范文桥总结圆锥曲线的解题全面方法

高中数学圆锥曲线解答题解法面面观

汇编：范文桥

圆锥曲线解答题中的十一题型：几乎全面版 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：向量问题 题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值、最值问题 问题八：直线问题 问题九：对称问题 问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）

题型二：弦的垂直平分线问题

例题1、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得?ABEy2?x交于A、是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线l:y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。 由??y?k(x?1)2222消y整理，得kx?(2k?1)x?k?0 ① 2?y?x由直线和抛物线交于两点，得??(2k2?1)2?4k4??4k2?1?0 即0?k?21 ② 42k2?12k2?11,x1x2?1。则线段AB的中点为(?,)。 由韦达定理，得：x1?x2??k22k22k线段的垂直平分线方程为：

1111111?2k2x??E(?,0) y???(x?)令y=0,得，则02222k22k22kk2k??ABE为正三角形，?E(113?,0)到直线AB的距离d为AB。 2k2221

1?k21?4k22?AB?(x1?x2)?(y1?y2)? ?1?kd?2kk22231?4k21?k25392??1?k?x?解得满足②式此时。 k??022k2k313【涉及到弦的垂直平分线问题】

这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB．．．．．．．．的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。

例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

?y??x2?3解：设直线AB的方程为y?x?b，由?进而可求出AB?x2?x?b?3?0?x1?x2??1，

?y?x?b的中点M(?1111,??b)，又由M(?,??b)在直线x?y?0上可求出b?1，∴x2?x?2?0，由弦22222长公式可求出AB?1?112?4?(?2)?32．

题型三：动弦过定点的问题

x2y23例题2、已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，ab2且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。

（I）求椭圆的方程；

（II）若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

x2c3?y2?1 解：（I）由已知椭圆C的离心率e??，a?2,则得c?3,b?1。从而椭圆的方程为4a2（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，由

?y?k1(x?2)消y整理得(1?4k12)x2?16k2x?16k12?4?0??2和x1是方程的两个根，?22?x?4y?44k116k12?42?8k122?8k124k1则x1?，y1?，即点M的坐标为(??2x1?,)， 222221?4k11?4k11?4k11?4k11?4k12

28k2?2?4k2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(,) 221?4k21?4k2?yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)?k1?k2y?y1y2?y12， ??，?直线MN的方程为：?k1?k2tx?x1x2?x1?令y=0，得x?4x2y1?x1y2，将点M、N的坐标代入，化简后得：x?

ty1?y24443?2?椭圆的焦点为(3,0)??3，即t? tt3又?t?2，?0?故当t?43时，MN过椭圆的焦点。 3题型四：过已知曲线上定点的弦的问题

22xy例题4、已知点A、B、C是椭圆E：2?2?1 (a?b?0)上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶ab????????????????点，直线BC过椭圆的中心O，且AC?BC?0，BC?2AC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；

(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线x?3对称，求直线PQ的斜率。

????????解：(I) ?BC?2AC，且BC过椭圆的中心O

??????????????????OC?AC?AC?BC?0??ACO?又?A (23,0)?点C的坐标为(3,3)。

2?A(23,0)是椭圆的右顶点，?a?23，则椭圆方程为：x2y2?2?1 12b将点C(3,3)代入方程，得b?4，?椭圆E的方程为

x2y2??1 1242(II)? 直线PC与直线QC关于直线x?3对称，

?设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为?k，从而直线PC的方程为：

?y?kx?y?3?k(x?3)，即y?kx?3(1?k)，由??3(1?k)消y，整理得：

22??x?3y?12?0(1?3k2)x2?63k(1?k)x?9k2?18k?3?0?x?3是方程的一个根， 9k?18k?39k?18k?39k2?18k?3即同理可得： x?x??xP?3?PQ2221?3k3(1?3k)3(1?3k)3

22?yP?yQ?kxP?3(1?k)?kxQ?3(1?k)＝k(xP?xQ)?23k＝9k2?18k?39k2?18k?3yP?yQ1 ＝?36kxP?xQ???k??PQxP?xQ33(1?3k2)3(1?3k2)3(1?3k2)则直线PQ的斜率为定值题型五：共线向量问题

?12k 23(1?3k)1。 31：如图所示，已知圆C:(x?1)2?y2?8,定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM?2AP,NP?AM?0,点N的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FG??FH，求?的取值范围. 解：（1）?AM?2AP,NP?AM?0.∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又?|CN|?|NM|?22,?|CN|?|AN|?22?2.∴动点N的轨迹是以点 C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为2a?22,

x2?y2?1. 焦距2c=2. ?a?2,c?1,b?1.∴曲线E的方程为22

x22（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y?kx?2,代入椭圆方程?y?1,

2得(?k)x?4kx?3?0.3由??0得k2?.设G(x1,y1),H(x2,y2),

2?4k?8k36则x1?x2??(1),xx??(2)1222111?2k1?2k?k2?k2222212又?FG??FH,?(x1,y1?2)??(x2,y2?2)32

13(2?2)k?4???1?2??x1??x2,???x1,x2，

(1)2132k2????2??2(2)?3(1?2k)?k2?3,?4?23216?.133(2?2)k1????1. 3?161.解得???3.33又?0???1,又当直线GH斜率不存在，方程为x?0,FG?

1111FH,??.????1,即所求?的取值范围是[,1) 33334

2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y?12x的焦点，离心率4为25.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于5????????????????M点，若MA??1AF，MB??2BF ，求证：?1??2??10.

x2y2解：设椭圆C的方程为2?2?1 （a＞b＞0）抛物线方程化为x2?4y，其焦点为(0,1)，

abca2?b2252则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即 b?1由e??，∴a?5，椭圆C的方程为 ?2aa5x2?y2?1（2）证明：右焦点F(2,0)，设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0)，显然直线l的斜率存在，设直5线

l的方程为

y?k(x?2)，代入方程

x2?y2?1 5并整理，得

????20k220k2?5，x1x2? 又MA?(x1,y1?y0)，(1?5k)x?20kx?20k?5?0∴x1?x2?221?5k1?5k2222????????????MB?(x2,y2?y0)，AF?(2?x1,?y1)，BF?(2?x2,?y2)， ????????????????而 MA??1AF， MB??2BF，即(x1?0,y1?y0)?1(2??,xy1?)1∴?1?，(x2?0,y2?y0)??2(2?x2,?y2)

x1x2x1x2(x1?x2)?2x1x2，?2?，所以 ?1??2??2???10

2?x12?x24?2(x1?x2)?x1x22?x12?x23、已知△OFQ的面积S=2

6, 且OF?FQ?m。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，

|OF|?c,m?(6?1)c2，当|OQ|取得最小值时，求此双曲线方程。 4x2y2解：设双曲线方程为2?2?1， Q（x0, y0）。

ab146。 FQ?(x0?c,y0) ， S△OFQ=|OF||y0|?26，∴y0??2cOF?FQ?(c,0)(x0?c,y0)=c(x0－c)=(3c296OQ?x?y??2?23,

8c202066?1)c2?x0?c。 445

3c296当且仅当?2,即c?4时,|OQ|最小,此时Q(6,6)或(6,?6)，

8c6?62???1x2y2?2?a?42所以?a??2.故所求的双曲线方程为??1。 b412?a2?b2?16??b?12?类型1——求待定字母的值

x22例1设双曲线C：2?y?1(a?0)与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交

a于点P，且PA=

5PB，求a的值 12思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。

解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)

∵PA=555PB,?(x1,y1?1)?(x2,y2?1), ∴x1=x2. 121212

?x?y?1?2222

联立?x2消去y并整理得，(1－a)x+2ax－2a=0 (*) ，2?2?y?1?a2??1?a?0，∵A、B是不同的两点，∴?4 22??4a?8a(1?a)?0，

2a22a2∴0

2例2如图2 ，动直线y?kx?1与y轴交于点A，与抛物y?x?3交于不同的两点B和C, 且满足

BP=λPC， AB=λAC，其中??R.。求ΔPOA的重心Q的轨迹。

思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。

解：由??y?kx?1?y?x?32得，k2x2+(2k－1)x+4=0.

y A 6

B P C x

O ?k?011由????k?且k?0.

26???0

设P(x’,y’)，B(x1，y1)，C(x2,y2)， （图2） 则x1+x2=

1?2k4., xx=. 1222kk由BP??PC?(x??x1,y??y1)=?(x2?x?,y2?y?)

? x??x1=?(x2?x?)

由AB??AC?(x1,y1?1)??(x2,y2?1)?x1 =?x2。

???0?x??x1x2?x?2x1x28??x???.

x1x2x1?x21?2k8k6k?1?1?. 消去k得， x’－2 y’－6=0 (*)

1?2k1?2k

?y??kx??1?

x??x???x??3x?3?? 设重心Q(x,y)，则?，代入(*)式得，3x－6y－4=0。 ??y?1y?3y?1??y??3?1148?k?且k?0?4?x??12且x??8??x?4且x? 263348故点Q的轨迹方程是3x－6y－4=0（?x?4且x?），其轨迹是直线3x－6y－4=0上且不包括点

334482A(,0),B(4,),C(,)的线段AB。 3333因为?类型3——证明定值问题

例3已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA?OB与a?(3,?1)共线。设M为椭圆上任意一点，且OM??OA??OB，其中?,??R.证明：?2??2为定值。

思路：设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。

x2y2解：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),F(c,0). 则直线AB的方程为

aby?x?c.代入

(a2?b2)x2?2a2cx?a2c2?a2b2?0.

2a2ca2c2?a2b2,x1x2?. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?2a?b2a2?b27

由 OA?OB与a?(3,?1)共线，OA?OB?(x1?x2,y1?y2)得，

3(y1?y2)?(x1?x2)?0。又y1?x1?c,y2?x2?c,

3c2a2c3c?3(x1?x2?2c)?(x1?x2)?0,?x1?x2?,即2?,?a2?3b2. 222a?b而c2?a2?b2,于是a?232212c,b?c。 22x2y2222因此椭圆方程为2?2?1,即x?3y?3b.

3bb设M(x, y), 由OM??OA??OB得，(x,y)??(x1,y1)??(x2,y2)，

?x??x1??x2且y??y1??y2.

因M为椭圆上一点，所以(?x1??x2)2?3(?y1??y2)2?3b2.

222 即?2(x1?3y12)??2(x2?3y2)?2??(x1x2?3y1y2)?3b2 ①

3c232212a2c2?a2b232,a?c,b?c，x1x2??c. 又x1?x2?222228a?b则 x1x2?3y1y2?x1x2?3(x1?c)(x2?c)?4x1x2?3(x1?x2)c?3c2

?3292222222c?c?3c2?0. 而x1?3y1?3b,x2?3y2?3b, 22代入①得，?2??2=1，?2??2为定值。

类型4——探索点、线的存在性

例4在△ABC中，已知B(－2, 0), C(2, 0), AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向线段AD 所成的比为设P(－1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H，使1。31|HP||PQ||HQ|,1,1成等差数列，为什么？

思路：先将AC⊥BH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。

解： 设H(x, y), 由分点坐标公式知A(x,4y) 34y)(x?2,y)?0， ∵H为垂心 ∴AC⊥BH，∴(x?2,3x2y2??1(y?0)。 整理得，动点H的轨迹方程为 438

|HP|?(x?1)2?y2 ， |PQ|?2， |HQ|?(x?1)2?y2。

假设1|HP||PQ||HQ|,1,1成等差数列，则2|PQ|?1|HP|?1|HQ|

即

1(x?1)?y22?1(x?1)?y22?1 ①

∵H在椭圆上 a=2, b=3, c=1，P、Q是焦点，

2222∴HP?HQ?2a?4，即∴(x?1)?y?(x?1)?y?4 ②

2222由①得，(x?1)?y?(x?1)?y?(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?4 ③

22联立②、③可得，(x?1)?y?(x?1)2?y2?2，

x2y2??1， ∴x?0,y??3,显然满足H点的轨迹方程43故存在点H（0，±3），使1|HP||PQ||HQ|,1,1成等差数列。

类型5——求相关量的取值范围

例5给定抛物线C：y2?4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且

FB??AF,???4,9?，求l在y轴上截距的变化范围。

思路：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l在y轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。

解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由FB??AF得，(x2?1,y2)??(1?x1,?y1)，即

?x2?1??(1?x1)??y2???y1①②2 由②得，y2??2y12.

2?4x2,?x2??2x1③ 。 联立①、③得，x2??。 ?y12?4x1,y2而??0,?B(?,2?),或B(?,?2?).当直线l垂直于x轴时，??1,不符合题意。

?(x?1)或(??1)y??2?(x?1).

因此直线l的方程为(??1)y?2直线l在y轴上的截距为

2?2?2?2?22或?知，在???4,9?上递减的，.由????1??1??1??1??1??1所以

42?332?4??. ??,???3??144??139

于是直线l在y轴上截距的变化范围是??,????,?.

?34??43??43??34?y2存在、向量例6、双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的右顶点为A，x轴上存在一点Q?2a,0?，若C上

ba存在一点P使AP?PQ，求离心率的取值范围。

x23?a2?2解：?PA?PQ?P点的轨迹方程为?x?a??y?，

2?4?即

2y??x?3ax?2a222?b2x2?a2y2?a2b2(x?a且x?2a)。由?222?y??x?3ax?2a，消去y得

b2x2?a2?x2?3ax?2a2?a2b2?0即a2?b2x2?3a3x?2a4?a2b2?0 ??x?a?a?bx?a2a?b222????????2??a2a2?b2a3a2?c2?3??0,?x?a,?x???a?1??2a2?b2c2e??????x2y26?3??P在双曲线2?2?1的右支上，?x?a,?a?2?1??a,解得〈 1e?2ab?e?定值问题例7：A,B是抛物线y2?2px(p?0)上的两点，满足OA?OB（O为坐标原点），求证：（1）

A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线AB经过一定点。

分析：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y12?2px1,y22?2px2?(y1y2)2?4p2x1x2

????????????????又由 OA?OB?OA?OB?0?x1x2?y1y2?0 ?x1x2?4p2,y1y2??4p2

（2）y1?y2?2p(x1?x2)?KAB?22y1?y22p ?x1?x2y1?y2直线AB的方程为y?y1?2px12p2p(x?x1)?y?x??y1

y1?y2y1?y2y1?y2y12?2px1?y1y22p2p?x??(x?2p)，故直线过定点(2p,0)。 y1?y2y1?y2y1?y2题型六：面积问题

x2y26,短轴一个端点到右焦点的距离为3。 例题1、已知椭圆C：2?2?1（a＞b＞0）的离心率为

ab3（Ⅰ）求椭圆C的方程；

10

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3，求△AOB面积的最大值。 2?c6?b解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意??，3?a?a?3，?x2?1，?所求椭圆方程为?y2?1。

3（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)。（1）当AB⊥x轴时，AB?3。（2）当AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为y?kx?m。由已知3，得m2?21?k2m3?(k2?1)。 4把y?kx?m代入椭圆方程，整理得(3k2?1)x2?6kmx?3m2?3?0，

222?6km3(m2?1)?AB2?(1?k2)(x?x)2?36km12(m?1)? 2?x1?x2?2，x1x2?。?(1?k)?21?(3k2?1)23k?13k2?13k2?1???12(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1)12k2???3?4?3?(3k2?1)2(3k2?1)29k?6k2?11212(k?0)≤3??4。 12?3?69k2?2?6k当且仅当9k?213，即时等号成立。当k?0时，AB?3， k??k23综上所述ABmax?2。

133。 ??当AB最大时，△AOB面积取最大值S??ABmax?222x2y262、已知椭圆C:2?2=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C的

3ab方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3，求△AOB面积的最大值. 2?c6，x2??2解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意?a3?b?1，?所求椭圆方程为?y?1．

3?a?3，?（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．（1）当AB⊥x轴时，AB?3．（2）当AB与x轴不垂直时，

11

设直线AB的方程为y?kx?m．由已知m1?k2?3232，得m?(k?1)．

42把y?kx?m代入椭圆方程，整理得(3k2?1)x2?6kmx?3m2?3?0，

223(m2?1)12(m2?1)??6km2222?36km?x1?x2?2，x1x2?．?AB?(1?k)(x2?x1)?(1?k)? ??2223k?13k2?13k?1??(3k?1)12(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1)??(3k2?1)2(3k2?1)212k21212?3?4?3?(k?0)≤3??4．

19k?6k2?12?3?629k?2?6k2当且仅当9k?13，即时等号成立．当k?0时，AB?3，综上所述ABmax?2． k??k23133． ??当AB最大时，△AOB面积取最大值S??ABmax?222x2y2??1的左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交3、已知椭圆3222x0y0??1； 椭圆于A，C两点，且AC?BD，垂足为P．（Ⅰ）设P点的坐标为(x0，y0)，证明：32（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

22C⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，解：（Ⅰ）椭圆的半焦距c?3?2?1，由A故x0 ?y0?1，2222y0x0y0x21≤???1．所以，?（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k?0时，BD的方程为y?k(x?1)，

32222x2y2??1，并化简得(3k2?2)x2?6k2x?3k2?6?0．设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则 代入椭圆方程326k2x1?x2??23k?23k2?643(k2?1)222x1x2?2； BD?1?k?x1?x2?(1?k)??(x2?x2)?4x1x2??2??3k?23k?2，

12

?1?43?2?1?143(k2?1)k??因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为?，所以，AC?． ?21k2k?33?2?2k124(k2?1)2??(k2?1)296≥?四边形ABCD的面积S??BDAC?．

2(3k2?2)(2k2?3)?(3k2?2)?(2k2?3)?225??2??当k2?1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k?0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S?4． 综上，四边形ABCD的面积的最小值为题型七：弦或弦长为定值、最值问题

96． 25????????1、已知△OFQ的面积为26，OF?FQ?m

（1）设6?m?46，求?OFQ正切值的取值范围；

????????62（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|OF|?c,m?(?1)c 当 |OQ| 取得最

4小值时，求此双曲线的方程。 解析：（1）设?OFQ??

?????????|OF|?|FQ|cos(???)?m46? ?6?m?46?? ??tan????????????1m??|OF|?|FQ|sin??26?2?4?tan???1

????x2y2?a?0,b?0),Q(x1,y1),?则FQ?(x1?c,y1) （2）设所求的双曲线方程为2?2?1(ab∴S?OFQ?1???46?|OF|?|y1|?26，∴y1?? 2c????????????????6?1??c2 又∵OF?FQ?m，∴OF?FQ?(c,0)?(x1?c,y1)?(x1?c)?c?(4????6963c222?x1?c,????|OQ|?x1?y1?2??12.

4c8????当且仅当c?4时，|OQ|最小，此时Q的坐标是(6,6)或(6,?6)

13

?66?a2?4x2y2?2?2?1???1. ，所求方程为??ab???????2412??b?12?a2?b2?16?x2y22、已知椭圆??1两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足PF1?PF2?1，过P

24作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（Ⅰ）求P点坐标；（Ⅱ）求证直线AB的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB面积的最大值.

解：（Ⅰ）由题可得F1(0,2)，F2(0?2)，设P0(x0,y0)(x0?0,y0?0)则PF1?(?x0,2?y0)，

22x0y0??1，PF1?(?x0,?2?y0)，∴PF1?PF2?x?(2?y)?1，∵点P(x0,y0)在曲线上，则242020224?y04?y02∴x?，从而?(2?y0)?1，得y0?2.则点P的坐标为(1,2).

2220（Ⅱ）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k?0)，则BP的直线方程为：y?2k(x?1).

?y?2?k(x?1)?由?x2y2得(2?k2)x2?2k(2?k)x ?(2?k)2?4?0，设B(xB,yB)，则

?1???242k(k?2)2k(k?2)k2?22k?2)k2?22k?242k1?xB?,xB??1?，同理可得xA?，则xA?xB?，22222?k2?k2?k2?k2?k2yA?yB8k.所以：AB的斜率k??2为定值. yA?yB??k(xA?1)?k(xB?1)?ABxA?xB2?k2?y?2x?m?（Ⅲ）设AB的直线方程：y?2x?m.由?x2y2，得4x2?22mx?m2?4?0，

?1???24|m|由??(22m)2?16(m2?4)?0，得?22?m?22P到AB的距离为d?，

3则S?PAB121m2?m2?82|m|11122?m(?m?8)?()?2。 ?|AB|?d?(4?m)?3?8822223当且仅当m??2??22,22取等号∴三角形PAB面积的最大值为2。

??x2?y2?1的左焦点为F，O为坐标原点。 3、已知椭圆2（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相

切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

解：（I）?a?2,b?1,?c?1,F(?1,0),l:x??2. ?圆过点O、F， ?圆心M在直线x??设M(?221上。2解

得

1,t),则圆半径 213r?(?)?(?2)?. 由

2214

OM?r,得

13(?)2?t2?,22

19t??2.?所求圆的方程为(x?)2?(y?2)2?.

24x2?y2?1,整理得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0. （II）设直线AB的方程为y?k(x?1)(k?0),代入2?直线AB过椭圆的左焦点F，?方程有两个不等实根。

记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),

y4k2则x1?x2??2, 2k?1lFAB1?AB的垂直平分线NG的方程为y?y0??(x?x0).

kGOx2k2k2k211xG?x0?ky0??2?2??2???2.2k?12k?12k?124k?2?点G横坐标的取值范围为

令y?0,得

1?k?0,???xG?0,21(?,0). 24、已知点A,B的坐标分别是(0,?1)，(0,1)，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为?1．（1）2求点M轨迹C的方程；（2）若过点D?2,0?的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、

F之间），试求?ODE与?ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）．

解：（1）设点M的坐标为(x,y)，∵kAM?kBM1x2y?1y?11??，?y2?1???．∴ 整理，得（x?0），

2xx22x2?y2?1， （2）如图，由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为x?sy?2(s??2)将①代入22整理，得(s2?2)y2?4sy?2?0，由??0，解得s?2．

4s?1y?y??,122??S?OBE2OB?y1ys?2设E?x1,y1?，F?x2,y2?，则?令????1，且0???1．

S?OBF1OB?yy2?yy?2.212?2s2?2?(y1?y2)2???1?8s2168s222?(4,8)且u?， ．∵s?2且s?4，u?2??23s?2y1y2?s?2解得3?22???3?22且??211． ?0???1，?3?22???1且??． 33故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是?3?22,???,1?．

??1??1?3??3?15

y2x2?2?1(a?b?0)2CC1ab5、已知椭圆：的右顶点为A(1,0)，过1的焦点且垂直长轴的弦长为1．

（I）求椭圆

C1的方程；

2Cy?x?h(h?R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M,N．当线2P （II）设点在抛物线：

段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．

?b?1?a?2?22,??,?by?x2?1?2??1?b?1解析：（I）由题意得?a所求的椭圆方程为4，

2M(x,y),N(x,y),P(t,t?h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y?1122（II）不妨设

x?t?2t，直线

2222Cy?2tx?t?h4x?(2tx?t?h)?4?0，即1MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得24?1?t2?x2?4t(t2?h)x?(t?h)2?4?0422?1?16??t?2(h?2)t?h?4????0，因为直线MN与椭圆

C1有两个不同的交点，所以有

，

x1?x2t(t2?h)x3??x22(1?t2)， 设线段PA的中点的横坐标是x4，则设线段MN的中点的横坐标是3，则

x4?t?1222，由题意得x3?x4，即有t?(1?h)t?1?0，其中的?2?(1?h)?4?0,?h?1或h??3；

4222???16?t?2(h?2)t?h?4?1h?2?0,4?h?0???0不成立；因此当h??3时有，因此不等式

2,??1h?1，当h?1时代入方程t?(1?h)t?1?0得t??1，将h?1t代入不等式422?1?16??t?2(h?2)t?h?4????0成立，因此h的最小值为1．

题型八：直线问题

x2y2例题1、设椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点M(2,1)，且着焦点为F1(?2,0)

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB上取点Q，满足

????????????????AP?QB?AQ?PB，证明：点Q总在某定直线上

解 (1)由题意：

16

?c2?2?x2y2?2122??1 ?2?2?1 ，解得a?4,b?2，所求椭圆方程为 42?ab222?c?a?b?(2)方法一

设点Q、A、B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2)。

????????APAQ????????????????由题设知AP,PB,AQ,QB均不为零，记???????????,则??0且??1

PBQB????????????????又A，P，B，Q四点共线，从而AP???PB,AQ??QB

x1??x2， 1?1??x??x2 x?1， y?1??于是 4?从而

2x12??2x2y12??2y22?4x，??（1） ?y，??（2） 221??1??y1??y2

1??y1??y2

1??又点A、B在椭圆C上，即

222 x1?2y12?4,??(3) x2?2y2?4,??(4)

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得4s?2y?4 即点Q(x,y)总在定直线2x?y?2?0上 方法二

????????????????设点Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设，PA,PB,AQ,QB均不为零。

????????PAPB且 ?????????

AQQB????????????????又 P,A,Q,B四点共线，可设PA???AQ,PB??BQ(??0,?1),于是

4??x1??y,y1? （1） 1??1??4??x1??y,y2? x2? （2） 1??1?? x1?由于A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程x?2y?4,整理得

22(x2?2y2?4)?2?4(2x?y?2)??14?0 （3） (x2?2y2?4)?2?4(2x?y?2)??14?0 (4)

17

(4)－(3) 得 8(2x?y?2?)? 0∵??0,∴2x?y?2?0

即点Q(x,y)总在定直线2x?y?2?0上

2、已知曲线?上任意一点P到两个定点F1?3,0和F2???3,0的距离之和为4．（1）求曲线?的方程；

?????????（2）设过?0,?2?的直线l与曲线?交于C、D两点，且OC?OD?0（O为坐标原点），求直线l的方

程．

解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆， 其中a?2，c?3，则b?a2?c2?1．

x2所以动点M的轨迹方程为?y2?1．

4（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?2，设

????????C(x1,y1)，D(x2,y2)，∵OC?OD?0，∴x1x2?y1y2?0．∵y1?kx1?2，y2?kx2?2，?x22??y?1,22∴y1y2?kx1?x2?2k(x1?x2)?4①∴ (1?k)x1x2?2k(x1?x2)?4?0．由方程组?4得

?y?kx?2.??1?4k2?x2?16kx?12?0．则

x1?x2?16k1?4k2，

x1?x2?121?4k2，代入①，得

?1?k??1?124k22?2k?16k?4?0．即k2?4，解得，k?2或k??2． 21?4k所以，直线l的方程是y?2x?2或y??2x?2．

x2?y2?1的左、右焦点。 3、设F1、F2分别是椭圆4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PFPF2的最大值和最小值； 1·

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。

解：（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c?3 所以F1?3,0,F2???3,0，设P?x,y?，则

??????????PF1?PF2??3?x,?y,???x213?x,?y?x?y?3?x?1??3??3x2?8?

44?22218

??????????2 因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值

?????????1当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值

解法二：易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F2???3,0，设P?x,y?，则

?????2?????2?????2???????????????????????????PF1?PF2?F1F2PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2? ?????????2PF1?PF21??x?3?2???2?y?x?32??2?y2?12??x2?y2?3（以下同解法一）

??（Ⅱ）显然直线x?0不满足题设条件，可设直线l:y?kx?2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，

?y?kx?2??21?2y联立?x2，消去，整理得：?k??x?4kx?3?0 24????y?1?4∴x1?x2??4k1k?42,x1?x2?31k?42

由???4k??4?k?2??331?2得：或 k??k??3?4k?3?0?224?????????????????又0??A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0 ∴OA?OB?x1x2?y1y2?0

00?k2?1?8k2??4?又y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4?

111222k?k?k?44423k2?k2?1??0，即k2?4 ∴?2?k?2 ∵

11k2?k2?443故由①、②得?2?k??33?k?2 或22题型九：轨迹问题

轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要

19

特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；

22x?y?1，动点M到圆C的切线长与MQ例1、已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为

的比等于常数?(??0)，求动点M的轨迹。

【解析】设MN切圆C于N，则MN22 N y M O Q x ?MO?ON。设M(x,y),则

2x2?y2?1??(x?2)2?y2 化简得(?2?1)(x2?y2)?4?2x?(1?4?2)?0

（1） 当??1时，方程为x?

5

，表示一条直线。 4

2?221?3?22（2） 当??1时，方程化为(x?2表示一个圆。 )?y?22??1(??1)

NO1O2?4. 过动点P分别作圆O2、PN（M，◎◎如图，圆O1与圆O2的半径都是1，圆O2的切线PM，分别为切点），使得PM?2PN. 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.

【解析】以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 O1(?2，0)，O2(2，0).

由已知PM?2PN，得PM2?2PN2. 因为两圆半径均为1，所以

2PO12?1?2(PO2?1).

y)，则 设P(x，(x?2)2?y2?1?2[(x?2)2?y2?1]，

即(x?6)2?y2?33.(或x2?y2?12x?3?0)

评析：

1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

20

4b1?k21622??8,b??2k.??16(1?2k),|AB|?(?32)kk2k21?k21646?|AB|?430,所以96?(2?32)?4. 2kk8因

0为

11解得直线l的斜率的取值范围是[?1,?]?[,1].

22题型九：对称问题

x2y2??1上存在两点A,B 关于l：y?4x?m对称，求m的取值范围 1、例：若椭圆23解法（1）设直线AB的方程为y??1x?n? 4?x2y2??1??2223由?消去y得25x?8nx?16n?48?0 ?y??1x?n?4?由题意知该方程有两个不等式跟 故??0即n?设A?x1，y1?,B?x2，y2?则x1?x2?225 88n 254n124n设AB中点M?x0，y0?则x0?，y0??x0?n?

2542524n16n25m??m ?n?又点M在直线y?4x?m上? 25258225?25m??x2,y2?解得?22?m?22 即???558?8?解法（2）：设A?x1，y1?,B?x2，y2?，AB中点M?x0，y0?

?KAB??y?y1111?? ?2?? Kl4x2?x1422??3x1?2y1?6又A,B在椭圆上，??2两式相减得 2??3x2?2y2?63?x1?x2??x1?x2??2?y1?y2??y1?y2??0即3?2x0?2?2y0也即y0?6x0y2?y1?0

x2?x1???1?

??,?中点M在l上 ?y0?4x0?m ???2?

由?1??2?求得??

?m?22，3m?又?必在椭圆内部 ?3x0?2y0?6 ?2?26

2222?m?2即3???2?3m??6解得? ?m?55?2?2、已知实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线y??3x是双曲线S的一条渐近线，

而且原点O，点A（a，0）和点B（0，-b）使等式|OA|?|OB|?（I）求双曲线S的方程；

（II）若双曲线S上存在两个点关于直线l:y?kx?4对称，求实数k的取值范围.

2224|OA|2·|OB|2成立. 3x2y2解：（I）根据题意设双曲线S的方程为2?2?1,

ab?b?3??a且?

4?a2?b2?a2b2?3?解方程组得a?1,b?3.

y2?1. ?所求双曲线的方程为x?32

解法一（设而不求法）：（II）当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线l:y?kx?4

当k?0时，设又曲线S上的两点M、N关于直线l对称，由l?MN, 直线MN的方程为y??1x?m, k则M、N两点的坐标满足方程组

1??y??x?m,2222消去y得(3k?1)x?2kmx?(m?3)k?0. k??3x2?y2?3.?显然3k2?1?0,???(2km)2?4(3k2?1)[?(m2?3)k2]?0. 即km3k?1?0. 设线段MN中点为D(x0,y0),

222?km?x?,02??3k?1则? 23km?y?.02?3k?1?27

?D(x0,y0)在直线l:y?kx?4上,

3k2m?k2m?2??4. 3k?13k2?122??km?3k?1??22.

2??km?3k?1?0即km?3k?1.

22?k2m2?mk2?0,解得m?0或m??1.

3k2?13k2?1??0或??1.

k2k211?k2?或k2?.

34即|k|?31或|k|?,且k?0. 323113)?(?,0)?(0,)?(,??) 3223?k的取值范围是(??,?解法二（点差法）：当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线l:y?kx?4 当k?0时，设M(x1,y1)N(x2,y2)且MN的中点P(x,y)则M、N在双曲线上，有

y12x??13 两式相减整理得

2y2x2?2?1321y1?y23(x1?x2)y?y21?又1??x1?x2y1?y2x1?x2k

x1?x2?2xy1?y2?2y

1所以y??3kx代入y?kx?4得P(?,3)又P在双曲线的内部，故k121231（?）?3?1或（?）?3?0解得|k|?或|k|?,且k?0.

32kk?k的取值范围是(??,?3113)?(?,0)?(0,)?(,??) 3223问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），

四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

28

x2y21、设椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原点，

ab（I）求椭圆E的方程；

????????（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB？若

存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

x2y2解:（1）因为椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点,

ab2?4?11222??2?1?a?8xy22??a8所以?2??1 所以?ab解得?椭圆E的方程为

??84?b?4?6?1?1?1?1???a2b2?b24????????（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB,?y?kx?m?设该圆的切线方程为y?kx?m解方程组?x2y2得x2?2(kx?m)2?8,即

?1??4?8(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0,

则△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,即8k?m?4?0

4km?x1?x2????1?2k2?2?xx?2m?812?1?2k2?22,

k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?1?2k21?2k21?2k222要使

????????2m2?8m2?8k2??0,所以3m2?8k2?8?0,所以,需使x1x2?y1yO?AO?20,即221?2k1?2k?m2?283m2?82626222k??0又8k?m?4?0,所以?2,所以m?,即m?或m??,因为

38333m?8?2直线y?k?xm圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为为

8m2m282622x?y???,r?,,所求的圆为,此时圆的切线r?r?2223m?831?k331?k1?8m2y?kx?m都满足m?262626或m??,而当切线的斜率不存在时切线为x??与椭圆33329

????????x2y226262626??1的两个交点为(,?)或(?,?)满足OA?OB,综上, 存在圆心在原点843333????????822的圆x?y?，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB.

34km?x?x??12??1?2k2因为?, 22m?8?xx?12?1?2k2?4km22m2?88(8k2?m2?4)所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?, )?4??22221?2k1?2k(1?2k)22|AB|?(x1?x2)??y1?y2?228(8k2?m2?4) ?(1?k)(x1?x2)?(1?k)22(1?2k)222324k4?5k2?132k2??4?[1?4], 2234k?4k?134k?4k?1①当k?0时|AB|?321[1?] 134k2?2?4k因为4k?21?4?8所以0?2k1132321?,所以?[1?]?12, 11833224k?2?44k?2?4kk所以426?|AB|?23当且仅当k??时取”=”. 32② 当k?0时,|AB|?46. 32626262646, ,?)或(?,?),所以此时|AB|?33333③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为(综上, |AB |的取值范围为

446?|AB|?23即: |AB|?[6,23] 33x2?y2?1有两个不同的交点P2、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆2和Q．（I）求k的取值范围；（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数

????????????k，使得向量OP?OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

30

x2解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y?kx?2，代入椭圆方程得?(kx?2)2?1．

2整理得??1??k2?x2?22kx?1?0①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于?2?，0解得k???1?22??8k2?42??k??4k???2???2??2． ?∞，??，?∞????????2??2??（Ⅱ）设

22或k?．即k的取值范围为22P(1，x，)1y，Q(2????????则OP?OQ?(x1?x，x，)y2y?y1)，由方程①，

x1?x2??42k． ② 21?2k????????????????又y1?y2?k(x1?x2)?22．③而A(2，，0)B(01，)，AB?(?21，)．所以OP?OQ与AB共线等价于

x1?x2??2(y1?y2)，将②③代入上式，解得k?题意的常数k．

222．由（Ⅰ）知k??或k?，故没有符合

222x2y2+=1的左、右焦点. （Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF3、设F1、F2分别是椭圆1?PF2的54最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 解：易知a?， 5,b?2,c?1,?F1?(?1,0),F2(1,0)，设P（x，y）

222x?4?则PF1?PF2?(?1?x,?y)?(1?x,?y)?x?y?1，

421x?1?x2?3 ?x?[?5,5]， 55?当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值3；

当x??5，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值4

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为y?k(x?5)

?x2y2?1??由方程组?5，得(5k2?4)x2?50k2x?125k2?20?0 4?y?k(x?5)?31

依题意??20(16?80k)?0，得?25555 当?时，设交点C(x1,y1)、D(x2,y2)，?k??k?5555x1?x250k225k2,x0??2CD的中点为R(x0,y0)，则x1?x2?

25k2?45k?425k2?20k?y0?k(x0?5)?k(2?5)?2.又|F2C|=|F2D|?F2R?l?k?kF2R??1

5k?45k?4?k?kF2R20k)220k222225k?4 ∴20k=20k－4，而20k=20k－4不成立， 所以不存?k????12225k4?20k1?25k?40?(?在直线l，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|

x2y24、椭圆G：2?2?1(a?b?0)的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四

ab点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为52.（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k≠0）

的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

3）、3解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 故该椭圆中a?2b?2c,即椭圆方程可为x2?2y2?2b2，H（x,y）为椭圆上一点，则

|HN|2?x2?(y?3)2??(y?3)2?2b2?18,其中?b?y?b，0?b?3，则y??b时,|HN|2有最

大

值

b2?6b?92，

b2?6b?9?50得b??3?52222（舍去），

x2y2??1 b?3,当y??3时,|HN|有最大值2b?18，2b?18?50得b?16∴所求椭圆方程为

3216?x12y12??1??3216（2）设E(x1,y1),F(x2,y2),Q(x0,y0)，则由? 两式相减得x0?2ky0?0……③

22?x2?y2?1??3216 又直线PQ⊥直线m ∴直线PQ方程为y?13x?将点Q（x0,y0）代入上式得，k313④ y0??x0?k332

22x0y0233??1， 由③④得Q（），Q点必在椭圆内部?k,?321633由此得k?24794949494故当k?(?,又k?0,???k?0或0?k?,0)?(0,)时，E、F两点

22222关于点P、Q的直线对称

3x2y2C:2?2?1(a?b?0)ab5、已知椭圆的离心率为3，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l2的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为2

（I）求a，b的值；

????????????（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立？若存在，求出所有的P

的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）设F?c,0?, 当l的斜率为1时，其方程为x?y?c?0,O到l的距离为

0?0?c2?c2 ，故

c2?2， c?1 ， 2 由 e?c3? ，得 a?3，b?a2?c2=2 a3（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立。 由 （Ⅰ）知椭圆C的方程为2x+3y=6. 设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ) 当l不垂直x轴时，设l的方程为y?k(x?1)

22???????????? 假设C上存在点P，且有OP?OA?OB成立，则P点的坐标为（， x1?x2,y1?y2）2(x1?x2)2?3(y1?y2)2?6，整理得 2x1?3y1?2x2?3y2?4x1x2?6y1y2?6

又A、B在C上，即2x1?3y1222222?6,2x2?3y2?6

22故 2x1x2?3y1y2?3?0 ①

将 y?k(x?1)代入2x?3y?6,并化简得

22(2?3k2)x2?6k2x?3k2?6?0 ②

33

6k23k2?6?4k22于是 x1?x2?, x1x2=, y1y2?k(x1?1)(x2?2)?

2?3k22?3k22?3k2 ，

2代入①解得，k?2，此时x1?x2?3 2于是y1?y2?k(x1?x2?2)=?因此， 当k??2时，P(,k3k， 即P(,?) 222322)， l的方程为2x?y?2?0； 2 当k?322时，P(,?)， l的方程为2x?y?2?0。

22（ⅱ）当l垂直于x轴时，由OA?OB?(2,0)知，C上不存在点P使OP?OA?OB成立。

综上，C上存在点P(,?322)使OP?OA?OB成立，此时l的方程为2x?y?2?0. 2x2y2C:2?2?1(a?b?0)x?2y?2?0ab6、已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶

点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线 （I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；

l:x?103分别交于M,N两点。

1 （Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得?TSB的面积为5？若存在，

确定点T的个数，若不存在，说明理由

（I）由已知得，椭圆C的左顶点为A(?2,0),上顶点为D(0,1),?a?2,b?1

x2?y2?1 故椭圆C的方程为4（Ⅱ）直线AS的斜率k显然存在，且k?0，故可设直线AS的方程为y?k(x?2)，从而M(1016k,) 33?y?k(x?2)?2222由?x2得(1?4k)x?16kx?16k?4?0 2??y?1?44k16k2?42?8k22?8k24ky?x?S(,),设S(x1,y1),则(?2),x1?得，从而 即111?4k21?4k21?4k21?4k21?4k2

34

110??y??(x?2)x???10116k1??4k3?N(,?)又B(2,0)，由?得?故|MN|? ?33k33k?x?10?y??1??33k ??又k?0,?|MN|?16k1116k116k18?，即k?时等号成立 ??2?? ，当且仅当33k433k33k3?k?18时，线段MN的长度取最小值 431 4（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN取最小值时，k? 此时BS的方程为x?y?2?0,s(,),?|BS|?645542 512，只须T到直线BS的距离等于，所以T在54 要使椭圆C上存在点T，使得?TSB的面积等于

平行于BS且与BS距离等于

2的直线l上。 435|t?2|2?,解得t??或t??

2242设直线l':x+y+t=0，则由227、已知双曲线x?y?2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．

?????????????????O为坐标原点）（I）若动点M满足FM，求点M的轨迹方程； ?F1A?F1B?FO11（其中

????????CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·

解：由条件知F1(?2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

?????????解法一：（I）设M(x，y)，则FM?(x?2，y)，F1A?(x1?2，y1)， 1?????????????????????????F1B?(x2?2，y2)，FO?(2，0)，由FM?F1A?F1B?FO111得 ?x?2?x1?x2?6，?x1?x2?x?4，即? ??y1?y2?y?y?y1?y2于是AB的中点坐标为??x?4y?，?． 22??yy?y2yy2(x1?x2)． 当AB不与x轴垂直时，1，即y1?y2???x?4x?8x1?x2?2x?8235

222又因为A，B两点在双曲线上，所以x1?y12?2，x2?y2?2，两式相减得

(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?4)?(y1?y2)y．

将y1?y2?y(x1?x2)代入上式，化简得(x?6)2?y2?4． x?8当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程． 所以点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4．

????????（II）假设在x轴上存在定点C(m，CB为常数． 0)，使CA?当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)． 代入x2?y2?2有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0．

4k24k2?2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2，x1x2?2，

k?1k?1????????于是CA?CB?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?2)(x2?2)

?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x2)?4k2?m2 (k2?1)(4k2?2)4k2(2k2?m)???4k2?m2 22k?1k?12(1?2m)k2?24?4m22??m?2(1?2m)??m． 22k?1k?1????????????????CB是与k无关的常数，所以4?4m?0，即m?1，此时CA?CB=?1． 因为CA?当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2，?2)，

????????此时CA?CB?(1，2)?(1，?2)??1．

????????CB为常数． 故在x轴上存在定点C(1，0)，使CA?

8、在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y?x相切于坐标原点

x2y2O．椭圆2??1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．

a9 (1)求圆C的方程；

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，

36

请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

m?n2=22 即m?n=4 ①

又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 ，m2+n2=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得??m??2故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8

?n?2，

x2y2+=1 (2)a=5，∴a=25，则椭圆的方程为

2592

其焦距c=25?9=4，右焦点为(4，0)，那么OF=4。

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。

124，y= 55412即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长。

55通过联立两圆的方程解得x=

x2y2?2?12b9、设椭圆E: a（a，b>0）过M（2，2） ，N(6，1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

????????（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB？若存

在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

x2y2解:（1）因为椭圆E: 2?2?1（a，b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点,

ab2?4?11??1????a2?8x2y2?a2b2?a28??1 所以?解得?所以?2椭圆E的方程为

611184b?4????1??222??4?ab?b????????（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB,?y?kx?m?22设该圆的切线方程为y?kx?m解方程组?x2y2得x?2(kx?m)?8,即

?1??4?8(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0,

37

则△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,即8k?m?4?0

224km?x?x??12??1?2k2, ?2?xx?2m?8?121?2k2?k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?221?2k1?2k1?2k222要使

????????2m2?8m2?8k2??0,所以3m2?8k2?8?0, ,需使x1x2?y1y2?0,即OA?O221?2k1?2k3m2?8?0又8k2?m2?4?0, 所以k?82?m2?282所以?2,所以m?,

3?3m?8即m?2626或m??, 33因为直线y?kx?m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r?m1?k2，

m2r??1?k22m2826?，， r?3m2?8331?82所求的圆为x?y?282626，此时圆的切线y?kx?m都满足m?或m??，而当切线的斜率不存333x2y22626262626??1的两个交点为(在时切线为x??与椭圆,?)或(?,?)满足8433333????????822OA?OB，综上，存在圆心在原点的圆x?y?，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点

3????????A,B,且OA?OB.

38

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