趣味数学-消去法 - 图文

趣味数学之消去法

温故知新，转换思维

对于一些并列条件的应用题，根据已知条件，可以把题中的数量关系对应的排列起来，再根据题中数据特点，通过分析比较，去同存异，设法抵消掉其中的一个或两个未知数，求出其它的未知数，这种解决问题的策略方法就叫做消去法。

在小学，对于这类问题的解决方式通常是把已知条件写成数量关系式并对这些关系式进行分析、对比，再利用运算把关系式进行变形，消去其中的一个未知量，达到解题效果。

在初中，对于这类问题，我们往往根据题目中的等量关系，列出含有两个或者两个以上的方程组，然后根据方程组的特征，采用代入法或加减法，转变为只含有一个未知数的方程，达到解题效果。

消去法是一种很重要的数学思想方法，是分析问题、解决问题的基本思想方法之一，也是初中解答一次方程组的主要方法之一，适当渗透，有利于后期学习。

1、6筐花生和6筐大豆共重96千克，1筐花生和1筐大豆共重（ ）千克。 2、5件上衣和5条裤子共值400元，15件上衣和15条裤子共值（ ）元。

学法点击，举一反三

例1 .2条毛巾和3条枕巾共48元，5条毛巾和4条枕巾共78元，，一条毛巾和一条枕巾各多少元？

解析：根据题意，可得出下列等量关系：

2条毛巾的价钱+3条枕巾的价钱=48（元）(1) 5条毛巾的价钱+4条枕巾的价钱=78（元）(2)

用等式 2) 减去等式 1) 得

3条毛巾的价格+1条枕巾的价格=30（元） 3) 把等式 3) 的每一个量都乘以3得， 9条毛巾的价格+3条枕巾的价格=90（元）(4)

用等式 (4) 减去等式 1) 得 7条毛巾的价格= 42（元） 解：由题意可知，3条毛巾和1条枕巾的价格：78-48=30（元）

9条毛巾和3条枕巾的价格:30?3=90（元） 7条毛巾的价格：90-48=42 （元） 1条毛巾的价格：42÷7=6（元） 1条枕巾的价格：(48-6?2)÷3=12（元）

答：1条毛巾的价格是6元，1条枕巾的价格是12元。

例2.下面是老牛和小马的一段对话：

解析：根据对话，可得出下列等量关系：

老牛驮的包裹数 + 小马驮的包裹数=11（个）(1) 老牛驮的包裹数 - 小马驮的包裹数=3（个） (2)

等式 (1) +等式 (2) 得，2倍的老牛驮的包裹数=11+3 （个） (3) 等式(3)除以2，可以求得老牛驮的包裹，进而求出小马驮的包裹数。 除了上述分析思路，本题还可以列方程组求解。 解：设老牛驮的包裹数为x，小马驮的包裹数为y.

(1) + (2)得，2x=11+3

所以x=7

把x=7带入(1)得，7+y=11 所以 y=4

?x?7 ?

?y?4答：老牛驮的包裹数为7，小马驮的包裹数为4.

3头牛和15只羊一天共吃草67.5kg，1头牛一天吃的草是1只羊一天吃的草 的2.5倍，1头牛和1只羊每天各吃青草多少千克？

例3.小明和甜甜的压岁钱共计320元，小瑞和甜甜的压岁钱共计290元，小明和小瑞的压岁钱共计330元，求他们三个每个人的压岁钱数目。 解析：本题中有三个等量关系：

小明的压岁钱+甜甜的压岁钱=320 (1) 甜甜的压岁钱+小瑞的压岁钱=290 (2) 小明的压岁钱+小瑞的压岁钱=330 (3)

解：设小明的压岁钱为x，甜甜的压岁钱为y，小瑞的压岁钱为z.

(1)+(2)+(3)得， 2x+2y+2z =940 (4) (4)÷2，得x+y+z = 470 (5) (5) - (1) 得 z=150 (5) - (2) 得 x=180 (5) - (3) 得 y=140

?x?180? ?y?140

?z?150?答：小明的压岁钱为180元，甜甜的压岁钱为140元，小瑞的压岁钱为150元.

妈妈去商店买水果，第一次买回苹果、橘子各1kg，共10元；第二次买回 橘子、梨各2千克，共用18元；第三次买回苹果、梨2千克，共用22元， 求三种水果的单价各是多少？

总结新知，提升自我

应用消去法解答较复杂的的应用题，需要运用到等式的基本性质：在等式

的两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。根据这个性质可以将题目中所给的条件适当转化，设法使题中某一项在前后不同的等量关系中，具有相等的数量，从而可以抵消掉这一项。

解题策略：先梳理好题目给出的条件，列出相应的等量关系式，在每个等量关系式中按相同的顺序排列不同的未知项，便于分析、比较、转化条件、抵消未知项、求解。

学以致用，回归生活

1．填空

（1）小明在商店里买了4本练习本和3块橡皮，共付11元，其中一本练习本2

元，一块橡皮（ ）元。

（2）一袋面粉和一袋大米共重72千克，4袋面粉和4袋大米共重（ ）千克。 （3）3行柳树和3行杨树一共有120棵，7行柳树和7行杨树共有（ ）棵。 2. 兰兰和爸爸一起去超市买糖果，原打算买2千克奶糖和3千克酒心糖，共计 63元，结果他们买了2千克奶糖和5千克酒心糖，一共付出93元，求每千克 奶糖多少元？

3. 2头大象和3条蓝鲸共重280吨，6头大象和9条蓝鲸共重多少吨？

4. 丁红买了8盒糖和5盒蛋糕用去155元，王倩买同样的8盒糖和4盒蛋糕用 去140元，一盒糖和一盒蛋糕各多少元？

5. 2篮鸡蛋和3篮鸭蛋共有135个，4篮鸡蛋和5篮鸭蛋共有245个，一篮鸡 蛋和一篮鸭蛋各多少个？

6. 买20千克面粉和35千克大米共花145元，买10千克面粉和25千克大米共花95元。面粉和大米各多少元？

7. 一所中学食堂本周运来大米7袋面粉4袋共重1640千克，上周运来大米3袋面粉6袋共重1560千克，每袋大米、每袋面粉各重多少千克？

8. 育才小学体育组两次购买篮球和足球情况如下图，求篮球和足球的单价多少元？

9. 6本文艺书和3本科技书共84元，3本文艺书和1本科技书36元，一本文艺书和一本科技书各多少元？

10. 甲乙两数的和是36,乙丙两数的和是27,甲丙两数的和是23,甲、乙、丙三数各是多少？

学以致用，能力提升

1. 妈妈去商店买水果，第一次买回苹果、橘子、梨各2千克，共14元；第二次买回苹果4千克、橘 子3千克、梨2千克，共用21.5元；第三次买回苹果5千克、橘子4千克、梨2千克，共用26元。求 三种水果的单价各是多少？

2.有甲、乙、丙、丁四袋小球，甲、乙两袋共有83个小球，乙、丙两袋共有个，丙、丁两袋共有88个。那么甲、丁两袋共有多少个？

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