复变函数目标检测练习册-2010

练习一 复数及其代数运算、复数的几何表示

一、填空题 1．?1?i1?i?4＝ 2．1?i＝ Arg?1?i?= arg?1?i? 3.已知z=??1?3i??1?i?1?3i??1?i?，则z= argz= 4.将z=－cos?5 + isin?5表示成三角形式为 表示成指数形式为Argz= argz=

5.3－i的三角表示形式为 ，指数表示形式为

二．分别就0＜???与-?＜?＜-?2两种情形将复数z=1 - cos? + isin?化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。

三．利用复数表示圆的方程?a?0? a?x2

+y

2

?+ bx + cy + d = 0，其中a , b , c , d是实常数。

四．求下列方程所表示的曲线 ①?1?i?z + ?1—i?z = 1

②zz－?2?i?z－?2?i?z = 4

五．证明

⑴若z1 + z2 + z3 = 0且z1

=z2

=z3=z2

=1，则点z1 , z2 , z3为一内接单位圆的等边三角形的顶点。 =z3

=z4

，则点z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形的顶点，或者两两

⑵若z1 + z2 + z3 + z4 = 0且z1重合。

练习二 复数的乘幂与方根、区域 一、填空题 1．（1＋i）3＋（1－i）3＝ 2．3?1＝ 3．{z

1

是

4．0

??1?3i? ??3（2）

1（2＋i2） 2三、已知正方形的两个相对顶点为z1(0，－1)于z3(2，5)，求另外两个顶点z2于z4的坐标。 四、画出

z?3?1所表示的图形，并指出所表示的图形是否是区域，是否有界？ z?2五、已知x2+x+1=0，求x11+x7+x3的值。 六、求证：（1+cos?+isin?）n=2ncosn

?n?n?(cos+isin) 222练习三 复变函数、复变函数的极限和连续性

一、选择题

1．下列函数极限存在的是（ ） A．lim

z?0Re(z)zz?2z?z?2zz1zlim B. lim C. lim D. (－) 2z?0z?0z?0zzzz?12iz2．将Z平面上的曲线x2+y2=4映射成W平面上的曲线u2+v2=A．W=Z B.W=Z2 C.W=

1的映射函数f(z)为（ ） 41 D.W=Z Z3．复变函数W=Z2确定的两个实元函数为（ ）

A.u=x2+y2 v=2xy B.u=2xy v=x2-y2 C.u=x2 v=2xy D.u=x2+y2 v=2xy 4．两个实二元函数u=

5．在映射W=Z2之下，Z平面的双曲线x2－y2=4映射成W平面上的图形为（ ） A．直线u=4 B.圆u2+v2=4 C.直线v=4 D.双曲线uv=4

2

二、考虑f(z)=

zz+在z=0的极限 zzA．f(z)=z B.f(z)=e(cosy+isiny) C.f(z)=

x

z1 D.f(z)=

zz

三、函数W=

4.下面各式是柯西—黎曼方程的极坐标形式的是（ ）

1把下列z平面上的 曲线映射成W平面上怎样的曲线？ A．

?u?v?u?v= =- Z（1）y=x (2) x=1 (3) (x－1)2+y2=1 四、试讨论函数

??xyx2?y2f(z)=?z?0? 的连续性

??0z?0?练习四 解析函数的概念 函数解析的充要条件 一、选择题

1．下列命题正确的是（ ）

A．如果f(z)在z0连续，那么f'(z0)存在

B．如果f'(z0)存在，那么f(z)在z0解析

C．如果f(z)在z0解析，那么f'(z0)存在

D．如果z0是f(z)的奇点，那么f(z)在z0不可导 2．下列函数仅在z=0处可导的是（ ）

A. f(z)＝z2

B. f(z)=x+2yi C. f(z)=z2

3．下列函数在复平面内处处解析的是（ ）

f(z)=1z

?r?????rB.

?u1?v?r=?u1?vr?? ??=-r?r C.

?u1?v?v?r=r?? ?r=-1?ur?? D.

?u?r=r?v?? ?u?v??=-r?r 5．下列说法正确的是（ ）

A．如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)＋g(z)的一个奇点 B．如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)－g(z)的一个奇点 C．如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)g(z)的一个奇点 D．如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)/g(z)的一个奇点 二．设ay3

+bx2

y+i(x3

+pxy2

)为解析函数，试求a,b,p之值。

三．下列函数在何处可导，何处解析，并求可导处的导数 1．f(z)=

13232

z2?1 2.f(z)=zIm(z) 3.f(z)=(y-3xy)+i(x-3xy+1) 四．设f(z)=u+iv=?ei?为解析函数，证明：若函数u,v,?,?之一恒等于常数，则函数f(z)亦为常数。练习五 初等函数 一．填空题

1．i2-i

= (-1)

2 = 1i=

3

D.

2.e

1?i?2= e

ln(1-i)

= 3.lni= Lni= 4.sin(i+2i)= 二．解方程

1．sinz+1=0 z为复数 2．e z

=-1 z为复数

三．求22i

的主值及主值的辐角主值 四．当z=x+iy时，试证下列不等式

（1）sinz?12e?y?ey (2)tanz?ey?e?yey?e?y

练习六 复变函数积分的概念 柯西——古萨基本定理 复合闭路定理

一．填空题

1． 设C为正向圆周：z=3 则?dz=

cz?2?dz= dz= (n为大于cz?4?n1的正整数) c?z?2?2．

?dzcz(z?1)= 其中C为正向圆周：z＝2 3．

?zzdz＝ 其中C为正向圆周：z＝4 c4．

?dz＝ 其中C为正向圆周：zcz2?2z?4＝1 5．

?dzcz(z2?1)＝ 其中C为正向圆周：z?12 二．求?Rezdz和?Rezdz，其中?1和?2的起点和终点相同，都是0和1＋i，但路径不同，?1是连接这两点

?1?2的直线段，?2是经过z=1的折线段。

三．试求下列积分的值

?2z?1dz cz2?z（1）c={z z?14} (2)c={z z?112?4} (3)c={z z?1?14} (4)c={z z?2}

四．设0

R?Z(R?Z)Z沿圆周z?r（正向）的积分，并由此推证

2? 1?R2?r22?d0R2?2Rrcos??r2??1 练习七 原函数与不定积分 柯西积分公式 一．填空题

4

iz1．

?e 其中C为正向圆周：z?2

cz??dz＝21?i2．

?zezdz＝ 13．若fn(z)=(z-z1)(z-z2)…(z-zn)(zi?zj;i?j,i,j=1,…,n,n>1),又若封闭曲线C不通过每一点zi,则积分

?dzcf能取 个不同的值。 n(z)4．

?2z?1z?1z2?zdz＝ 25．

sinzdzz??i?3z?i＝

sinzdz＝ z?2??2z?i?ez二．求积分dz其中Ccz(z?2i)为正向圆周：z?3i?4

三．求函数z2?1z2?1沿正向圆周C：z?z0?1的积分值，设圆周C的圆心分别在：

（1）z10=1; (2) z0=2; (3) z0=-1; (4) z0=-i

四．设f(z)=3?2?2??1d? ???2??z(1)试证f(1)=4?i

(2)当z?2时，试求f(z)之值

练习八 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系 一．填空题

1．zezdz＝z??1)2 ?2(z2．

sinz2dz＝ z?zn?13．如果二元实变函数f(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数，并且满足 ，那么称f(x,y)为区域D内的调和函数。

4．区域D内的解析函数的虚部 （是，不是）实部的共轭调和函数，实部

（是，不是）虚部的共轭调和函数。

是不通过z)=?z4?z2二．设C0的简单闭曲线，试求g(z03的值。 c(z?z0)三．求积分

?sinz2dz的值，若C为正向圆周： cz(z?1)（1）z?12 （2）z?1?1112 （3）z?2?3

四．已知u?2(x?1)y为调和函数，求满足f(2)=-i的解析函数f(z)=u+iv 练习九 复数项级数 幂级数 一．选择题

1．下列数列极限不存在的是（ ）

5

n?n?A．?1?nii?n?i1?n?1?ni B.?n?(1?2) C.?n?e2 D.?n?2ine

2．下列结论正确的是（ ）

A．每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛 B．每一个幂级数收敛于一个解析函数

C．每一个在z0连续的函数一定可以在z0的领域内展开成幂级数 D．在收敛圆内，幂级数的和函数是解析函数 3．下列级数绝对收敛的是（ ）

?in?in?(6?5i)n?A．? B.?(?1)n1i? n?1n? C.n?2lnn? D.n?08n??n?1??n2n??4.下列级数收敛半径为

1e的是（ ） ????(1?i)nzn? B.?ei?nzn C.?(cosin)zn D.(z?1)nA．n?0?1n?0?

nn?1n5．lim?nn??=（ ）

A．0 B.? C.1 D.??1为0 ??1为? ??1为1 ??1 ??1时不存在二．下列级数是否收敛？是否绝对收敛？

?（1）?1?i2n?1? （2）n?(1?i?inn?1n?n）)nn?12n(1?i) （3?n?1n （4）?

22cosinn?1n???三．设级数

?Cn收敛，而

n发散，证明

Cnzn的收敛半径为1

n?0?Cn?0?n?0练习十 泰勒级数 洛朗级数

一．将函数f(z)=

zz2?2z?3展开成z的幂级数，写出它的收敛圆周。 二．求函数

1z2在点z0＝-1处的泰勒展开式，并指出它的收敛半径。 三．（1）求函数f(z)=

2z?1z2?z?2在以z＝0为中心，由它的奇点互相隔开的各个不同圆环域内的洛朗展开式。

（2）求函数f(z)=

1z2?z?2在以z＝1为中心的圆环域： ① 0?z?1?3 ②3?z?1???内的洛朗展开式。 练习十一 孤立奇点

一．选择题 1．Z＝0是函数

sinzz的（ ） A．可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.解析点

2．z＝1是f(z)=

z?2(z2?1)(z?1)3的（ ） A．可去奇点 B.三级极点 C.本性奇点 D.二级极点 3．z＝1是f(z)＝z3?1的（ ）

A．一级零点 B.三级零点 C.一级极点 D.三级极点

4．z＝0是函数f(z)=

1z?sinz的 级极点

A．一级 B.二级 C.三级 D.四级 5．?是f(z)=

zz?1的（ ） A．可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.二级极点

6

二．求出函数f(z)=

11?ez 的奇点，如果是极点，指出它的级。 三．函数f(z)=

z7在扩充复平面内有些什么类型的奇点？如果是极点，指出它的级。 (z2?4)2cos1z?2练习十二 留数 留数在定积分计算上的应用 一．填空题

11． 设f(z)=ez，则Res?f(z),0?=

2． Res??zez?z2?1,1??= ?3． Res??1??cos1?z,1??=

4． Res?2z???3?z2,???= 5． Res??z?sinz??z6,0??= 二．求函数f(z)=

z1在各有限孤立奇点处的留数。

ez(1?z2)三．利用留数计算

?dzz(z3?1)，其中C为一正向圆周

c（1）C的中心在0点，半径为

12 （2）C的中心在0点，半径为2

四．计算积分

?1cz(z?1)4(z?4)dz，C为正向圆周：z＝5 五．计算下列积分

2?????（1）

?d? （2）12dx （3）xsinxdx 04?sin???2?(1?x)??2?1?x六．如果f(z)在z?1解析，证明在z?1时等式

(1?z2)f(z)?12?if(?)(1?z???z)d?成立。 ???1练习十三 共形映射的概念 分式线性映射 一．填空题

1．设函数??f(z)在z0的领域内有定义，且在z0具有 ，那么称映射??f(z)在z0是共形的，或称??f(z)在z0是共形映射。

2．??z2在z=i处伸缩率为 ，旋转角为 。

3．一个解析函数所构成的映射在 条件下具有伸缩率和旋转角的不变性。 4．映射??z是第 类共形映射。

5．映射??z2把上半个圆域：z?R，Im(z)?0映射成 二．证明：映射??z?1z 把圆周z?c映射成椭圆： u?(c?1c)cos? v?(c?1c)sin?

三．如果函数??az?bcz?d将z平面上的单位圆z?1映射成?平面上的直线，试求a,b,c,d应满足的条件。

7

四．区域0?Im(z)?12在映射??1z下映射成什么？

练习十四 唯一决定分式线性映射的条件 几个初等函数所构成的映射 一．选择题

1．下面几个映射中，能将上半平面映射成上半平面的映射为（ ） A．W?az?bcz?d ad?bc?0,a,b,c,d为实常数

B．W?az?bcz?d ad?bc?0,a,b,c,d为实常数

C．W?ei?(z??z??)， ?,?为实数 D．W?ez

2．指数函数W?ez将水平的带形域0?Im(z)?a(a??)映射成（ ）

A．角形域0?argW?ea B.角形域0?argW?2?

C．角形域0?argW?a D.圆域W?ea

3．能将点z＝1,i,-i分别映射成点w＝1,0,-1的分式线性映射为（ ）

A．W?z?i(1z?i B.W??i)(z?i)(1?i)(z?i)

C.W?(1?i)(z?i)(1?z)?3i(1?z) D. W?(1?i)(z?i)(1?z)?i(1?z)

4.下面几个映射中，能将右半平面Re(z)?0映射成单位圆w?1的映射为（A．W?z2 B.W?ei?(z??z??) 其中Re(?)?0,?为任意实数 C．W?z D.W?ei?(z??z??) 其中Re(?)?0,?为任意实数 二．已知分式线性变换W?f(z)将上半平面变到上半平面，且满足f(0)=0,f(i)=1+i，求f(z)

三．求把区域z?i?2,z?i?2变到上半平面Im(W)?0的一个映射。

8

）

复变函数单元练习（一）

一、 判断题（正确打√，错误打?）

1.复数7?6i?1?3i. ( ) 2.若z为纯虚数，则z?z. ( ) 3.函数w?arg(z)在z??3处不连续。 （ ） 4.f(z)?u?iv在z0?x0?iy0点连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在

(x0,y0)点连续。 （ ）

5.参数方程z?t2?ti （t为实参数）所表示的曲线是抛物线y?x2. ( )

二、填空题

1.若等式i(5?7i)?(x?i)(y?i)成立，则x?______, y?_______. 2.方程Im(i?z)?3表示的曲线是__________________________. 3.方程z3?27?0的根为_________________________________. 4.复变函数w?z?2z?1的实部u(x,y)?_________,虚部v(x,y)?_________. 5.设z1?2i,z2?1?i，则Arg(z1z2)= _ _____. 6.复数z??12?2i的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________.

三、计算、证明题

1．求出复数z?(?1?i3)4的模和辐角。

2．设z?x?iy满足Re(z2?3)?4,求x与y的关系式。

3．求f(z) =

1z将z平面上的直线y?1所映射成w平面上的曲线方程。

4．求角形域0?arg(z)??/3在映射w?z下的象。

5．将直线方程2x?3y?1化为复数形式。

9

复变函数单元练习（二）

一、 判断题（正确打√，错误打?） 1.若f?(z)在区域D内处处为零，则f(z)在D内必恒为常数。 （ ）

2.若u(x,y)和v(x,y)可导，则f(z)?u?iv也可导。 （ ）

3.若f(z)在z0点不解析，则f(z)在z0点必不可导。 （ ）

4. sinz?1. （ ）

5.函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0可微等价于u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)可微。（ ）

6.函数ez是周期函数。 （ ）

二、填空题

1.设ez??3?4i , 则Re(iz)?_________________ 2. 3i?_____________________________. 3. (1?i)i?________________________. 4. cos(2i)?________________________. 5.方程eiz?e?iz的解为z?________________. 6.设z?x?iy, 则ei?2z的模为________________.

7.函数f(z)?u?iv在z0?x0?iy0点连续是f(z)在该点解析的_________条件。

三、计算、证明题

1．问k取何值时, f(z)?kln(x2?y2)?iarctanyx在域x?0内是解析函数。

2．讨论函数f(z)?(x?y)2?2(x?y)i在何处可导，何处解析，并求其可导点处的导数。

3．若函数f(z)?u?iv解析,且u?v2,求证f(z)为一个常数。

4．若函数f(z)?u?iv解析,且u?v?(x?y)(x2?4xy?y2)，试求u(x,y)和v(x,y).

5．求方程chz?0的全部解。

10

复变函数单元练习（三）

一、 判断题（正确打√，错误打?）

1.设C为f(z)的解析域D内的一条简单正向闭曲线,则?Cf(z)dz?0 . （ ）

2.若u,v都是调和函数，则f(z)?u?iv是解析函数。 （ ）

3.设f(z)在单连通区域D内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，C为D内的一条正向闭曲线，则?CF(n)(z)dz?0. ( )

4.设v?v(x,y)是区域D内的调和函数，则函数f(z)?v?y?iv?x在D内解析。 ( )

?2u?25.若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内解析，则函数?x?y?u?y?x. ( ) 二、填空题

1.设C为从点z1??i到点z2?0的直线段，则?Czdz?_______.

2.若C为正向圆周z?2，则?1Czdz?________.

3.若C为正向圆周z?1，则?C?ln(z?2)?(z2?1)cos(z5?1)?dz?________.

4.若函数f(x,y)?epxsiny为区域D内的调和函数，则p?_____.

5.若f(?)?2z2?z?1dz，??2，则f(3?5i)?_____,f(1)?____z??2z??.f?(1)?____. 三、计算、证明题

1．设点A，B分别为z21?i和z2?1?i，试计算?Czdz的值，其中C为

（1） 点z?0到点z2的直线段；（2）由点z?0沿直线到z1再到z2的折线段OAB.

2．设C为从-2到2的上半圆周，计算积分?2z?3Czdz的值。

3．计算?i0coszdz

4．计算?2z?1?2iC(z?1)(z?2i)dz，其中C为正向圆周z?3.

5．计算积分1ez2?i?Cz(1?z)3dz，(1)当点0在C内，点1在C外；(2)当点1在C内，点0在C外；(3)当点0，1均在C内；(4)当点0，1均在C外。

6．证明u(x,y)?y3?3x2y为调和函数，再求其共轭函数v(x,y)，并写出f(z)?u?iv 关于z的表示式。

11

复变函数单元练习（四）

一、判断题（正确打√，错误打?）

1.数列zn?(?1)nin?n必收敛。 （ ）

?2.设zn?xn?iyn，则级数?zn收敛的充要条件是级数???xn与n?0?yn都收敛。（n?0n?03.每个幂级数必在其收敛圆上收敛。 （ ） ?4.若幂级数?an(z?1)n在z?i点收敛则它必在z??i点收敛。（ ）

n?1?5.若幂级数?anzn在z?2i处收敛，则它必在z??1处收敛。 （ ）

n?1二、填空题

1. 设???anannz的收敛域为z?R，则幂级数?(z?1)n的收敛域为______. n?1n?1n?2.幂级数?n(z?i)n的收敛圆的中心为______,收敛半径为_______. n?12n3.函数f(z)?tanz在z0??4处所展泰勒级数的收敛半径为_______.

??4.设f(z)?coszz2(z?i)的罗朗级数展开式为n?cn(z?i)n，则其收敛圆环域为

???(A) 1?z?i???； (B) 0?z?1或1?z???； (C) 0?z?i?1或1?z?i???； (D) 0?z?i?1 .

三、计算、证明题

1．将函数f(z)??zez20dz在z0?0处展开成泰勒级数，并指出其收敛半径。

2．将f(z)?1z(1?z)2分别在下列圆环域内展成罗朗级数

(1) 0?z?1

(2) 1?z?1???.

3．将f(z)?1z2(z?2)3在圆环域0?z?2?1内展开成罗朗级数。

12

）

复变函数单元练习（五）

一、判断题（正确打√，错误打?）

1. z?0必为f(z)?zsin1z的可去奇点。 ( )

2.若f(z)?(z?z0)mg(z)，且g(z)在z0点解析，则z0必是f(z)的m极零点。( ) 3.若z0是f(z)的m级(m>1)极点，则z0必为f?(z)的m+1级极点。 ( ) 4. zz0=0是

tanz的可去奇点。 （ ） ?5.已知1(z?1)(z?2)??(?1)n(z?2)?n?2在1?z?2???内成立，由式中c?1?0知，

n?0Res??1?(z?1)(z?2),2????0. （ ）

二、选择、填空题

11. z0?1为函数(z?1)2ez?1的______.

(A) 二级零点； （B） 一级极点； (C) 可去奇点； (D) 本性奇点。 2. z0??1是f(z)?ln(1?z)的______.

(A) 非孤立奇点；（B）一级极点； (C) 可去奇点； (D)本性奇点。

3. zcosz0=0为函数z2sinz的____级极点。

4. Res??z?(z?2i)2,?2i????________. 5．?2z?1sindz?______.

3z三、计算、证明题

1．判别下列函数的孤立奇点的类型，对其极点，指出其级数：

（1） f(z)?tanz

（2）g(z)?ezz2(ez?1)

2．求下列函数在有限孤立奇点处的留数：

（1）f(z)?1?coszz2

（2）f(z)?z?1z2?2z

）f(z)?1?e2z（3z4

4）f(z)?1?z4（(z2?1)3

3（5）f(z)?zez

13

复变试卷

一、判断题（正确打√，错误打?.）

1.复函数W?f(z)表示平面上的一条曲线。 （ ） 2.函数f(z)在区域D内处处可导,是f(z)在D内解析的充要条件。 （ ） 3.若f(z)在区域D内解析, 则f(n)(z)在

D内处处连续。 （ ）

4.设f(z)与g(z)在D内处处解析，C为D内的任意一条正向简单闭曲线且它的内部全含于D，

如果f(z)?g(z)在C上处处成立，则在D内必有f(z)?g(z)处处 成立。( )

5. z?0sinz必为z的一级极点。 （ ）

6.若f(z),g(z)是解析函数，且f(z0)?g(z0)?0,g?(z)?0，则

limf(z)z?z?f?(z0)0g(z)g?(z . （ ） 0)7.*?ezsin3z2)3dz?dz . ( z?1(z?5z?6z?2?5) ?2z?8.函数f(z)?ez在z(z?2i)n0?2i处所展成的泰勒级数为?n?0n!.（ ）

?19. Res?ez??,0??e （ ） ??1?z???二、填空题

1.若等式

x?iy?a?ib，（其中a,b,x,y均为实数）则a2?b2x?iy?______. 2.设f(z)?(1?z)e?z，则f?(z)?_________________. 13. ii?_____________.

4.函数w?1z将z平面上的直线x?c（c?0）映射到w平面上的曲线方程为_______________. ?5.幂级数?zn的收敛半径为_______.

n?0n!6.

?sin1z?11zdz?_______. ?27.* Ln(1?3i)?_______________.

8.* Res?1?cosz??z2,0????_______.

三、计算、证明题

1．设f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)在复平面处处解析，求实常数a,b,c,d的值

2.设C为z?(1?i)?2的正向, 求?dzC(z?1)2(z2?1).

3.求方程eiz?1?0的全部解。

4.将函数f(z)?1z2(z?1)2分别在圆环域0?z?1和1?z???内展成罗伦级数。

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