高等数学(同济大学第五版)第十二章

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 1

1. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x(y′)2 2yy′+x=0; 解 一阶. (2)x2y′ xy′+y=0; 解 一阶.

(3)xy′′′+2y′+x2y=0; 解 三阶.

(4)(7x 6y)dx+(x+y)dy=0; 解 一阶.

d2QdQQ

(5)L+R+=0;

dtCdt

解 二阶. (6)

dρ

+ρ=sin2θ. dθ

解 一阶.

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy′=2y, y=5x2; 解 y′=10x.

因为xy′=10x2=2(5x2)=2y, 所以y=5x2是所给微分方程的解. (2)y′+y=0, y=3sin x 4cos x; 解 y′=3cos x+4sin x.

因为y′+y=3cos x+4sin x+3sin x 4cos x=7sin x cos x≠0, 所以y=3sin x 4cos x不是所给微分方程的解. (3)y′′ 2y′+y=0, y=x2ex;

解 y′=2xex+x2ex, y′′=2ex+2xex+2xex+x2ex=2ex+4xex+x2ex . 因为y′′ 2y′+y=2ex+4xex+x2ex 2(2xex+x2ex)+x2ex=2ex≠0, 所以y=x2ex不是所给微分方程的解.

(4)y′′ (λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0, y=C1eλ1x+C2eλ2x.

22

解 y′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x, y′′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x.

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

因为y′′ (λ1+λ2)y′+λ1λ2y

22

=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x (λ1+λ2)(C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x)+λ1λ2(C1eλ1x+C2eλ2x)

=0,

所以y=C1eλ1x+C2eλ2x是所给微分方程的解.

3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解: (1)(x 2y)y′=2x y, x2 xy+y2=C; 解 将x2 xy+y2=C的两边对x求导得 2x y xy′+2y y′=0, 即 (x 2y)y′=2x y,

所以由x2 xy+y2=C所确定的函数是所给微分方程的解. (2)(xy x)y′′+xy′2+yy′ 2y′=0, y=ln(xy). 解 将y=ln(xy)的两边对x求导得 y′=再次求导得

1+1y′, 即y′=y. xyxy x

y′(xy x) y(y+xy′ 1) xy′ y2+y1( xy′2 yy′+y′).

y′′===

xy xy(xy x)2(xy x)2

注意到由y′=

1+1y′可得xy′=xy′ 1, 所以

xyy

1 [ (xy′ 1)y′ yy′+y′]=1 ( xy′2 yy′+2y′),

y′′=

xy xxy x

即由y=ln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解.

从而 (xy x)y′′+xy′2+yy′ 2y′=0,

4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件: (1)x2 y2=C, y|x=0=5;

解 由y|x=0=0得02 52=C, C= 25, 故x2 y2= 25. (2)y=(C1+C2x)e2x, y|x=0=0, y′|x=0=1; 解 y′=C2e2x+2(C1+C2x)e2x .

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

由y|x=0=0, y′|x=0=1得

C1=0

,

+=1CC 21

解之得C1=0, C2=1, 故y=xe2x .

(3)y=C1sin(x C2), y|x=π=1, y′|x=π=0. 解 y′=C1cos(x C2). 由y|x=π=1, y′|x=π=0得

C1sin(π C2)=1 CsinC2=1

, 即 1,

cos( )=0 cos=0CπCCC22 1 1

解之得C1=1, C2=

π, 故y=sin(x π, 即y= cos x .

2

2

5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程: (1)曲线在点(x, y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;

解 设曲线为y=y(x), 则曲线上点(x, y)处的切线斜率为y′, 由条件y′=x2, 这便是所求微分方程.

(2)曲线上点P(x, y)处的法线与x轴的交点为Q, 且线段PQ被y轴平分. 解 设曲线为y=y(x), 则曲线上点P(x, y)处的法线斜率为 坐标为0, 所以Q点的坐标为( x, 0), 从而有

1, 由条件第PQ中点的横

yy 0

= 1, 即yy′+2x=0. x+xy 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比. 解

dP=kP, 其中k为比例系数. dTT

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 11

1. 试用幂级数求下列各微分方程的解: (1)y′ xy x=1;

解 设方程的解为y=a0+

∞

∞

∞

anxn, 代入方程得 ∑n=1

nanx∑n=1

n 1

a0x ∑anxn+1 x=1,

n=1

即 (a1 1)+(2a2 a0 1)x+

[(n+2)an+2 an]xn+1=0. ∑n=1

∞

可见 a1 1=0, 2a2 a0 1=0, (n+2)an+2 an=0(n=1, 2, ), 于是 a1=1, a2= a2k 1=

1+a01+a01, a3=, a4=, ,

23!!4!!

1+a01, a2k=, . (2k 1)!!(2k)!!

所以 y=a0+

∑[

k=1∞

∞

1+a2k1x2k 1+x]

(2k 1)!!(2k)!!

∞2121k =a0+∑+(1+a0)∑1xk xk=1(2k 1)!!k=1k!2

= 1+(1+a0

x2

)e2

+∑

1x2k 1, k=1(2k 1)!! 1+∑

1x2k 1. k=1(2k 1)!!

∞

∞

即原方程的通解为

x2

y=Ce2

(2)y′′+xy′+y=0; 解 设方程的解为y=

∞

anxn, 代入方程得 ∑n=0

∞

n 1

∞

n(n 1)anx∑n=2

n 2

+x∑nanx

n=1

+∑anxn=0,

n=0

∞

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

即 a0+2a2+

[(n+2)(n+1)an+2+(n+1)an]xn=0, ∑n=1

∞

( 1)k 1( 1)k11a,a=a, . 于是 a2= a0,a3= a1, ,a2k 1=23(2k 1)!!12k(2k)!!0

( 1)ka2k( 1)ka2k+1

所以 y=a0+a1x+∑x+x]

(2k+1)!!k=1(2k)!!

∞

∞2( 1)k 12k 1x1k =a0∑( +a1∑ x(2 1)!!kk!!2k=0k=1

∞

x

=a0e2

2

( 1)k 12k 1

+a1∑x,

(2k 1)!!k=1

2

∞

即原方程的通解为

x

y=C1e2

( 1)k 12k 1

+C2∑x.

(2k 1)!!k=1

∞

∞

(3)xy′′ (x+m)y′+my=0(m为自然数); 解 设方程的解为y=

∞

anxn, 代入方程得 ∑n=0

(x+m)∑nanx

n=1∞

n 1

x

n(n 1)anx∑n=2

∞

n 2

+m∑anxn=0,

n=0

∞

即 m(a0 a1)+

[(n+1)(n m)an+1 (n m)an]xn=0. ∑n=1

可见 (a0 a1)m=0, (n m)[(n+1)an+1 an]=0 (n≠m), 于是 a0=a1,an=

m

am+1

(n≥m+2),an=1a1 (n≤m).

n(n 1) (m+2)n!

∞ana+m1所以 y=a0+∑x+am+1x+∑xn n=1n!n=m+2n(n 1) (m+2)

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

∞n

xxn n1+ =a0∑+am+1x+(m+1)!am+1∑n=0n!n=m+2n!∞nn

xx =a0∑+(m+1)!am+1∑ n!n!n=0n=m+1mnnxxx =a0∑+(m+1)!am+1(e ∑ n=0n!n=0n!n

x =(m+1)!am+1e+[a0 (m+1)!am+1]∑, n!n=0

x

m

mm

m

即原方程的通解为 y=C1e+C2 (4)(1 x)y′=x2 y; 解 设方程的解为y=

∞x

xn(其中C, C为任意常数).

12∑n!n=0

m

anxn, 代入方程得 ∑n=0

2

∞

(1 x)

nanx∑n=1

n 1

=x ∑anxn,

n=0

2

∞

即 a1+a0+2a2x+(3a3 a2 1)x+

[(n+1)an+1 nan+an]xn=0. ∑n=3

∞

可见 a1+a0=0, 2a2=0, 3a3 a2 1=0, (n+1)an+1 (n 1)an=0(n≥3), 于是 a1= a0, a2=0, a3=因此原方程的通解为

∞

12xn(C=a为任意常数). . 3 y=C(1 x)+x+∑03( 1)nnn=4

1, a=n 2a=2(n≥4).

n3nn 1n(n 1)

(5)(x+1)y′=x2 2x+y. 解 设方程的解为y=

anxn, 代入方程得 ∑n=0

∞

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

(x+1)

nanx∑n=1

∞

n 1

=x 2x+∑anxn,

2

n=0

2

∞

即 a0+a1+2(1+a2)x+(a2+3a3 1)x+于是 a1=a0, a2= 1,a3=因此原方程的通解为

[(n 1)an+(n+1)an+1]xn=0. ∑n=3

∞

2,a= n 2a =( 1)n 34(n≥4).

nn 1n(n 1)3n

∞

24xn(C=a为任意常数). 3 y=C(1+x) x+x+∑( 1)n 303n(n 1)n=4

2

2. 试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的解: (1)y′=y2+x3, y|x=0=

1; 2

∞1 解 根据初始条件, 可设方程的解为y=+∑anxn, 代入方程得 2n=1

∞

∞1=+∑anxn)2+x3, 2n=1

∞1222

=x++∑anxn+a1x+2a1a2x3+(a2+2a1a3)x4+ .

4n=1

3

nanx∑n=1

∞

n 1

即 a1+

nanx∑n=2

n 1

比较两边同次幂的系数得

1, 2a=a, 3a=a+a2, 4a=a+2aa+1, ,

213214312

4111, a=9, .

于是 a1=, a2=, a3=4

481632

a1=因此所求特解为 y=

1+1x+1x2+1x3+9x4+ . 2481632

∞

(2)(1 x)y′+y=1+x, y|x=0=0;

解 根据初始条件, 可设方程的解为y=

anxn, 代入方程得 ∑n=1

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

(1 x)

nanx∑n=1

∞

n 1

+∑anxn=1+x,

n=1

∞

即 a1+比较系数得

[(n 1)an+1+(1 n)an]xn=1+x. ∑n=1

1, a=n 2a=1(n≥3).

n2nn 1n(n 1)

∞

a1=1, a2=因此所求特解为

∞∞112n y=x+x+∑x=x+∑1xn. 2n=3n(n 1)n=2n(n 1)

因为

1xn的和函数为(1 x)ln(1 x)+x, 所以特解还可以写成 ∑n=2n(n 1)

∞

y=2x+(1 x)ln(1 x)+x. (3)

d2x+xcost=0, x|=a, dx|=0.

t=0

dtt=0dt2

antn. ∑n=2

∞

解 根据初始条件, 可设方程的解为x=a+

∞

∞∞2( 1)n2ndxn2 将x=a+∑ant, =∑n(n 1)ant和cost=∑t代 2(2)!ndtn=2n=2n=0

n

入方程得

n(n 1)ant∑n=2

∞

n 2

( 1)n2n

+(a+∑ant)∑t=0.

n=2n=0(2n)!

n

∞∞

将级数展开、整理合并同次项, 并比较系数得 a0=a, a1=0, a2=

a, a=0, a=2a,

4

2!34!

9a, a=0, a=55a, .

a5=0, a6= 78

6!8!

12+2t4 9t6+55t8+ . 2!4!6!8!

故所求特解为 x=a(1

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 2

1. 求下列微分方程的通解: (1)xy′ yln y=0; 解 分离变量得

1dy=1dx, ylnyx1dy=1dx, ∫ylny∫x

两边积分得

即 ln(ln y)=ln x+ln C, 故通解为y=eCx . (2)3x2+5x 5y′=0; 解 分离变量得 5dy=(3x2+5x)dx, 两边积分得

5dy=(3x2+5x)dx,

∫∫

即 5y=x3+

5x2+C,

1

2111故通解为y=x3+x2+C, 其中C=1为任意常数. 525

(3) x2y′= y2; 解 分离变量得

dy

=dx, y2 x2

两边积分得

∫

dy

=∫dx y2 x2

即 arcsin y=arcsin x+C,

故通解为y=sin(arcsin x+C). (4)y′ xy′=a(y2+y′);

解 方程变形为(1 x a)y′=ay2, 分离变量得

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

1dy=adx,

1 a xy两边积分得

1dy=adx,

∫y∫1 a x1即 = aln(1 a x) C1, y

1故通解为y=, 其中C=aC1为任意常数.

C+aln(1 a x)

(5)sec2x tan ydx+sec2y tan xdy=0; 解 分离变量得

2sec2ysecxdx,

y=

tanytanx

两边积分得

2sec2y

y= ∫secxdx, ∫tantanx

即 ln(tan y)= ln(tan x)+ln C,

故通解为tan x tan y=C . (6)

dy

=10x+y; dx

解 分离变量得 10 ydy=10xdx, 两边积分得

10 ydy=10xdx,

∫∫

yx1010即 =+C, ln10ln10ln10

或 10 y=10x+C, 故通解为y= lg(C 10x).

(7)(ex+y ex)dx+(ex+y+ey)dy=0;

解 方程变形为ey(ex+1)dy=ex(1 ey)dx, 分离变量得

yxee dy=dx, 1 ey1+ex

两边积分得

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

yxee ∫dy=∫dx, 1 ey1+ex

即 ln(e y)=ln(ex+1) lnC,

故通解为(ex+1)(ey 1)=C .

(8)cos x sin ydx+sin x cos ydy=0; 解 分离变量得

cosy

dy= cosxdx, sinysinxcosycosxdx,

dy= ∫siny∫sinx

两边积分得

即 ln(sin y)= ln(sin x)+ln C,

故通解为sin x sin y=C . (9)(y+1)2

dy3

+x=0; dx

解 分离变量得 (y+1)2dy= x3dx, 两边积分得 即

∫(y+1)2dy= ∫x3dx,

1(y+1)3= 1x4+C,

1

34

故通解为4(y+1)3+3x4=C (C=12C1). (10)ydx+(x2 4x)dy=0.

解 分离变量得

4dy=(1+1dx, yx4 x

两边积分得

∫ydy=∫x+4 xdx,

411

即 ln y4=ln x ln(4 x)+ln C ,

故通解为y4(4 x)=Cx .

2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1)y′=e2x y, y|x=0=0; 解 分离变量得 e ydy=e2xdx, 两边积分得

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

eydy=e2xdx,

∫∫

即 ey=e2x+C, 或 y=ln(e2x+C). 由y|x=0=0得ln(+C)=0, C=所以特解y=ln(e2x+.

(2)cos x sin ydy=cos y sin xdx, y|x=0= 解 分离变量得 tan y dy=tan x dx, 两边积分得

12

12

121, 2

1212

π;

4

∫tanydy=∫tanxdx,

π得cosπ=Ccos0=C, C=, 44即 ln(cos y)= ln(cos x) ln C,

或 cos y=C cos x . 由y|x=0=

所以特解为2cosy=cosx. (3)y′sin x=yln y, yx==e;

解 分离变量得

1dy=1dx, ylnysinx

两边积分得

∫ylnydy=∫sinxdx,

x

2

Ctanxy=e11

即 ln(lny)=ln(tan+lnC, 或 由

.

, C=1,

Ctanyx==e得e=e4

2

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

所以特解为

tanxy=e.

(4)cos ydx+(1+e x)sin ydy=0, y|x=0= 解 分离变量得

xsinyedy=dx,

cosy1+eπ;

4

两边积分得

xsinyedy=∫dx, ∫cosy1+ex

即 ln|cos y|=ln(ex+1)+ln |C|,

或 cos y=C(ex+1).

π, π 由y|x=0=得cos=C(e+1), C=

444

所以特解为cosy=

(ex+1). 4

(5)xdy+2ydx=0, y|x=2=1. 解 分离变量得

1dy= 2dx, yx1dy= 2dx, ∫y∫x

两边积分得

即 ln y= 2ln x+ln C,

或 y=Cx 2.

由y|x=2=1得C 2 2=1, C=4, 所以特解为y=

4. x2

3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm, 顶角为60°, 漏斗下面有面积为0. 5cm2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.

解 设t时该已流出的水的体积为V, 高度为x, 则由水力学有

dV=0.62×0.5×2×980)x, 即dV=0.62×0.5×2×980)xdt. dt

,

又因为r=xtan30°=

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

故 V= πr2dx=

πx2dx,

3

从而 0.62×0.5×2×980)xdt=

x2dx,

3

即 dt=

3×0.62×0.5×980

3

x2,

因此 t=x2+C.

3×0.62×0.×980

又因为当t=0时, x=10, 所以C=故水从小孔流出的规律为

5

π

3×5×0.62×0.552

,

2 t=(102 x2)= 0.0305x2+9.645.

3×5×0.62×0.5×980

令x=0, 得水流完所需时间约为10s.

4. 质量为1g(克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t=10s时, 速度等于50cm/s, 外力为4g cm/s2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？ 解 已知F=k

555

t, 并且法t=10s时, v=50cm/s, F=4g cm/s2, 故4=k10, 从而k=20, 因此v50

F=20t.

v

又由牛顿定律, F=ma, 即1 分方程. 解之得

dv=20t, 故v dv=20tdt . 这就是速度与时间应满足的微dtv

1v2=10t2+C, 即v=20t2+2C.

2

1 由初始条件有502=10×102+C, C=250. 因此 2

v=20t2+500.

当t=60s时, v=×602+500=269.3cm/s.

5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R0的一半. 试求镭的量R与时间t的函数关系.

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

解 由题设知,

dR= λR, 即dR= λdt, dtR

两边积分得

ln R= λt+C1, 从而 R=Ce λt (C=eC1).

因为当t=0时, R=R0, 故R0=Ce0=C, 即R=R0e λt. 又由于当t=1600时, R=因此

ln2R=R0e1000

1R, 故1R=Re 1600λ, 从而λ=ln2. 202001600

=R0e 0.000433t.

6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线

方程.

解 设切点为P(x, y), 则切线在x轴, y轴的截距分别为2x, 2y, 切线斜率为

2y 0y

= , 0 2xx

dyy

= , 即1dy= 1dx, dxxyx

故曲线满足微分方程:

从而 ln y+ln x=ln C, xy=C .

因为曲线经过点(2, 3), 所以C=2×3=6, 曲线方程为xy=6.

7. 小船从河边点O处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a, 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h, 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k). 求小船的航行路线.

解 建立坐标系如图. 设t时刻船的位置为(x, y), 此时水速为v=dx=ky(h y)dt .

又由已知, y=at, 代入上式得 dx=kat(h at)dt , 积分得

x=kaht2 ka2t3+C. 由初始条件x|t=0=0, 得C=0, 故x= 因此船运动路线的函数方程为

dx=ky(h y), 故dt

1213

1kaht2 1ka2t3. 23

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

x=1kaht2 1ka2t3

, 23

y=ay

1kh从而一般方程为x=y2 y3). 3a2

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 3

1. 求下列齐次方程的通解: (1)xy′ y y2 x2=0;

解 原方程变为 令u=

dyy= 2 1. dxxx

y

, 则原方程化为 x

du=u+2 1, 即1du=1dx,

u+x

2 1

两边积分得

ln(u+2 1)=lnx+lnC, 即u+2 1=Cx, 将u=

y

代入上式得原方程的通解 x

y+2 1=Cx, 即y+y2 x2=Cx2.

dyy=yln; dxx

dyyy=ln. 解 原方程变为

dxxx

y

令u=, 则原方程化为

x

1du=ulnu, 即

u+xdu=1dx,

u(lnu 1)xdx

(2)x

两边积分得

ln(ln u 1)=ln x+ln C, 即u=eCx+1, 将u=

y

代入上式得原方程的通解 x

y=xeCx+1.

(3)(x2+y2)dx xydy=0;

y

, 即y=xu, 则原方程化为 x

1 (x2+x2u2)dx x2u(udx+xdu)=0, 即udu=dx, x

解 这是齐次方程. 令u=

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

两边积分得 u2=ln x2+C, 将u=

y

代入上式得原方程的通解 x

y2=x2(ln x2+C).

(4)(x3+y3)dx 3xy2dy=0;

y

, 即y=xu, 则原方程化为 x

3u2du=1dx,

(x3+x3u3)dx 3x3u2(udx+xdu)=0, 即

x1 2u3

解 这是齐次方程. 令u=两边积分得

ln(1 2u3)=lnx+lnC, 即2u3=1 将u=

1

2C, xy

代入上式得原方程的通解 x

x3 2y3=Cx .

yyy

+3ychdx 3xchdy=0; xxx

dy2yy=th+. 解 原方程变为

dx3xx

y

令u=, 则原方程化为

x

du=2thu+u, 即3chudu=2dx,

u+x

dx3shux

(5)(2xsh

两边积分得

3ln(shu)=2ln x+ln C, 即sh3u=Cx2, 将u=

y

代入上式得原方程的通解 x

y

sh2=Cx2.

x

xx

(6)(1+2ey)dx+2ey(1

xdy=0. y

x

解 原方程变为

dx=dy

2(x 1)eyy

x

1+2ey

.

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

令u=

x, 则原方程化为 y

u2(u 1)euduu+2edu= = u+y, 即y, dydy1+2eu1+2e

分离变量得

u

e1+21dy, du=

yu+2e两边积分得

ln(u+2eu)= ln y+ln C, 即y(u+2eu)=C, 将u=

x代入上式得原方程的通解 y

x

x

x y(+2ey)=C, 即x+2yey=C. y

2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: (1)(y2 3x2)dy+2xydx=0, y|x=0=1; 解 这是齐次方程. 令u=

y

, 即y=xu, 则原方程化为 x

(x2u2 3x2)(udx+xdu)+2x2udx=0,

2u 3du=1dx, 或( 3+1+1du=1dx

即

xuu+1u 1xu u两边积分得

3ln |u|+ln|u+1|+ln|u 1|=ln|x|+ln|C|, 即u2 1=Cxu3, 将u=

y

代入上式得原方程的通解 x

y2 x2=Cy3.

由y|x=0=1得C=1, 故所求特解为y2 x2=y3. (2)y′=

x+y, y|=2;

x=1

yxy

解 令u=, 则原方程化为

x

du=1+u, 即udu=1dx,

u+x

dxux

1u2=lnx+C, 2

两边积分得

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

将u=

y

代入上式得原方程的通解 x

y2=2x2(ln x+C).

由y|x=1=2得C=2, 故所求特解为y2=2x2(ln x+2).

(3)(x2+2xy y2)dx+(y2+2xy x2)dy=0, y|x=1=1. 解 这是齐次方程. 令u=

y

, 即y=xu, 则原方程化为 x

(x2+2x2u x2u2)dx+(x2u2+2x2u x2)(udx+xdu)=0,

u2+2u 1du= 1dx,

xu3+u2+u+1

1 2udu=1dx,

或 (

u+1u2+1x

即

两边积分得

ln|u+1| ln(u2+1)=ln|x|+ln|C|, 即u+1=Cx(u2+1), 将u=

y

代入上式得原方程的通解 x

x+y=C(x2+y2).

由y|x=1=1得C=1, 故所求特解为x+y=(x2+y2).

3. 设有连结点O(0, 0)和A(1, 1)的一段向上凸的曲线弧OA, 对于OA上任一点P(x, y), 曲线弧OP与直线段所围图形的面积为x2, 求曲线弧OA的方程. 解 设曲线弧OA的方程为y=y(x). 由题意得

∫0y(x)dx 2xy(x)=x2,

1y(x) 1xy′(x)=2x, 22

x

1

两边求导得 y(x) 即 y′=令u=

y

4. x

y

, 则有 x

du=u 4, 即1du= 4dx,

u+x

dxux

两边积分得

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

u= 4ln x+C . 将u=

y

代入上式得方程的通解 x

y= 4xln x+Cx.

由于A(1, 1)在曲线上, 即y(1)=1, 因而C=1, 从则所求方程为y= 4xln x+x.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0t51.html