (-1,1).若点M (x ,y )为平面区域????? x +y ≥2,x ≤1,
y ≤2
上的一个动点,则OA ·OM 的取值范围是 ( )
A .[-1,0]
B .[0,1]
C .[0,2]
D .[-1,2]5.已知实数x ,y 满足????? x -y +6≥0x +y ≥0
x ≤3,若z =ax +y 的最大值为3a +9,最小值为3a
-3,则实数a 的取值范围为 ( )
A .a ≥1
B .a ≤-1
C .-1≤a ≤1
D .a ≥1或a ≥-1
6.若变量x ,y 满足约束条件????? 3≤2x +y ≤9,6≤x -y ≤9,则z =x +2y 的最小值为
( )
A .-8
B .-6
C .0
D .12 二、填空题
7.在平面直角坐标系中,不等式组?????
x ≥1y ≤2
x -y ≤0
表示的平面区域的外接圆的方程为________. 8.已知实数x ,y 满足????? x -ay -1≥02x +y ≥0x ≤1(a ∈R),若目标函数z =x +3y 只有当????? x =1y =0时取得最大值,则实数a 的取值范围是________. 9.已知实数x ,y 满足约束条件????? x -y +4≥0x +y ≥0
x ≤3
,则z =4x
2-y 的最小值为________. 三、解答题 10.已知?ABCD 的三个顶点为A (-1,2),B (3,4),C (4,-2),点(x ,y )在?ABCD 的内部,求z =2x -5y 的取值范围.
11.由约束条件????? y ≥0,y ≤x ,y ≤2-x ,t ≤x ≤t +1
0 12.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元.那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 详解答案 一、选择题 1.解析:不等式组 ????? x +2y -5≥0,2x +y -7≥0, x ≥0,y ≥0, 表示的可行域如图所示,根据目标函数z = 3x +4y 的几何意义容易求得,当x =3,y =1时,z 有最小值13. 答案:A 2.解析:因为a⊥b ,所以a·b =0,所以2x +3y =z ,不等式|x |+ |y |≤1可转化为 ????? x +y ≤1 x ≥0,y ≥0x -y ≤1 x ≥0,y <0-x +y ≤1 x <0,y ≥0-x -y ≤1 x <0,y <0,由图可得其对应的可行域为边长为2,以点(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正方形,结合图象可知当直线2x +3y =z 过点(0,-1)时z 有最小值-3,当过点(0,1)时z 有最大值3.所以z 的取值范围为 [-3,3]. 答案:D 3.解析:由图可知,线性规划区域为△ABC 边界及内部,y =kx +43 恰过A (0,43),y =kx +43将区域平均分成面积相等两部分,故过BC 的中点D (12,52),52=k ×12+43,k =73 . 答案:A 4.解析:平面区域如图中阴影部分所示的△BDN , N (0,2),D (1,1), 设点M (x ,y ),因点A (-1,1),则z = OA ·OM =-x +y ,由图可 知;当目标函数z =-x +y 过点D 时,z min =-1+1=0;当目标函数z =-x +y 过点N 时,z max =0+2=2,故z 的取值范围为[0,2],即 OA · OM 的取值范围为[0,2].答案:C 5.解析:作出x ,y 满足的可行域,如图阴影部分所示,则z 在点A 处取得最大值,在点C 处取得最小值.又k BC =-1,k AB =1, ∴-1≤-a ≤1,即-1≤a ≤1. 答案:C 6.解析:根据????? 3≤2x +y ≤96≤x -y ≤9得可行域如图中阴影部分所示: 根据z =x +2y 得y =-x 2+z 2,平移直线y =-x 2 得过M 点时取得最小值. 根据????? x -y =92x +y =3得????? x =4y =-5,则z min =4+2×(-5)=-6. 答案:B 二、填空题 7.解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.易知 △ABC 为等腰直角三角形,A (2,2),B (1,1),C (1,2),因此△ABC 的 外接圆的圆心为(32,32 ),半径为2-12+2-122=22.所以所求外接圆的方程为(x -32 )2+(y -32)2=12 . 答案:(x -32)2+(y -32)2=12 8.解析:在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域,其中直线x -ay -1=0经 过定点(1,0)且斜率为1a ,结合图形可知,只有当1a >0,即a >0时,目标函数z =x +3y 才能在点(1, 0)处取得最大值(如图(1));若1a <0,则可行域变为开放的区域,目标函数z =x +3y 不存在最大值(如图(2)).所以实数a 的取值范围是a >0. 答案:(0,+∞) 9.解析:作出不等式组所表示的可行域(图略),z =4x 2 -y =22x ·2y =22x +y ,令ω=2x +y ,可求得ω=2x +y 的最小值是-2,所以z =4x 2-y 的最小值为2-2=14 . 答案:14 三、解答题 10.解:由题可知,平行四边形ABCD 的点D 的坐标为(0,-4),点(x ,y ) 在平行四边形内部,如图,所以在D (0,-4)处目标函数z =2x -5y 取得最大值 为20,在点B (3,4)处目标函数z =2x -5y 取得最小值为-14,由题知点(x ,y ) 在平行四边形内部,所以端点取不到,故z =2x -5y 的取值范围是(-14,20). 11.解:由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP ,如图所示,其面积S =f (t )=S △OPD -S △AOB -S △ECD , 而S △OPD =12 ×1×2=1. S △OAB =12t 2,S △ECD =12 (1-t )2, 所以S =f (t )=1-12t 2-12(1-t )2=-t 2+t +12. 12.解:法一:设需要预订满足营养要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位,所花的费用为z 元,则依题意得: z =2.5x +4y ,且x ,y 满足 ????? x ≥0,y ≥0, 12 x +8y ≥64,6x +6y ≥42,6x +10y ≥54.即????? x ≥0,y ≥0,3x +2y ≥16,x +y ≥7,3x +5y ≥27. 作出线性约束条件所表示的可行域,如图所示, z 在可行域的四个顶点A (9,0),B (4,3),C (2,5),D (0,8)处的值分别是 z A =2.5×9+4×0=22.5, z B =2.5×4+4×3=22, z C =2.5×2+4×5=25, z D =2.5×0+4×8=32. 比较之,z B 最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求. 法二:设需要预订满足营养要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位,所花的费用为z 元,则依题意得:z =2.5x +4y ,且x ,y 满足 ????? x ≥0,y ≥0, 12 x +8y ≥64,6x +6y ≥42,6x +10y ≥54.即????? x ≥0,y ≥0,3x +2y ≥16,x +y ≥7,3x +5y ≥27. 让目标函数表示的直线2.5x +4y =z 在可行域上平移, 由此可知z =2.5x +4y 在B (4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.
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