梯度、散度和旋度——定义及公式

梯度、散度和旋度——定义及公式

1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）

哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为?。

三维坐标系下，有

=i j k x y z

????++???r r r 或者

(,,)x y z

????=??? 其中,,i j k r r r 分别为xyz 方向上的单位矢量。

2 梯度（Gradient ）

2.1 梯度的定义

梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。

(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z

??????=?=++=??????r r r 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。

2.2 梯度的性质

?c=0

?(RS)= ?R+?S

21()(),0R S R R S S S S

?=?-?≠ [()]()f S f S S '?=?

其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。

3 散度（Divergence ）

散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。设矢量函数

=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++r r r r

则散度表示为：

(,,)(,,)y x z x y z f f f p f f f f f x y z x y z

??????=?==++??????r r g g 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。

当0p f >r ，该点有散发通量的正源（发散源）；

当0p f

当=0p f r ，该点无源。

4 旋度（Curl, Rotation ）

旋度是哈密顿算子与矢量函数f 叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数

=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++r r r r

则旋度：

=rot ()()()y y x x z z x y z

i

j k f f f f f f curl f f f i j k x

y z y z z x x y f f f ?????????=??==-+-+-?????????r r r r r r r r r 旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。该向量提供了向量场在这一点的旋转性质。

5 拉普拉斯算子（Laplace Operator ）

拉普拉斯算子是n 维欧几里得空间中的二阶微分算子，定义为梯度（?f ）的散度（??f ）。

拉普拉斯算子定义为：

2f f ?=??g

即：

2222

222=(,,)(,,)=f f f f f f f f x y z x y z x y z ??????????=??++?????????g g

6 重要的公式

6.1 算符的对易性

函数S(x,y,z,t)满足必要的连续性条件时：

22()()S S S S x t x t t x t x

??????===???????? 0t t

???-?=?? 220t t

???-?=?? 6.2 梯度、散度和旋度的混合运算

()()0rot grad S S =???=（标量场S 的梯度没有旋转变换）

()()0p rot =???=A A g （向量场A 的旋度没有胀缩变化）

2()()S p grad S S ?==??g

2()()????=??-?A A A g

2()()?ψ?=??-????=?-??A A A g （向量分解恒等式）

其中，=??A g （无源场，有散场，标量场）

=ψ??A （有旋场，向量场）

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