2014届高考数学（山东专用理科）一轮复习教学案第二章函数2.4一次函数、二次函数

2.4 一次函数、二次函数

考纲要求

1．理解并掌握一次函数、二次函数的定义、图象及性质． 2．会求二次函数在闭区间上的最值．

3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．

1．一次函数、二次函数的定义及性质 函数 一次函数 名称 解析式 y＝kx＋b(k≠0) k＞0 k＜0 [来源:Z_xx_k.Com]二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) a＞0 a＜0 [来源学#科#网Z#X#X#K][来源学。科。网][来源:Zxxk.Com]图象 ZXXK][来源学科网定义域 值域 __________ __________ 在(－∞，单调性 ＋∞)上是______ 奇偶性 在(－∞，＋∞)上是______ 当b≠0时，__________； 当b＝0时，______ 周期性 非周期函数 顶点 过原点时，关于____对称 对称性 k＝0时，关于____对称 2．二次函数的解析式 (1)一般式：f(x)＝______________；

(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x)＝______________； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝______________. 1

1．在同一坐标系内，函数y＝xa(a＜0)和y＝ax＋的图象可能是如图中的( )．

a

__________ __________ __________ 在________上在________上是减函数； 是增函数； 在________上在________上是增函数 是减函数 当b≠0时，__________； 当b＝0时，______ 非周期函数 ____________ 图象关于直线________成轴对称图形 2．“a＜0”是“方程ax＋1＝0有一个负数根”的( )． A．必要不充分条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是

2

__________．

4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝__________.

5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为__________．

一、一次函数的概念与性质的应用

【例1－1】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则函数f(x)＝__________.

【例1－2】已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，m为何值时， (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数；

(3)函数值y随x的增大而减小． 方法提炼

一次函数y＝kx＋b中斜率k与截距b的认识：一次函数y＝kx＋b中的k满足k≠0这一条件，当k＝0时，函数y＝b，它不再是一次函数，通常称为常数函数，它的图象是一条与x轴平行或重合的直线．

请做演练巩固提升3

二、求二次函数的解析式

【例2】已知二次函数f(x)同时满足条件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值为15；

(3)f(x)＝0的两根立方和等于17. 求f(x)的解析式． 方法提炼

在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式： (1)已知三个点的坐标，应选择一般形式；

(2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式； (3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择两根式． 提醒：求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当，引入的系数过多，会加大运算量，易出错．

请做演练巩固提升2

三、二次函数的综合应用

【例3－1】设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题： ①c＝0时，f(x)是奇函数；

②b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实根； ③f(x)的图象关于(0，c)对称； ④方程f(x)＝0至多有两个实根． 其中正确的命题是( )． A．①④ B．①③ C．①②③ D．②④

【例3－2】(2012北京高考)已知f(x)＝m(x－2m)·(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，则m的取值范围是__________．

方法提炼

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与各系数间的关系： (1)a与抛物线的开口方向有关； (2)c与抛物线在y轴上的截距有关；

b

(3)－与抛物线的对称轴有关；

2a2

(4)b－4ac与抛物线与x轴交点的个数有关．

2．关于不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)在R上的恒成立问题：

?a>0，?a＝b＝0，??

解集为R??或?

?Δ<0???c>0.????a<0，?a＝b＝0，?或??解集为R????Δ<0?c<0.?

? ??

请做演练巩固提升5

分类讨论思想在二次函数中的应用

【典例】(12分)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值；

(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．

分析：(1)求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可．(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起．(3)对a讨论时，要找到恰当的分类标准．

规范解答：(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a＞0， 即a＜0，由a2≥1知a≤－1，

因此，a的取值范围为(－∞，－1]．(3分) (2)记f(x)的最小值为g(a)，则有 f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|

a?22a2??①?3x－＋3，x>a，

＝??3?

②?5分????x＋a?2－2a2，x≤a.

当a≥0时，f(－a)＝－2a2，

由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.

a?22

当a＜0时，f??3?＝3a，若x＞a，

2

则由①知f(x)≥a2.

3

2

若x≤a，由②知f(x)≥2a2＞a2.

3

2

此时g(a)＝a2，

3

－2a，a≥0??2

综上，得g(a)＝?2a.(9分)

??3，a<0

62

(3)①当a∈?－∞，－?∪?，＋∞?时，解集为(a，＋∞)；

2??2??

22??a＋3－2a2??②当a∈－，时，解集为??； ，＋∞?22?3??62

③当a∈?－，－?时，解集为

2??2

?a－3－2a2?∪?a＋3－2a2??a，??，＋∞?.(12分)

33????

2

答题指导：

1．分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一，本题充分体现了分类讨论的

思想方法．

2．在解答本题时有两点容易造成失分：

一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最

值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论．

3．解决函数问题时，以下几点容易造成失分：

(1)含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；

(2)分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；

(3)解一元二次不等式时，不能与二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻． 4．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)给定了定义域为一个区间[k1，k2]时，利用配方法

4ac－b2

求函数的最值是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，

4a

有时要讨论下列四种情况：

k1＋k2bbk1＋k2bb

①－＜k1；②k1≤－＜；③≤－＜k2；④－≥k2.对于这种情况，也

2a2a222a2a

可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值．

1．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )．

2

2．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝( )． A．x2＋x B．x2－x＋1 C．x2＋x－1 D．x2－x－1

3．已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝3x＋2，则f(x)＝__________.

4．(2012重庆高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝__________.

5．函数f(x)＝ax2＋ax－1，若f(x)＜0在R上恒成立，则a的取值范围是__________．

参考答案

基础梳理自测 知识梳理

b4ac－b4ac－b?

－∞，－? 1．R R R ? 增函数 减函数 ?，＋∞? ?－∞，2a??4a??4a??

?－b，＋∞? ?－∞，－b? ?－b，＋∞? 非奇非偶函数 奇函数 非奇非偶函数

2a??2a?2a???2

bb4ac－b?偶函数 ?－， 原点 y轴 x＝－ 2a4a??2a

2．(1)ax2＋bx＋c(a≠0) (2)a(x－h)2＋k(a≠0) (3)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

基础自测 1．B 2．B

m

3．[25，＋∞) 解析：由题意知≤－2，

8

∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25. 4．2 解析：∵f(x)＝(x－1)2＋1， ∴f(x)在[1，b]上是增函数， f(x)max＝f(b)，

∴f(b)＝b，即b2－2b＋2＝b.

∴b2－3b＋2＝0.∴b＝2或b＝1(舍)．

a＋2

5．5 解析：由题意知－＝1，

2

解得a＝－4，∴b＝6.

则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5， 当x∈[－4,6]时，f(x)min＝5. 考点探究突破

【例1－1】 2x＋7 解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 3f(x＋1)－2f(x－1)

＝3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b] ＝3k(x＋1)＋3b－2k(x－1)－2b ＝kx＋5k＋b，

由题意得，kx＋5k＋b＝2x＋17， ?k＝2，?k＝2，??∴?解得? ??5k＋b＝17，b＝7.??∴f(x)＝2x＋7.

?2m－1≠0，?

【例1－2】 解：(1)当?

?1－3m＝0，?

1

即m＝时，函数为正比例函数．

3

1

(2)当2m－1≠0，即m≠时，函数为一次函数．

21

(3)当2m－1＜0，即m＜时，函数为减函数，y随x的增大而减小．

2

【例2】 解：依条件，设 f(x)＝a(x－1)2＋15(a＜0)， 即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15.

令f(x)＝0，即ax2－2ax＋a＋15＝0，

15

∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋. a

2

2

而x13＋x23＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)

15901＋?＝2－， ＝23－3×2×?a??a

90

∴2－＝17，则a＝－6.

a

∴f(x)＝－6x2＋12x＋9.

【例3－1】 C 解析：c＝0时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数，排除D；

b＝0，c＞0时，f(x)＝x|x|＋c＝0，

∴x≥0时，x2＋c＝0无解，x＜0时，f(x)＝－x2＋c＝0，∴x＝－c，只有一个实数根，排除A，B，故选C.

【例3－2】 (－4,0) 解析：由题意可知，m≥0时不能保证对?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0成立．

(1)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2，g(x)＝2x－2，画出图象①，显然满足条件；

??－1

(2)当－1＜m＜0时，2m＞－(m＋3)，要使其满足条件，则需?解得－1＜m

?2m<1，?

＜0，如图②；

??m<－1，

(3)当m＜－1时，－(m＋3)＞2m，要使其满足条件，则需?解得－4＜m

?－(m＋3)<1，?

＜－1，如图②.

综上可知，m的取值范围为(－4,0)． 演练巩固提升 1．C

2．B 解析：令f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)， ∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴2ax＋(a＋b)＝2x. ???2a＝2，?a＝1，∴?得? ?a＋b＝0，?b＝－1.??

∴f(x)＝x2－x＋1，故选B.

3．3x＋3－1或－3x－3－1 解析：令f(x)＝ax＋b，

则f[f(x)]＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝3x＋2.

2??a＝3，?a＝－3，?a＝3，∴?∴?或? ?ab＋b＝2，??b＝3－1?b＝－3－1.

∴f(x)＝3x＋3－1或f(x)＝－3x－3－1.

4．4 解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a.因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝x2＋(4－a)x－4a＝x2＋(a－4)x－4a，a－4＝4－a，a＝4.

5．－4＜a≤0 解析：当a＝0时，f(x)＝－1＜0，

当a≠0时，若f(x)＜0在R上恒成立，

??a<0，则有?即－4＜a＜0. 2

?Δ＝a＋4a<0，?

综上得－4＜a≤0.

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