经济数学典型案例

经济应用典型问题

1．按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2%，半年期存款的年利率为4.0%，每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款，设将总数为A单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款能有较多的收益，多多少？ 解 (ⅰ)设货币存一年期，则一年后货币总数为：A?1?4.2%? 两个后货币总数：A?1?4.2%??1?4.2%??A?1?4.2%??1.085764A (ⅱ)设货币存半年期，则存半年的利率：2.0% 半年后货币总数：A?1?2.0%?

一年后货币总数：A?1?2.0%??1?2.0%??A?1?2.0%? 一年半后货币总数：A?1?2.0%??1?2.0%??A?1?2.0%?

两年后货币总数：A?1?2.0%??1?2.0%??A?1?2.0%??1.082432A

比较(ⅰ)，(ⅱ)知货币存一年期有较多收益，多0.00333A.

2.某工厂生产某种产品，年产量为x，每台售价250元，当年产量为600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多，本年就售不出去了，建立本年的销售总收入R与年产量x的函数关系. 解 (ⅰ)当0?x?600时，R?250x

(ⅱ)当600?x?800时，R?250x?20?x?600??230x?1.2?104 (ⅲ) 当x?800时，R?800?250?20?200?1.96?105

0?x?600?250x,? 故R?x???230x?1.2?104,600?x?800

?1.96?105,x?800?3423223.某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台60元. (1)要卖多少台手掌机，厂家才可保本（收回投资）；

(2)卖掉100台的话，厂家赢利或亏损了多少？ (3)要获得1250元利润，需要卖多少台？

解 (1)设厂家生产的台数为x，则总成本c?x??7500?60x 总收益R?x??110x，令R?x??c?x?，110x?7500?60x 解得：x?150

故要卖150台，厂家才可保本.

(2) c?100??7500?60?100?13500,R?100??11000

c?100??R?100??2500

故卖掉100台的话，厂家亏损2500元

(3)L?x??R?x??c?x??110x?7500?60x?50x?7500 L?x??1250，则50x?7500?1250，解得x?175

故要获得1250元利润，需卖175台. 4.有两家健身俱乐部，第一家每月会费300元，每次健身收费1元，第二家每月会费200元，每次健身收费2元，若只考虑经济因素，你会选择哪一家俱乐部（根据你每月健身次数决定）？

解 设每月健身次数为x， 则第一家每月总费用c1?300?x 第二家每月总费用c2?200?2x

令c1?c2，则300+x=200+2x,解得：x=100 当0?x?100时，c1?c2这时选择第二家俱乐部 当x?100时，c1?c2，这时选择第一家俱乐部 当x?100时，c1?c2，这时选择任一家俱乐部 5.设某商品的需求函数与供给函数分别为D?P??5600P和S?P??P?10.

(1)找出均衡价格，并求此时的供给量与需求量； (2)在同一坐标中画出供给与需求曲线；

(3)何时供给曲线过P轴，这一点的经济意义是什么？ 解 (1)令D?P??S?P?，则

5600P?P?10，解得：P?80

560080?70 故均衡价格为80，此时供给量与需求量为：

(2)

(3)令S?P??0，即P?10?0,P?10，故价格P?10时，供给曲线过P轴，这一点的经济意义是当价格低于10时，无人供货.

6.某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时超过的部分需打9折出售，请将销售总收益与总销售量的函数关系用数字表达式表出.

解 Q为销售量，R?Q?为总收益。

由题意知y是x的一次函数，故设y?ax?b 且当x?200时，y?60；当x?210，y?59， 故有???60?200a?b?a??0.1??

59?210a?bb?80??? 故y??0.1x?80

故租金为x时，饭店房租收入为：

R?x??xy??0.1x?80x??0.1?x?400??1600022

故租金为400元/套时，房租收入最大，为16000元，

当x?400时，y?40，此时饭店将空出20套高级客房.

（图形略）

7.收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购100台售价就降低1元，但最低价为每台75元： (1)将每台的实际售价P表示为订购量x的函数； (2)将厂方所获的利润L表示成订购量x的函数； (3)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 解 (1)当0?x?100时，P?x??90

当x?100时，由题意P是x的一次函数

设P?ax?b，当x?100时，P?90，当x?200时，P?89 故??90?100a?b?89?200a?b，解得：??a??0.01?b?91，故P?91?0.01x

但P?75，故91?0.01x?75，即x?1600 故当100?x?1600时，P?91?0.01x 当x?1600时，P?75

0?x?100?90,? 故P??91?0.01x,100?x?1600

?75,x?1600? (2)(ⅰ)当0?x?100时，P?90，收益R?Px?90x，成本C?60x 故利润L?R?C?90x?60x?30x

(ⅱ)当100?x?1600时，P?91?0.01x，收益R??91?0.01x?x，成本C?60x

故利润L?R?C??91?0.01x?x?60x

(ⅲ)当x?1600时，P?75，收益R?75x，成本C?60x 故利润L?R?C?75x?60x?15x

0?x?100?30x,? 故利润L???91?0.01x?x?60x,100?x?1600

?15x,x?1600? (3)当x?1000时，L??91?0.01?1000??1000?60?1000?21000 故厂方可获21000元的利润.

8.一种汽车出厂价45000元，使用后它的价值按年降价率的标准贬值，试求此车的价

31值y（元）与使用时间t（年）的函数关系. 解 使用一年的汽车的价值y?45000?1??

?3??1?1??1?1??? 使用两年的汽车的价值y?45000?1???1???45000?1??

3??3?3???1???2? 故使用t年的汽车的价值y?45000?1???45000??

3???3?tt2 9.某大楼有50间办公室出租，若定价每间每月租金120元，则可全部租出，租出的办

公室每月需由房主负担维修费10元，若每月租金每提高一个5元，将空出一间办公室，试求房主所获得利润与闲置办公室的间数的函数关系，并确定每间月租金多少时才能获得最大利润？这时利润是多少？

解 设x为每间月租金，y为闲置办公室的间数，L为利润 则L??50?y??x?10?

由已知当x?120时，y是x的一次函数，故设 y?ax?b，当x?120时，y?0；当x?125,y?1

?1??0?120a?b?a??? 故有 ? 51?125a?b???b??24,? 故 y?15x?24， 则x?5y?120

故L??50?y??5y?120?10???50?y??5y?110? 即L??5?y?14??6480,y??0,50?

故当y?14，即当闲置办公室14间时，可获得最大利润，最大利润为6480元，此时每间月租金为190元

10. 每印一本杂志的成本为1.22元，每售出一本杂志仅能得1.20元的收入，但销售额

2超过15000本时还能取得超过部分收入的10%作为广告费收入，试问应至少销售多少本杂志才能保本？ 销售量达到多少时才能获利达1000元？ 解 (ⅰ)设x为销售量，则成本C?1.22x 收益R?1.20x??x?15000??1.20?10%

令C?R，则1.22x?1.20x??x?15000??1.20?10% 解得：x?18000

故至少销售18000本杂志才能保本.

(ⅱ) L?R?C?1.20x??x?15000??1.20?10%?1.22x?0.1x?1800

令L?1000，则0.1x?1800?1000，解得x?28000 故销售量达到28000时才能获利达1000元. 11.某企业计划发行公司债券，规定以年利率6.5%的连续复利计算利息，10年后每份债券一次偿还本息1000元，问发行时每份债券的价格应定为多少元？ 解 设发行时每份债券的价格定为

1000?A0e6.5%?10A0元，则

?A0e0.65，∴A0?1000?e?0.65?522.046(元)

12.一片森林现有木材am3，若以年增长率1.2%均匀增长，问t年后，这片森林有木材多少？

1.2%??0.012?ae解 一年后森林木材数：y1?lima?1? ?n??n??1.2%??二年后森林木材数：y2?lima?1??n??n??2nn?ae0.012?2

1.2%?? 故t年后森林木材数：yt?lima?1??n??n??tn?a?e0.012t.

13.国家向某企业投资2万元，这家企业将投资作为抵押品向银贷款，得到相当于抵押品价格80%的贷款，该企业将这笔贷款再次进行投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于新抵押品价格80%的贷款，该企业又将新贷款进行再投资，这样贷款—投资—再贷款—再投资，如此反复扩大再投资，问其实际效果相当于国家投资多少万元所产生的直接效果？

解 设Sn?2?2?0.8?2?0.82???2?0.8n?1

n?2??1?(0.8)? 则limSn?lim[2?2?0.8???2?0.8n??n??n?1]?limn??1?0.8?20.2?10

故其实际效果相当于国家投资10万元所产生的直接效果.

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