2018届高考数学（理）热点题型：概率与统计（含答案解析，）

概率与统计

热点一 常见概率模型的概率

几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.

【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列.

1

解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为3，去参加乙游戏的概率2为3. 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4). 则

?1?P(Ai)＝Ci4?3?i?2?4－i??. ???3?

(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 ?1?P(A2)＝C24?3?2?2?28

??＝. 27???3?

(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4，且A3与A4互斥，

3?1??3?∴P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4)＝C4

4124?1?×3＋C4?3?＝9. ????

3

(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4.

且A1与A3互斥，A0与A4互斥. 8

则P(ξ＝0)＝P(A2)＝27，

P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)

1?1?＝C4?3?3240?2?33?1?·?3?＋C4?3?×3＝81， ??????

1

P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)

0?2?＝C4?3?4

??

4?1?＋C4?3?17

＝81. ??

4

所以ξ的分布列是

ξ P 0 827 2 4081 4 1781 【类题通法】(1)本题4个人中参加甲游戏的人数服从二项分布，由独立重复试验，4人中恰有i人参加甲游戏的概率

?1?P＝Ci4?3?i?2?4－i??，这是本题求解的关键. ???3?

(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件Ai的概率和.

【对点训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已3212

知甲队3人每人答对的概率分别为4，3，2，乙队每人答对的概率都是3，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；

(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，

1?3?2?1?3?211132?1－1－1－?????故P(ξ＝2)＝4×3×××＝； 2?＋4×?3?×2＋?4???3224

(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A，甲队比乙队得分高为事件B.设乙队得分2??

为η，则η～B?3，3?.

??

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