2017年中考数学专题训练 压轴题含详解 精品

中考数学压轴题

1．如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形

ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速

平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动．．．．．的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.

5① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

2② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）y??x2?4x

（2）①点P不在直线ME上；

②依题意可知：P（t,t），N（t，?t?4t）

当0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：

2S?S?PCD?S?PNC

112=1CD?OD+1PN?BC=?3?2+?t2?4t?t?2=?t?3t?3

2222??=?(t?)?32221 43321，且0＜t＜＜3时，S最大= 224∵抛物线的开口方向：向下，∴当t=

当t?3或0时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形 依题意可得，S?11S矩形ABCD=?2?3=3 2221． 4综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值

22．已知二次函数y?ax?bx?c的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．

(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；

(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设

1

运动时间为t秒．

①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；

②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．

解：（1）∵二次函数y?ax2?bx?c的图象经过点C(0，-3)，∴c =-3．

将点A(3，0)，B(2，-3)代入y?ax2?bx?c得

??0?9a?3b?3，?4a?2b?3.解得：a=1，b=-2．∴y?x2?2??3x?3． 配方得：y?（x?1）2?4，所以对称轴为x=1．

(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t． ∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA．

过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E． 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．

即QE=AD=1．又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1． 解得t=5．即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形． ②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．

∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1． 又∵BP=OQ，∴PF=QG．又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ． ∴MF=MG．∴点M为FG的中点，∴S=S四边形ABPQ-S?BPN，

=S四边形ABFG-S?BPN．由S19四边形ABFG?2(BF?AG)FG=2．

S?BPN?12BP?12FG?39340t．∴S=2?40t．又BC=2，OA=3，

∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒． ∴0

2

3．如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求： （1）C的坐标为 ▲ ； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式； 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。

解：（1）Ｃ（４，１）；

（2）当∠MDR＝45０

时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）

当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0） （3）Ｓ＝－

12ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝1２

2ｔ－２ｔ（ｔ＞４） 1339当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝4，Ｓ＝32

99当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝2，Ｓ＝8

111当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝3，Ｓ＝18

3

4．如图11，在平面直角坐标系中，二次函数y?x2?bx?c的图象与x轴交于A、B两点，

A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

//解：（1）将B、C两点的坐标代入得??3b?c?0?b??2解得：?

?c??3?c??3所以二次函数的表达式为：y?x2?2x?3

2（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，x?2x?3），

///PP交CO于E，若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．

/3连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC=2∴y=?3．

22∴x?2x?3=?3

2解得x1=

2?102?10，x2=（不合题意，舍去） 222?10，?3） 22∴P点的坐标为（

2（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x?2x?3），

4

易得，直线BC的解析式为y?x?3，则Q点的坐标为（x，x－3）.

S四边形ABPC?S?ABC?S?BPQ?S?CPQ??111AB?OC?QP?OE?QP?EB 22211?4?3?(?x2?3x)?3 2223?3?75=??x???

2?2?8当x?

3

时，四边形ABPC的面积最大 2

此时P点的坐标为?,?面积的最大值为

?3?215??，四边形ABPC的 4?75． 85．如图，直线y = -x-1与抛物线y=ax+bx-4都经过点A(-1, 0)、B(3, -4)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度

的最大值；

（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为

直角边的直角三角形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．

解：（1）由题知??a?b?4?0，解得a=1, b= -3 ，

9a?3b?4??4?2

2

∴抛物线解析式为y=x-3x-4

2

（2）设点P坐标(m, -m-1)，则E点坐标(m, m-3m-4)

222

∴线段PE的长度为：-m-1- (m-3m-4)= -m+2m+3 = -(m-1)+4

∴由二次函数性质知当m=1时，函数有最大值4，所以线段PE长度的最大值为4。 （3）由（2）知P(1, -2)

①过P作PC的垂线与x轴交于F，与抛物线交于Q，

设AC与y轴交于G，则G(0, -1)，OG=1，又可知A(-1, 0) 则OA=1，∴△OAG是等腰直

o

角三角形，∴∠OAG=45

∴△PAF是等腰直角三角形，由对称性知F(3, 0) 设直线PF的解析式为y=k1x+b1，则

?3k1?b1?0，解之得k1=1, b1= -3，∴直线PF为y=x-3 ?k?b??2?11

5

由???x1?2?5??x2?2?5解得 ??2y?x?3x?4???y1?5?1??y2??5?1?y?x?3∴Q1(2+5, 5-1) Q2(2-5, -5-1)

②过点C作PC的垂线与x轴交于H，与抛物线交点为Q，由∠HAC=45，知△ACH是等腰直角三角形，由对称性知H坐标为(7, 0)，设直线CH的解析式为y=k2x+b2，则

?7k2?b2?0，解之得k2=1, b2= -7，∴直线CH的解析式为y=x-7 ?3k?b??42?2o

解方程组??y?x?72?y?x?3x?4得??x1?1?x?3 ?2 y??6y??4?1?2当Q(3, -4)时，Q与C重合，△PQC不存在，所以Q点坐标为(1, -6)

综上所述在抛物线上存在点Q1(2+5, 5-1)、Q2(2-5, -5-1)、Q3(1, -6)使得△PCQ是以PC为直角边的直角三角形。

6．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是?AB上任

一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分

别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C． （1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC的面积为S，若

S＝43，求△ABC的周长. DE2

解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．

6

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝

11OP＝，AF＝BF． 2231在Rt△OAF中，∵AF＝OA2?OF2＝12?()2＝，∴AB＝2AF＝3．

22（2）∠ACB是定值.

理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，

因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，

因为∠DAE＋∠DBA＝

1∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°； 2（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴S?S?ABD?S?ACD?S?BCD

＝

11111AB?DE＋BC?DH＋AC?DG＝(AB＋BC＋AC) ?DE＝l?DE． 222221lDES2∵＝43，∴＝43，∴l＝83DE. DE2DE2∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∴在Rt△CGD中，CG＝

1∠ACB＝30°， 2DEDG＝＝3DE，∴CH＝CG＝3DE．

tan3033又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，

1∴l＝AB＋BC＋AC＝23＋23DE＝83DE，解得DE＝，

3∴△ABC的周长为83． 37． 如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线y?3x交于点C．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；

l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）． （1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式；

（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形

为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7

解：（1）C（4，43），t的取值范围是：0≤t≤4

（2）∵D点的坐标是（t，?3t?83），E的坐标是（t，3t）

∴DE=?3t?83-3t=83?23t ∴等边△DEF的DE边上的高为：12?3t ∴当点F在BO边上时：12?3t=t，∴t=3

① 当0≤t<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：83?23t-233t S=

t2(83?23t?83?23t?233t) =

t2(163?1433t)=?733t2?83t 当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形 S=

12(83?23t)(12?3t) =33t2?243t?483 （3）存在，P（

247，0） … 说明：∵FO≥43，FP≥43，OP≤4

∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP, 若FO=FP时，t=2（12-3t），t=247，∴P（247，0）

8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =

14x2+1， 点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物 线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点

P(t，0)在x轴上.

(1) 写出点M的坐标；

(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

8

② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.

解：(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，

∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴ A，

（第24题）

B的横坐标分别是2和– 2，

代入y =

12x+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，∴M (0，42)， (2) ① 过点Q作QH ? x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，

yx?t?, 即： t = x – 2y , 241212 ∵ Q(x,y) 在y = x+1上， ∴ t = –x+ x –2，

42由△HQP∽△OMC，得：

当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1?5， 当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ? 2 ∴x的取值范围是x ? 1?5, 且x?? 2的所有实数. ② 分两种情况讨论：

1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上，∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ， ∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(∴t = –

12x+1)，解得x = 0 ， 4120+ 0 –2 = –2 21PQ， 22）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，∵CM∥PQ，CM = ∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即当x = –23时，得t = –

12x+1=2?2，解得： x = ?23. 41(23)2–23–2 = –8 –23, ， 2当x =23时， 得t =23–8.

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