随机信号习题答案

随 机 信 号 分 析 习 题 参 考 答 案

北京工业大学 电控学院

2008.12.9

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第一章 随机信号基础

1.2 设连续随机变量X的概率分布函数为： 求： 解：

F(x)?00.5?Asin[1x?0?2(x?1)]0?x?2x?2（1） 系数A （2）X取值在（0.5 ，1）内的概率P(0.5?x?1) （3） 求X的概率密度函数

（1） 因为X为连续随机变量，所以其分布函数处处连续。

即 limF(x)?F(0)

x?0有：lim{0.5?Asin[x?0?2(x?1)]}?0 解得：A?12

（2） 根据分布函数的性质：P(x1?x?x2)?F(x2)?F(x1)

P(0.5?x?1)?F(1)?F(0.5)?0.5?[0.5?0.5*22]?24

（3） 因为fX(x)?dFX(x)dx

当0?x?2时， fX(x)?dFX(x)dx(x?1)dFX(x)dx?12cos?2(x?1)*?2??4cos?2(x?1)

其他 fX(x)??0

?4fX(x)?0cos?20?x?2

else

1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度 。

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如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件： （I）F(x)是x的单调非减函数

（II）F(x)是非负函数，且满足：0?F(x)?1 （III）F(x)处处连续

1?e?x2x?0（1）F(x)?

0x?0可证明F(x)满足以上三个条件，可知F(x)是一个概率分布函数。1?x2e2x?0

f'X(x)?F(x)?

0x?0

0x?0（2）F(x)?Ax20?x?1 1x?0经过计算可知当A?1时为分布函数。

0x?0则此时 F(x)?x20?x?1 1x?00elsef(x)?F'(x)?

2x0?x?1（3） F(x)?xa[u(x)?u(x?a)]a?0

xa0?x?a上式等价于： F(x)?

0else第 3 页 共 18 页

解：

因为在x?a点，F(a)?1 limF(x)?0 此函数在此点不连续。

x?0?所以该函数不是分布函数。

10?x?11.5 设随机变量X的概率密度为：fX(x)?0else

求：Y?5X?1的概率密度。 解：

因为 Y?5X?1 所以 X?1515Y?150??h(Y)

y?15?1?1?y?6则：fY(y)?fX((h(y))?0else

1.7 设随机变量X的数学期望和方差分别为m和?，求随机变量Y??3X?2的数学期望和方差及X和

Y的相关矩。 解：

E[Y]?E[?3X?2]??3E[X]?2??3m?2 D[Y]?D[?3X?2]?9D[X]?9? RXY?E[XY]?E[X(?3X?2)]?E[?3X2222?2X]??3E[X]?2E[X]??3(D[X]?E[X])?2E[X] ??3??3m?2m

1.11 随机变量X、Y的联合概率密度为：

fXY(x,y)?Asin(x?y)0?x,y??2

2X求：（1）系数A （2）数学期望mX,mY （3）方差?（4）相关矩RXY及相关系数rXY

和?Y

2第 4 页 共 18 页

解：（1）

??????????20Asin(x?y)dxdy???20Asin(x?y)dxdy?2A

有二位概率密度性质可知：????fXY(x?y)dxdy?1 所以可得A?1

????2）f??（2X(x)????fXY(x,y)dy??20sin(x?y)dy?12(sinx?cosx)

mX?????xfX(x)dx?

??2x*11?202(sinx?cosx)dx?2?0xd(sinx?cosx)??4同理：f?Y(y)?? 有 ??fXY(x,y)dx?12(siny?cosy) mY??4（3）因为?2?E[X2]?E2X[X]

可求

E[X2]???2???xfX(x)dx????x212(cosx?sinx)dx??28??

2?2 ?222X?E[X]?E[X]??216??2?2

同理可得：?22]?E2Y?E[Y[Y]??216??2?2

R?E[XY]????XY?????xyfXY(x,y)dxdy（4）

????2?2100xy*2sin(x?y)dxdy?? 2?1C2XY?RXY?mXmY??2?1?(?4)

??(?22rXY?CXY2?14)?????8??162X??Y?216??2?2??8??32??0.245

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第二章 随机过程

2.1随机过程 X(t)?Acos(?t)?Bsin(?t)，其中其中?为常数，A、B为互相独立的高斯变量，

222E[A]?E[B]?0，E[A]?E[B]??。求X(t)的数学期望和自相关函数。

解：

E[X(t)]?E[Acos(?t)?Bsin(?t)]?cos(?t)E[A]?sin(?t)E[B]?0

RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)]?E[(Acos?t1?Bsin?t1)(Acos?t2?Bsin?t2)]

?E[Acos?t1cos?t2?ABsin?t1cos?t2?ABcos?t1sin?t2?Bsin?t1sin?t2]?cos?t1cos?t2E[A]?sin?t1cos?t2E[AB]sin?t1cos?t2?cos?t1sin?t2E[AB]?sin?t1sin?t2E[B]2222

因为 A、B为互相独立的高斯变量 所以E[AB]?E[A]E[B]?0 代入上式

R(t,t)?cos?tcos?t?X12122?sin?tsin?t?1222?(cos?tcos?t?sin?tsin?t)?1212??2[cos?(t1?t)]2

2.4 判断随机过程X(t)?Acos(?t??)是否平稳？其中?为常数，?、A分别是均匀分布和瑞利分布的随机变量，且互相独立

f?(?)?12?0???2? fA(a)?ae?a/2?22?2a?0

解： （1）

E[A]?2??0a??a?2e2-a/2?22da?/2?2?2?2E[A]??0a?a?e2-a2da?2?E[X(t)]?E[Acos(?t??)]?E[A]E[cos(?t??)]??2?a?a2/2?2 ??a2eda*?cos(?t??)d??00?0所以，均值为常数。 （2）

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RX(t,t??)?E[(Acos(?t??))(Acos(?t?????))]???121212E[Acos(2?t????2?)?Acos??]E[A]E[cos(2?t????2?)]?E[A]cos???222212E[A]cos??2

12cos??*2?2?RX(?)（3）

E[X(t)]?E[Acos(?t??)]?E[A?12E[A]?222221?cos2(?t??)122E[A]??22]12

??E[A]E[cos2(?t??)]?2或

E[X(t)]?RX(0)??22??

所以X(t)?Acos(?t??)是平稳随机过程。

2.5 证明不相关的两个任意分布的随机变量A、B构成的随机过程

X(t)?Acos(?0t)?Bsin(?0t)

是宽平稳的而不一定是严平稳的。其中?0为常数，A、B的数学期望为0，方差?2相同。 证明：首先证明X(t)是宽平稳的。

（1）E[X(t)]?E[Acos(?0t)?Bsin(?0t)]?E[A]E[cos(?0t)]?E[B]E[sin(?0t)]?0

均值为常数。

（2）

RX(t,t??)?E[{Acos(?0t)?Bsin(?0t)}{Acos(?0(t??))?Bsin(?0(t??))}]?E[Acos(?0t)cos(?0(t??))?ABsin(?0t)cos(?0(t??))?ABcos(?0t)sin(?0(t??))?Bsin(?0t)sin(?0(t??))]?cos(?0t)cos(?0(t??))E[A]?sin(?0t)cos(?0(t??))E[AB]?cos(?0t)sin(?0(t??))E[AB]?sin(?0t)sin(?0(t??))E[B]?cos(?0t)cos(?0(t??))E[A]?sin(?0t)sin(?0(t??))E[B]?cos(?0t)cos(?0(t??))?222222222

?sin(?0t)sin(?0(t??))?2??[cos(?0t)cos(?0(t??))?sin(?0t)sin(?0(t??))]??cos[?0(t??)??0t]??2cos(?0?)第 7 页 共 18 页

自相关函数只与时间间隔有关，而与起点无关。

（3）

E[X(t)]?RX(0)??22??

均方值有界。

所以X(t)是宽平稳的。

可以证明E[X3(t)]?2(sin3t?cos3t)与时间有关。（证明省略） 所以得出结论：X(t)是宽平稳的，而不是严平稳的。

2.7 已知随机过程X(t)?Acos(?t??)，?为在[0,2?]内均匀分布的随机变量，A可能是常数、时间函数或随机变量。A满足什么条件时，X(t)是各态历经的？ 解：（参照2.4题） （1）当A是常数时：

E[X(t)]?E[Acos(?t??)]?AE[cos(?t??)]?0

所以，均值为常数。

RX(t,t??)?E[(Acos(?t??))(Acos(?t?????))]?E[Acos(?t??)cos(?t?????)]???A2A2A22222E[cos(2?t????2?)?cos??]E[cos(2?t????2?)]?cos???RX(?)A22

cos??

E[X(t)]?E[Acos(?t??)]?E[A?12E[A]?222221?cos2(?t??)122E[A]??22]12

??E[A]E[cos2(?t??)]?2所以X(t)?Acos(?t??)是平稳随机过程。 又

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X(t)?lim?lim?lim12TT???T?TAcos(?t??)dtT1A2T?AT??sin(?t??)|?T

T???Tsin(?t)cos??0?E[X(t)]1TX(t)X(t??)?lim2T??2T??TAcos(?t??)cos(?t?????))dt?limA2T??4T?T?T[cos(2?t????2?)?cos??)]dt2?A2E[cos(2?t????2?)]?A2

2cos??2?A2cos???RX(?)所以，此时X(t)是各态历经的。

（2）当A为时间函数时：设A?a(t)则此时X(t)?a(t)cos(?t??)

E[X(t)]?E[a(t)cos(?t??)]?a(t)E[cos(?t??)]?0

所以，均值为常数。

RX(t,t??)?E[(a(t)cos(?t??))(a(t??)cos(?t?????))]?E[a(t)a(t??)cos(?t??)Acos(?t?????)]?a(t)a(t??)2E[cos(2?t????2?)?cos??]

?a(t)a(t??)2E[cos(2?t????2?)]?12a(t)a(t??)cos???a(t)a(t??)2cos??所以，自相关函数不仅依赖时间间隔?，还是t的函数。

此时所以X(t)?Acos(?t??)不是平稳随机过程，也就不是各态历经的。

（3）A为随机变量：

证明X(t)?Acos(?t??)是平稳随机过程可参照前面2.4题的证明，此处略。 只求随机过程的自相关函数

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RX(t,t??)?E[(Acos(?t??))(Acos(?t?????))]??12E[A]E[cos(?t??)cos(?t?????)]22

E[A]2cos???RX(?)又因为： X(t)?lim?lim?lim12TT???T?TAcos(?t??)dtT1A2T?AT??sin(?t??)|?T

T???Tsin(?t)cos??0?E[X(t)]12TX(t)X(t??)?lim?lim??A2A222T???T?TAcos(?t??)Acos(?t?????))dt2A2T??4T?T?T[cos(2?t????2?)?cos??)]dtA22

cos??E[cos(2?t????2?)]?cos???RX(?)所以X(t)?Acos(?t??)不是各态历经的。

2.8 设X(t),Y(t)是互相独立的平稳随机过程，它们的乘积是否平稳？ 解： Z(t) ? X ( t) Y ( t )

E[Z(t)]?E[X(t)Y(t)]?E[X(t)]E[Y(t)]?mXmYRZ(t,t??)?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)]?E[X(t)X(t??)]?E[Y(t)Y(t??)]?RX(?)RY(?)因为X(t)、Y(t)是平稳随机过程，故此他们的数学期望为常数，自相关函数仅与时间间隔有关，故此Z(t)的数学期望是常数，自相关函数仅与时间间隔有关，是平稳随机过程。

2.9 求用X(t)自相关函数及功率普密度表示的,Y(t)?X(t)cos(?0t??)的自相关函数及功率谱密度。

?为在[0,2?]内均匀分布的随机变量，X(t)是与?互相独立的随机过程。

解： E[cos(?t??)]?0?2?0cos(?0t??)?12?d??12?sin(?0t??)|0?0第 10 页 共 18 页

2?

E[Y(t)]?E[X(t)cos(?0t??)]?E[X(t)]E[cos(?0t??)]?0 RY(t,t??)?E[X(t)cos(?0t??)X(t??)cos(?0t??0???)]

?E[X(t)X(t??)]E[cos(?0t??)cos(?0t??0???)] 1?RX(?)E[cos(2?0t??0???)?cos(?0?)] 21?RX(?)cos(?0?) 2

方法一： 方法二： SY(?)???114? SY(?)?11422??1?SX(?)??[?(???0)??(???0)][SX(???0)?SX(???0)]?????RY(?)ei?0??i??d???)e????12RX(?)cos(?0?)e1?i??d?e?i???4????RX(?)(e?e?i?0??i??d???4????RX(?)ei?0?d??1?4????RX(?)e-i?0?e?i??d?

[SX(???0)?SX(???0)]

2.11对于两个零均值联合平稳的随机过程X(t),Y(t)，已知?为他们的相关函数，并说明原因。 （1）RX(?)??cos(6?)e（3）RX(?)?6?4e?3? （5）RY(?)?5u(?)e解：

第一个判断条件：实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数。即RX(?)?RX(??) 其中（1）、（2）、（3）、（6）是偶函数

（4）、（5）不是偶函数，所以不是自相关函数。

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?3?22X?5,?Y?10，说明下列函数是否可能

2??

（2）RX(?)?5[sin(3?)3?]

2

（4）RY(?)?5sin(5?) （6）RY(?)?5e??

2第二个判断条件：RX(?)?mX?0

其中（1）、（2）、（6）满足条件；而（3）不满足条件，所以不是自相关函数。 第三个判断条件：RX(0)?|RX(?)|

其中（2）、（6）满足条件；而（1）中RX(0)??1?0不满足条件，所以不是自相关函数。 第四个判断条件：?2X?RX(0)?RX(?)

2其中（2）不满足条件?Y?RY(0)?RY(?)?5?0?5?10所以不是自相关函数。

其中（6）满足条件?

2X?RX(0)?RX(?)?5?0?5所以可能是自相关函数。

2.12 求随机相位正弦信号X(t)?cos(?0t??)的功率谱密度，式中?0为常数，?为在[0,2?]内均匀分布的随机变量。 解：

自相关函数：RX(?)?E[cos(?0t??)cos(?0t??0???)]?1212cos?0?

功率谱密度：SX(?)?

????RX(?)d??????cos?0?e?j??d???2{?(???0)??(???0)}

2.14 由联合平稳过程X(t),Y(t)定义了一个随机过程V(t)?X(t)cos(?0t)?Y(t)sin(?0t) （1）X(t),Y(t)的数学期望和自相关函数满足那些条件可使V(t)是平稳过程 解：E [V(t)]?E[X(t)cos(?t)?Y(t)sin(?t)]00

?E[X(t)]cos(?0t)?E[Y(t)]sin(?0t)E[V(t)V(t??)]?E[(X(t)cos(?0t)?Y(t)sin(?0t))?(X(t??)cos(?0(t??))?Y(t??)sin(?0(t??)))]?E[X(t)X(t??)cos(?0t)cos(?0(t??))?X(t)Y(t??)cos(?0t)sin(?0(t??))?Y(t)X(t??)sin(?0t)cos(?0(t??))?Y(t)Y(t??)sin(?0t)sin(?0(t??))]?RXY(?)?RYX(?)①：使数学期望是常数，须满足： E[X(t)]?E[Y(t)]?0第 12 页 共 18 页

②：使自相关函数与时间t无关，须满足： R ( ( ? ) R? )? RXYYX(?)??RXY(?)（2）将（1）的结果用到V(t)，求以X(t),Y(t)的功率谱密度和互谱密度表示的V(t)的功率谱密度 解： RV(?)?RX(?)?cos(?0?)?RXY(?)sin(?0?)

SV(?)???????????R[RV(?)?e?j??d?XY??X(?)?cos(?0?)?R(?)sin(?0?)]?e12j?j??d?12[SX(???0)?SX(???0)]?[SXY(???0)?SXY(???0)]（3）如果X(t),Y(t)不相关，那么V(t)的功率谱密度是什么？ 解：

2.15 设两个随机过程X(t),Y(t)各是平稳的，且联合平稳

X(t)?cos(?0t??) Y(t)?sin(?0t??)

CXY(?)?0?RXY(?)?mXmY?RXY(?)RV(?)?RX(?)?cos(?0?) SV(?)??12?12SX(?)??[?(???0)??(???0)][SX(???0)?SX(???0)]式中，?0为常数，?为在[0,2?]内均匀分布的随机变量。它们是否不相关、正交、统计独立？ 解：

E[X(t)]?2?

E[Y(t)]???0cos(?0t??)?12?12?d??12?12?sin(?0t??)|0?02?2?

0sin(?0t??)?d???cos(?0t??)|0?02?CXY(?)?RXY(?)?mXmY?RXY(?)?E[cos(?0t??)sin(?0(t??)??)]?E[?1212(sin(2?0t??0??2?)?sin(?0?))]sin(?0?)CXY(?)?0，RXY(?)?0?0??k? ? ? ? k ? 时，X(t)、Y(t)不相关、正交

?0第 13 页 共 18 页

k??? 时，X(t)、Y(t)相关、非正交

?0 ∵ X2(t)?Y2(t)?1

∴ X(t)、Y(t)不是相互独立。

2.17 在一般情况下，随机过程X(t)?Acos(?0t)?Bsin(?0t)是否是（1）宽平稳（2）严平稳 其中，?0为常数，A,B为不同分布的随机变量，但方差相同。 解： E[X(t)]?E[Acos(?t)?Bsin(?t)]00

?E[A]cos(?0t)?E[B]sin(?0t)只有当随机变量A和B的数学期望为0时，X(t)的数学期望才是常数。

E[X(t)X(t??)]?E[(Acos(?0t)?Bsin(?0t))(Acos(?0(t??))?Bsin(?0(t??)))]?E[Acos(?0t)cos(?0(t??))?ABcos(?0t)sin(?0(t??))?ABsin(?0t)cos(?0(t??))?Bsin(?0t)sin(?0(t??))]22只有当随机变量A和B不相关时，X(t)的自相关函数才与时间t无关。 此时：

??2AE[X(t)]?E[Acos(?0t)?Bsin(?0t)]?E[A]cos(?0t)?E[B]sin(?0t)?0E[X(t)X(t??)]?E[(Acos(?0t)?Bsin(?0t))(Acos(?0(t??))?Bsin(?0(t??)))]?E[Acos(?0t)cos(?0(t??))?ABcos(?0t)sin(?0(t??))?ABsin(?0t)cos(?0(t??))?Bsin(?0t)sin(?0(t??))]?cos(?0t)22第 14 页 共 18 页

第三章 系统对随机信号的响应

3.1 RC积分电路的输入电压为：X(t)?X0?cos(?0t??)

其中式中?0为常数，X0、?为在[0,1]和[0,2?]内均匀分布的随N(t) 机变量，且互相独立。求输出电压Y(t)的自相关函数。 解：

E[X(t)]?E[X0?Acos(?0t??)]?E[X0]?E[cos(?0t??)]C Y(t)

??10x0dx0??2?0cos(?0t??)12?d??x022|?1012

所以，均值为常数。

RX(t,t??)?E[(X0?cos(?0t??))(X0?cos(?0t??0???))]?E[X0?X0cos(?0t??0???)?X0cos(?0t??)?cos(?0t??)cos(?0t??0???)]?E[X0]?E[X0cos(?0t??0???)]?E[X0cos(?0t??)]?E[cos(?0t??)cos(?0t??0???)]?E[X0]??E[X0]??X0332222121212E[cos(2?0t??0??2?)?cos?0?]cos?0???1310X0dX012cos?0??RX(?)2|0?1cos?0???RX(0)?13?12?56??

所以X(t)为平稳随机过程。

|H(?)|?2???222??

?j??SX(?)????RX(?)ed???2???(13?12cos?0?)e?j??d??2?3?(?)??2{?(???0)??(???0)}

SY(?)?SX(?)H(?)＝2?32????222??220{2?3?(?)??2[?(???0)??(???0)]}?(?)＋??

2?220??[?(???0)??(???0)]?RY(?)?13?2(??2??)cos(?0?)

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3.2若系统得输入X(t)为平稳随机过程，求输出Y(t)的功率谱密度。 解： 系统输出为Y(t)?X(t)?X(t?T)

第一种解法：

H(?)?1?e2?j?TX(t) 延迟T + ○Y(t)=X(t)+X(t-T)

|H(?)|?2?2cos?T SY(?)?SX(?)?|H(?)|?SX(?)(2?2cos?T)2

第二种解法：

RY(?)?RY(t,t??)?E[Y(t)Y(t??)]?E[(X(t)?X(t?T))(X(t??)?X(t???T))]?E[X(t)X(t??)?X(t?T)X(t??)?X(t)X(t???T)?X(t?T)X(t???T)]?E[X(t)X(t??)]?E[X(t?T)X(t??)]?E[X(t)X(t???T)]?E[X(t?T)X(t???T)]?2RX(?)?RX(??T)?RX(??T)SY(?)?F[RY(?)]??????[2RX(?)?RX(??T)?RX(??T)]e?SX(?)ej?T?jw?d? ?2SX(?)?SX(?)e?j?T

?SX(?)(2?2cos?T)由傅氏变换表中第一个变换，得：

?

???RX(??T)e?j??d??SX(?)e?j?T 且

????RX(??T)e?j??d??SX(?)ej?T

3.3冲激响应为h1(t)和h2(t)的并联系统。求用h1(t)、h2(t)和X(t)的自相关函数表示的Y1(t)、Y2(t)的互相关函数。 解：根据图示系统得： Y1(t)? Y2(t)? 因此，

X(t)h2(t) Y2(t) h1(t) Y1(t) ?????h1(?)x(t??)d? h2(u)x(t?u)du

???第 16 页 共 18 页

RY1X(t,t??)?E[Y1(t)X(t??)]?E[?

???h1(?)x(t??)d??X(t??)]????????h1(?)E[X(t??)X(t??)]d? h1(?)RX(???)d????h1(??)?RX(?)RY1Y2(t,t??)?E[Y1(t)Y2(t??)]?E[Y1(t)?????h2(?)x(t????)d?] ????????h2(?)E[Y1(t)X(t????)]d? h2(?)RY1X(???)d????h2(?)?RY1X(?)所以 RYY(?)?RX(?)?h1(??)?h2(?)

12 SY1Y2(?)?SX(?)H1(??)H2(?)?SX(?)H1(?)H2(?)

3.4平稳随机过程X(t)作用到脉冲响应为h1(t)和h2(t)的串联系统。求用h1(t)、h2(t)和X(t)的自相关函数表示的Y1(t)、Y2(t)的互相关函数。 解： X(t)为平稳随机过程，所以有：

RYY(?)?RY(?)*h2(?)

121?Y1(t) X(t)（（h1(t) h2(t) Y2(t) RY(?)?RX(?)*h1(??)*h1(?)

1RYY(?)?RX(?)*h1(??)*h1(?)*h2(?)

12

3.5 功率谱密度为N0/2的白噪声作用到H(0)?2的低通网络，它的等效噪声带宽为2MHz。若在一欧姆电阻上噪声输出平均功率是0.1W，N0是多少？

6解：??e?2??2?10

因为：RY(0)?N0??e2?H(0)

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2所以： N0?RY(0)*2?H(0)2??e?0.1W*2?2*2?*2*10Hz26?1.25*10?8W/Hz

3.6 当传输函数为H(?)?[1?(j?L/R)]?1的两个相同网络串联时，求输入白噪声的功率谱为N0时的输出平均功率。

解：两个网络串联时的HC(?)为： HC(?)?H(?)?H(?)?11?j?L/R?11?j?L/R

H21C(?)?[1?(?L

R)2]2SY(?)?SX(?)H2N0C(?)=[1?(?L 2R)]2又输出的功率谱为：R1j??Y(?)?2??????SY(?)ed?

则输出的平均功率为：R1??Y(0)?N02????d??N0R[1?(?L224L

R)]

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