有理数2 - -有理数运算

第3——4课时 有理数的运算

一、知识梳理

有理数的加、减法 1.有理数加、减法的定义

（1）把两个数合成一个有理数的运算，叫做有理数的加法。

（2）已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 2.有理数加、减法法则（重点）

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加

（同号相加，符号不变，绝对值相加）

（2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。（异号相加，符号同大，绝对值相减）

（3）互为相反数的两数相加得零 （4）一个数同零相加，仍得这个数 (5)减去一个数，等于加上这个数的相反数 3.有理数加法的运算律（难点）

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a?b?b?a 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和 不变。即(a?b)?c?a?(b?c) 4.有理数加减混合运算的方法和步骤（难点）

第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。 第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算 有理数的乘、除法

1.有理数的乘、除法法则（重点）

(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 任何数与零相乘，积仍为零

(2)两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何不为0的数，都得0

除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数

2.倒数、负数的倒数（重点）

1

(1)若两个有理数的乘积为1，则这两个有理数互为倒数

(2)求一个负整数的倒数，直接写成这个数分之一即可；

求一个负分数的倒数，把这个数的分子分母颠倒一下位置即可。

3.有理数乘法法则的推广（难点）

（1）几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：

当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，只要有一个因数为零，则积为零

4.有理数的乘法运算律（难点）

（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。

（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变

（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这两个数分别同两个数相乘，再把积相加

有理数的乘方 1.乘方的定义（重点）

求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，即a?a?????a?a，其中乘方 的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数。 2.乘方运算的符号法则（难点） 正数的任何次幂都是正数；

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

1,0的任何次幂分别是1,0;-1的奇次幂是-1,偶次幂是1。 有理数的混合运算 1.有理数的混合运算

有理数的混合运算是指一个整式里含有加、 减 、乘 、除 、乘方运算 中的两种以上的运算。 2.有理数的混合运算的顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号里面的.

n二、易错知识辨析

1.有理数的符号运算,重点是加减法转化中性质符号与运算符号的处理; 2.乘方运算幂底数的负号与幂的负号的区别.负数的奇次幂与偶次幂的区别; 3.负数的倒数,负分数的倒数,

4.混合运算中的运算顺序,运算定律的准确运用,

2

5.绝对值运用,化简,推理判断中的分类讨论.

三、课堂精讲例题

例题组1训练重点: 能准确地进行有理数的加减及加减运算,运用加减运算法则进行简单数的推理

13)+(+6.75)+(?3)+(-9) 44133（3）(-1.7)- ?4.3+?1.7+（-6.8） （4）-8.125+7-4+

8441.计算：（1）-70-28-(-19)-(-12) （2）(-3解析：（1）合并性质符号与运算符号，先加同号数，再把异号两数相加；

（2）（4）合并性质符号与运算符号，化小数为分数，把带分数分成一个整数与一个分数进行运算。 （3）去绝对值符号，再运算。 答案：（1）-67；（2）?91；（3）-11.1；（4）-5。 42.下列结论不正确的是( ). A 若a>0,b<0,则a-b>0 B 若a<0，b>0，则a-b<0 C若a<0,b<0,则a-（a-b）>0

D若a?0,b?0,若a?b，则a?b?0 解析：小数减大数，差为负数；大数减小数，差为正数。 答案：C。

3.已知a，b是有理数那么a+b与b这两个数比较大小的结果是( ) A.a?b?b B.a?b?b

C.a?b?b D.大小关系取决于a 解析：当a为正数时，a?b?b； 当a为0时，a?b?b； 当a为负数时，a?b?b。 答案：D。

4.若a?3，b?1，c?5，且a?b?a?b，a?c??(a?c)，求a-b+c的值。 解析：∵a?3，b?1，c?5 ∴a??3；b??1；c??5； 又∵a?b?a?b，即a?b?0

3

a?c??(a?c)，即a?c?0

可推知：a?3,b??1,c??5，

∴当a?3,b?1,c??5时，a?b?c?3?1?5??3； 当a?3,b??1,c??5时，a?b?c?3?1?5??1。 搭配课堂训练题

1.计算：（1）16+(-25)+24+(-32) （2）16-(-8（3）

12)-(+4) 333342-(-)+(-)-(+1) （4）(-2.39)+(+3.75)+(-7.61)+(-1.57) 107752.若m<0,n>0,且m>n,则m+n________0(填“>”“<”或“=”) 3.a?a?0 则a取的数是( )

Aa?0 B a?0

C a?0 D a?0 4.下表为

今年雨季某防汛小组测量的某条河流在一周内的水位变化情况（单位：米） 星 期 水位变化/米 一 +0.25 二 +0.52 三 -0.18 四 +0.06 五 -0.13 六 +0.49 日 +0.10 （注：正号表示比前一天上升，负号表示比前一天水位下降）

（1） 若本周日达到了警戒水位73.4米，那么本周一水位是多少？上周末的水位是多少？ （2） 本周哪一天河流水位最高，哪一天水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？ （3） 与上周相比，本周末河流水位是上升还是下降了？

例题组2 训练重点: 能准确地进行有理数的乘除法,乘方的运算,运用运算法则进行简单数的推理

74153221111?(?) （3）7?(-8)?(- )?0?(-4.25) （4）1?(?)?88510010001.计算：（1）(?)?(?3) （2）(?)?7

14714??；（同号得正）

23237711（2）(?)?7?????；

5575解析：（1）(?)?(?3)?（3）0； （4）500000；

4

43

2.若ab?0，必有 （ ）

A.a?0,b?0 B.a?0,b?0 C.a、b同号 D.a、b异号 答案：D

1、x2的大小关系是（ ） x1111A. ＜x＜x2 B.x＜＜x2 C.x2＜x＜ D. ＜x2＜x

xxxx1解析：当0＜x＜1时，有＞1，x2＜x。

x3.若0＜x＜1，则x、∴选C。 搭配课堂训练题

1.计算：（1）(-1.5)?（-0.5） （2）(?8)?(?8) （3）(-81)?2797914??(-16) （4）(-5)?25?125?(-2)?16 49322322（5）(?3)，?3，?(?3) （6）()，，3

333222.设a、b为任意两个有理数，且ab=ab，那么 （ ） A.ab?0或a?0或b=0 B.ab?0或a?0 C.a?0且b?0 D.a、b同号或b=0 3.若a、b为有理数，且?a=0，那么一定有（ ） bA.a=0 B.a=0且b?0 C.a=b=0 D.a=0或b=0

4.若x为任何有理数，则x一定是_____________数，?x一定是________数；若x?0，则x一定是____________数，?x一定是__________数。

例题组3 训练重点:能准确地进行有理数的混合运算,综合运用运算法则进行简单数的推理

222223251121121.计算（1）-1（ （2）[2?(?)??(?2)?]? -1）÷-6×-3963235211371317315?)?(60??60??60?) （4）(?1)?(1)-(?)?(?)

424816212777117答案：（1）-26；（2）；（3）-29；（4）

46（3）(?23522.若?ab?0，且a?0，则（ ）

22 A.ab?0 B.a?b?0 C.a?ab?0 D.

b?0 2a 5

解析：

?a2b?0,且a?0,?b?0 又a2?ab?a(a?b)

?a2?ab?0,故C正确。3.已知x,y,z是三个有理数，若x?y,x?y?0,且xyz?0，则x?z 0. 4.四个各不相等的整数a,b,c,d,它们的积a?b?c?d?9，那么a?b?c?d的值为（ ） A.0 B.8 C.-8 D.?8

解析：∵9可分解为3×3、（—3）×（—3）、1×9、（—1）×（—9），且四个不同整数积为9； ∴四个整数分别为±1、±3； ∴a?b?c?d=0. 搭配课堂训练题

8)?0?(?2)3 1911211217（3）36?(?)? （4）?2?(1?1)?(?5)?1

2322739142（5）.?1??1?0.5????2???3??

?3?1.计算：（1）100?(?3)?(?) (2)12.7?(?（6）???34??5??3??7??1018???????????48???18????1????1?

??24??8??16????2.下列说法中正确的是（ ）

①同号两数相乘，积必为正 ②1乘以任何有理数都等于这个数本身 ③ 0乘以任何数的积均为0 ④-1乘以任何有理数都等于这个数的相反数

A.①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①③④

3.平方等于本身的有理数是 ，立方等于本身的有理数是 . 4.一个正数a的立方( )

A.一定比a大 B.一定比a小 C.一定等于a D.以上都有可能 5.若x?0,xy?0，求y?x?1?x?y?5的值.

四、巩固练习

1132?111??1??1?1.计算：(1). 5?? (2). ???????48? (3).??????4?????

444?346??4??8?(4).?3?3??4?

2??2?3?1 26

(5).?

11?1223??1??????? (6).???7??????7

742?67314??7?（7）32?(?)+（-11）?(?)-21?(?)

222（8）?9?2?(?3)?(?6)?(?)

23232323(9).??1????1?????1?122000=_________。

(10).

1?2??2?2(11) ??3??2?????23???2?????

4?3??3?322.两个有理数a、b，如果ab?0，且a?b?0，那么（ ）

A.a?0,b?0 B.a?0,b?0 C.a、b异号，且正数的绝对值较大 D.a、b异号，且负数的绝对值较大 3.若a?3?3?a?0，则a的取值范围（ ）

A.a?3 B.a?3 C. a?3 D.a?3 4.下列说法正确的是（ ）

A .a是有理数，则a的倒数是有理数 B.?1的倒数与它的相反数的积是1 233C.若两数的商为零，则两数中至少有一个为零 D.若a?(?a)，则a=0 5.

ab?（ab?0）的所有可能的值有______个 ab222007?b2007的值。 6.已知a?1?(b?1)?0，求a7.x?3，y是?

133的倒数，求x?y的值 27

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