根据张宇高数视频总结的考研数学知识点

y ( x y ) ln(1 ) x dxdy， 计算二重积分I 1 x y D 其中D ( x, y ) | x y 1，x 0，y 0 .

区域D的图形知，可用极坐标计算该二重积分。 解法1：由

x r cos 2 令 ，其中0 r 1， . 0 2 2 y r sin x x cos 2 2r cos sin r 由于J (r , ) 2 y y sin 2r sin cos r 2r sin cos r sin 2 .

r ln(1 tan ) 原式= 2 J (r , )drd 0 0 1 r

1 2

2 0

r ln(1 tan ) r sin 2 drd 0 1 r

1 2 2 1 0

ln(1 tan ) sin 2 d

2 0

r dr. 1 r

2

于是分别只需计算

2 0

ln(1 tan ) sin 2 d 和

2

1

0

r dr即可. 1 r

2

2 0

ln(1 tan ) sin 2 d

2

2

2 0

1 ln sin cos d 2 cos

0

4 2 ln cos sin cos d

4 ln cos cos d (cos )

2 0

令t cos

=4 lnt 2 ln td (t ) tdt

2 1 1 1 1 2t ln t| 2 t dt 2 tdt 1 1 1 0 t 2 0 0 2

0

0

r 令t 1 r dr 0 1 r 则r 1 t 2 ,dr 2tdt 0 (1 t 2 ) 2 2 tdt 1 t

1

2

2 (t 2t 1)dt

4 2 0 1 1 5 2 3 2( t t t )|0 5 3 8 16 2 . 15 15

1

16 16 综上所述，原式=1 = . 15 15

解法2：首先由于x与y具有轮换对称性，故有 x y ( y x) ln(1 ) ( x y ) ln(1 ) y x dxdy I = 1 y x dydx 1 x y D D x y ( x y ) ln(1 ) ( x y ) ln(1 ) y x dxdy 2 I 1 x y dxdy 1 x y D D y x ( x y )[ln(1 ) ln(1 )] x y dxdy 1 x y D

( x y) ( x y ) ln xy dxdy 1 x y D

2

( x y ) ln( x y ) ( x y ) ln x 2 dxdy 2 dxdy 1 x y 1 x y D D 于是I = dx

0 令x y u 视x为常数 1 1 x 0 1 1 x ( x y ) ln( x y ) x y dy ln xdx 0 0 1 x y 1 x y 1 1 1 1 u ln u u du ln xdx du 0 x 1 u 1 u

得I = dx

0

x

变换积分次序，得： 1 u u ln u 1 u u I du dx du ln xdx 0 0 0 0 1 u 1 u 2 1 u ln u 1 u u du du ln xdx 0 0 0 1 u 1 u 2 1 u ln u 1 u du (u ln u u )du 0 0 1 u 1 u 2 1 u 16 du . 0 15 1 u

x2 2 求不定积分 2 dx 2 ( x x 1) ( x 2 x 1) ( x 1) ( x 2 x 1) x 1 解：原式 dx 2 dx 2 dx 2 2 2 2 ( x x 1) ( x x 1) ( x x 1) 1 3 (2 x 1) 1 2 dx 2 dx 2 2 ( x x 1) ( x x 1) 2 1 1 (2 x 1) 3 1 2 dx 2 dx

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