重庆市2018年中考数学一轮复习 第四章 三角形 第3节 全等三角形

第3节 全等三角形

(必考，1～2道，近5年每年1道，7～16分) 玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)

命题点 与全等三角形有关的证明及计算(必考，多在解答题中涉及) 类型一 三角形全等的相关证明(2016，2015，A、B卷，2012，2011年考查) 与平行线有关

1. (2016重庆B卷19题7分)如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD. 求证：∠B＝∠E.

第1题图

2. (2016重庆A卷19题7分)如图，点A、B、C、D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.

第2题图

3. (2015重庆B卷20题7分)如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段

AE上，AC＝DE，AB∥EF，AB＝EF.

求证：BC＝FD.

第3题图

含公共边

4. (2015重庆A卷20题7分)如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E. 求证：∠ADB＝∠FCE.

第4题图

5. (2011重庆19题6分)如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC. 求证：BC∥EF.

第5题图

含公共角(旋转型)

6. (2012重庆18题6分)已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. 求证：BC＝ED.

第6题图

拓展训练

1. 如图，已知AB⊥AC，AB＝AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E. 求证：CD＝AE.

第1题图

类型二 三角形全等的证明及计算(涉及辅助线)(2017，2014，2013，A、B卷，2008～2010年考查)

等腰三角形中的辅助线

7. (2014重庆B卷24题10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求证：(1)AF＝CG； (2)CF＝2DE.

第7题图

倍长中线

8. (2017重庆A卷24题10分)在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连接AC.

(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；

(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点．求证：∠BDF＝∠CEF.

第8题图

构造直角三角形

9. (2017重庆B卷24题10分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE.

(1)如图①，若AB＝42，BE＝5，求AE的长．

(2)如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF.当AF＝

DF时，求证：DC＝BC.

第9题图

拓展训练

2. 在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC.在等腰Rt△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝DE.连接AD，CD，点F是AD的中点．

(1)如图①，当点E和点F重合时，若BD＝5，求CD的长； (2)如图②，当点F恰好在BE上，AB＝AD时，求证：BD＝2CD.

第2题图

1. 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ECD，(2分)

?AB＝CE在△ABC和△CED中，?

?∠BAC＝∠ECD，??AC＝CD

答案

∴△ABC≌△CED(SAS)，(5分) ∴∠B＝∠E.(7分) 2. 证明：∵CE∥DF， ∴∠ACE＝∠FDB，(2分)

EC＝BD??

在△ACE和△FDB中，?∠ACE＝∠FDB，

??AC＝FD∴△ACE≌△FDB(SAS)，(5分) ∴AE＝FB.(7分)

3. 证明：∵AB∥EF，点C、D在线段AE上， ∴∠A＝∠E，(3分) ∵AC＝ED，AB＝EF，

∴△ABC≌△EFD(SAS)，(5分) ∴BC＝FD.(7分) 4. 证明：∵BC＝DE，

∴BC＋CD＝DE＋CD，即BD＝EC.(3分) 又∵∠B＝∠E，AB＝FE， ∴△ABD≌△FEC(SAS)，(5分) ∴∠ADB＝∠FCE.(7分) 5. 证明：∵AF＝DC，

∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF. 又∵AB＝DE，∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DEF(SAS)，(4分) ∴∠ACB＝∠DFE，(5分) ∴BC∥EF.(6分) 6. 证明：∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，(1分) 即∠EAD＝∠BAC，

∠B＝∠E??

在△EAD和△BAC中，?AB＝AE，(2分)

??∠BAC＝∠EAD∴△ABC≌△AED(ASA)，(5分) ∴BC＝ED.(6分)

拓展训练1 证明：∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠BAC＝∠D＝∠E＝90°，

∴∠CAD＋∠BAE＝90°，∠DCA＋∠CAD＝90°， ∴∠DCA＝∠EAB，

∠D＝∠E＝90°??

在△ADC和△BEA中，?∠DCA＝∠EAB，

??AC＝BA∴△ADC≌△BEA(AAS)． ∴CD＝AE.

7. 证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝45°， ∵CG平分∠ACB， 1

∴∠BCG＝∠ACB＝45°，

2∴∠CAB＝∠BCG，(2分)

∠ACF＝∠CBG??

在△ACF和△CBG中，?AC＝CB，

??∠CAB＝∠BCG∴△ACF≌△CBG(ASA)，(4分) ∴AF＝CG.(5分)

(2)如解图，延长CG交AB于点H. ∵AC＝BC, CG平分∠ACB， ∴CH⊥AB，且点H是AB的中点， 又∵AD⊥AB， ∴CH∥AD， ∴∠D＝∠CGE，

又∵点H是AB的中点， ∴点G是BD的中点， ∴DG＝GB， ∵△ACF≌△CBG， ∴CF＝BG， ∴CF＝DG，(7分) ∵E为AC边的中点， ∴AE＝CE，

∠DEA＝∠GEC??

在△AED和△CEG中，?∠D＝∠CGE，

??AE＝CE∴△AED≌△CEG(AAS)，(8分) ∴DE＝GE， ∴DG＝2DE， 又∵CF＝DG， ∴CF＝2DE.(10分)

第7题解图

8. (1)解：∵AM⊥BM，点C是BM延长线上一点， ∴∠AMB＝∠AMC＝90°， ∴△AMB和△AMC是直角三角形， ∵∠ABM＝45°，AB＝32， ∴AM＝BM＝3， ∵BC＝5， ∴MC＝5－3＝2，

在Rt△AMC中，AM＝3，CM＝2， ∴AC＝3＋2＝13.(4分)

(2)证明：延长EF至点H，使FH＝FE，连接BH，如解图①，

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第8题解图①

∵点F是BC的中点， ∴BF＝CF，

BF＝CF??

在△BFH和△CFE中，?∠BFH＝∠CFE，

??FH＝FE∴△BFH≌△CFE(SAS)，(7分) ∴BH＝CE，∠H＝∠CEF，

又∵∠BMD＝∠AMC＝90°，AM＝BM，MD＝MC， ∴△BMD≌△AMC(SAS)， ∴BD＝AC，

又∵AC＝EC，EC＝BH， ∴BD＝BH，

∴∠BDF＝∠H＝∠CEF， ∴∠BDF＝∠CEF.(10分)

【一题多解】∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，点C是BM延长线上一点． ∴BM＝AM，∠BMD＝∠AMC＝90°. 在△BMD和△AMC中，

∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMC，MD＝MC， ∴△BMD≌△AMC(SAS)．(6分) ∴BD＝AC. ∵EC＝AC， ∴BD＝EC.

延长DF到点G，使FG＝FD，连接CG，如解图②，

第8题解图②

∵点F是线段BC的中点， ∴CF＝BF.

∵∠CFG＝∠BFD，FG＝FD， ∴△CFG≌△BFD(SAS)． ∴CG＝BD，∠G＝∠BDF. ∵BD＝EC， ∴CG＝EC. ∴∠G＝∠CEF. ∵∠G＝∠BDF， ∴∠BDF＝∠CEF.(10分)

9. (1)解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∴AC＝BC＝AB·sin45°＝4，(2分) ∴在Rt△BCE中，CE＝BE－BC＝3， ∴AE＝AC－CE＝4－3＝1.(4分)

(2)证明：如解图，过C点作CM⊥CF交BD于点M， ∴∠FCM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FCA＝∠MCB， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝90°， ∴∠AFE＝∠ACB， ∵∠AEF＝∠BEC， ∴∠CAF＝∠CBM，

2

2

∠FCA＝∠MCB??

在△ACF和△BCM中，?AC＝BC，

??∠CAF＝∠CBM∴△ACF≌△BCM(ASA)，(7分) ∴FC＝MC， 又∵∠FCM＝90°， ∴∠CFM＝∠CMF＝45°，

∴∠AFC＝∠AFB＋∠CFM＝90°＋45°＝135°， ∠DFC＝180°－∠CFM＝180°－45°＝135°， ∴∠AFC＝∠DFC，

AF＝DF??

在△ACF和△DCF中，?∠AFC＝∠DFC，

??CF＝CF∴△ACF≌△DCF(SAS)，(9分) ∴AC＝DC， ∵AC＝BC， ∴DC＝BC.(10分)

第9题解图

拓展训练2

(1)解：如解图①，∵∠1＋∠ABD＝90°， 在Rt△ABD中，∠2＋∠ABD＝90°，

第2题解图①

∴∠1＝∠2，

∵BD＝ED，F为AD的中点，点E和点F重合， ∴AE＝ED＝BD，

AE＝BD??

在△ABE和△BCD中，?∠2＝∠1，

??AB＝BC∴△ABE≌△BCD(SAS)， ∴BE＝CD.

在Rt△BED中，BE＝BD＋ED， ∵BD＝ED＝5， ∴BE＝10， ∴CD＝10.

(2)证明：过点A作AN⊥BD于点N，交BE于点M，如解图②，

2

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第2题解图②

∵AB＝AD，

∴N是BD的中点，∠3＝∠4， ∵∠ANB＝∠BDE＝90°， ∴AN∥ED，

∴∠4＝∠5，∠6＝∠7＝45°， ∵F是AD的中点， ∴AF＝FD，

∠6＝∠7??

在△AFM和△DFE中，?∠4＝∠5，

??AF＝FD∴△AFM≌△DFE(AAS)， ∴AM＝ED， ∵BD＝ED， ∴BD＝AM，

∵AB＝AD， ∴∠8＝∠ABD，

∵∠8＋∠5＝90°，∠ABD＋∠9＝90°， ∴∠5＝∠9， ∵∠3＝∠4＝∠5， ∴∠3＝∠9，

AB＝BC??

在△ABM和△BCD中，?∠3＝∠9，

??AM＝BD∴△ABM≌△BCD(SAS)， ∴BM＝CD.

在等腰Rt△BMN中，BM＝2BN， 1

∵BN＝BD，

2∴BD＝2BM， ∴BD＝2CD.

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