无穷积分的性质(北工大)

一.无穷积分与级数

a

f ( x )dx, a

b

f ( x )dx,

f ( x )dx.

b f ( x )dx, f ( x )dx 的敛散性都可归结为

形如

f ( x )dx

的无穷积分. a

dx x

1 n 1 n

1 1

收敛 发散

收敛 发散

定理1 无穷积分 a

f ( x )dx 收敛

对任意数列 An , n N , 有 An [a , ),lim 而 A1 a, n An ,k 1

级数

Ak 1 Ak

f ( x )dx

收敛于同一数，且

a

f ( x )dx k 1

Ak 1 Ak

f ( x )dx.

证明

必要性 已知无穷积分收敛，即

a

f ( x )dx lim n Ak 1 Ak

An 1 n a

f ( x )dx Ak 1 Ak

lim n k 1

f ( x )dx k 1

f ( x )dx.

充分性 已知对任意数列 An , 而 A1 a ,n

lim An

时， 级数 k 1

Ak 1 Ak

f ( x )dx

收敛

于同一个数， 即它的部分和数列 n Ak 1 A f ( x )dx k 1 k

或

An 1

a

f ( x )dx

收敛于同一个数。由海涅极限定理，无穷 积分 a

f ( x )dx 收敛， 且An 1 n a

a

f ( x )dx lim

f ( x )dx

k 1p a

Ak 1 Ak

f ( x )dx. a

令 F ( p) f ( x )dx, 证明 lim 已证 n F ( An 1 ) lim An 1 n a

f ( x )dx

收敛, 即证极限 plim F ( p) 存在. f ( x )dx 收敛.

二、无穷积分的性质定理2(柯西收敛准则)

无穷积分

f ( x )dx 收敛

a

0, A a, p1 A 与 p2 A,有

p2 p1

f ( x )dx . a

推论1 若无穷积分 lim p p

f ( x )dx 收敛，则

f ( x )dx 0.

推论2

若无穷积分

a

f ( x )dx 收敛，

则无穷积分

a

f ( x )dx 也收敛。 a

推论3 无穷积分

f ( x )dx 收敛， b

b a , 无穷积分 无穷积分的运算定理 定理3 若无穷积分 积分

f ( x )dx 也收敛。

a

f ( x )dx 收敛,则无穷

cf ( x )dx 也收敛,其中 a

c

是常数,

且 定理4

cf ( x )dx a

c

a

f ( x )dx. g( x )dx a

若无穷积分

a

f ( x )dx 与

都收敛，则无穷积分

a

[ f ( x ) g( x )]dx

a

f ( x )dx

a

g( x )dx.

定理5 (无穷积分的分步积分公式)若函数f(x)与g(x)在区间 a , 存在 连续导数，极限 xlim f ( x ) g( x ) 存在，且 无穷积分

f ( x) g( x)dx' a '

a

收敛， 则

无穷积分

f ( x ) g ( x )dx 也收敛，有 a a

a

f ( x )dg( x ) f ( x ) g( x )

f ' ( x ) g( x )dx.

定理6 (无穷积分的换元公

式) 若函数f(x)在区间 a , 连续，无穷积分

a

f ( x )dx 收敛，且函数 x (t )

在 , 严格增加，存在连续导数，而

( ) a , ( 0) , 则

a

f ( x )dx f [ ( t )] ' ( t )dt .

例1 求无穷积分 K 解 由定理5 ,有K x e 0 x

x e 0

sin xdx.

sin xdx 0

x e d ( cos x ) 0

e

cos x

0

e

x

cos xdx

x 1 0 e d (sin x ) x x 1 (e sin x 0 e 0

sin xdx)

1 K.

有 2K 1 或K 0

1 K , 2

,即

e

x

1 sin xdx . 2

例2 求无穷积分 K 2 例3 判断无穷积分 1

1 1 sin dx . 2 x x

sin x dx 的是否收敛. 2 1 x

练习 1 求下列积分.1 1

(1)

xe dx;

x

( 2)

0

dx e

, x

1 ( 3) arctan xdx; 3 x 1 (4) 2 ln xdx. 3 x

三、无穷积分的敛散性判别法定理7 设 x a , , 有 a

f ( x ) c ( x ),

c是正常数。 1.若无穷积分 ( x )dx 收敛，则无穷积分 a

f ( x )dx 也收敛; a

2.若无穷积分 a

f ( x )dx 发散，则无穷积分

( x )dx 也发散.

证明 1)根据定理2, 0, A a, P1 A与P2 A, 有

aP2 P1

P2

P1

( x )dx .P2

由不等式 f ( x ) c ( x ), 有f ( x ) dx C ( x )dx C ,P1

即无穷积分

a

f ( x )dx 收敛. 则无穷积分

f ( x )dx 也收敛.

2)用反证法，根据1)可以得到矛盾。

例4 判别无穷积分

e

x2 0

dx 的敛散性.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0ub4.html