2016年山东省东营市中考数学试卷

2016年山东省东营市中考数学试卷

一、选择题：每小题3分，共30分 1．（3分）（2016?东营）A．﹣2B．2C．D．

的倒数是（ ）

2．（3分）（2016?东营）下列计算正确的是（ ）

326221266

A．3a+4b=7abB．（ab）=abC．（a+2）=a+4D．x÷x=x 3．（3分）（2016?东营）如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）

A．30°B．35°C．40°D．50° 4．（3分）（2016?东营）从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（ ）

A．B．C．D．

，其解集在数轴上表示正确的是（ ）

5．（3分）（2016?东营）已知不等式组

A．B．C．

D．

6．（3分）（2016?东营）东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优

秀传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小婕从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ） A．B．

C．D．

7．（3分）（2016?东营）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）

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A．40cmB．50cmC．60cmD．80cm 8．（3分）（2016?东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 9．（3分）（2016?东营）在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）

A．10B．8C．6或10D．8或10 10．（3分）（2016?东营）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：

①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=． 其中正确的结论有（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个

二、填空题：11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分 11．（3分）（2016?东营）2016年第一季度，东营市实现生产总值787.68亿元，比上年同期提高了0.9个百分点，787.68亿元用科学记数法表示是 元．

3

12．（3分）（2016?东营）分解因式：a﹣16a= ． 13．（3分）（2016?东营）某学习小组有8人，在一次数学测验中的成绩分别是：102，115，100，105，92，105，85，104，则他们成绩的平均数是 ． 14．（3分）（2016?东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是 ．

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15．（4分）（2016?东营）如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是 ．

16．（4分）（2016?东营）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5

cm，且tan∠EFC=，那么矩形ABCD的周长为 cm．

17．（4分）（2016?东营）如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为 ．

18．（4分）（2016?东营）在求1+3+3+3+3+3+3+3+3的值时，张红发现：从第二个加

2345678

数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+3+3+3+3+3+3+3①，

23456789

然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+3+3+3+3+3+3+3+3②，

99

②﹣①得，3S﹣S=3﹣1，即2S=3﹣1， 所以S=

．

2

3

4

5

6

7

8

得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出

2342016

1+m+m+m+m+…+m的值？如能求出，其正确答案是 ．

三、解答题：共7小题，共62分 19．（7分）（2016?东营）（1）计算：（

）+（π﹣3.14）﹣2sin60°﹣

﹣1

0

+|1﹣3|；

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（2）先化简，再求值： （a+1﹣

）÷（

），其中a=2+

．

20．（8分）（2016?东营）“校园安全”受到全社会的广泛关注，东营市某中学对部分学生就

校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ； （2）请补全条形统计图；

（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；

（4）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率． 21．（8分）（2016?东营）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB． （1）求证：AB是圆的切线；

（2）若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB=，AB：BC=2：3，求圆的直径．

22．（8分）（2016?东营）东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；

（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？

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23．（9分）（2016?东营）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．

24．（10分）（2016?东营）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H． ①求证：BD⊥CF；

②当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．

25．（12分）（2016?东营）在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．

（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；

（2）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；

（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

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2016年山东省东营市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题3分，共30分 1．（3分）（2016?东营）A．﹣2B．2C．D．

的倒数是（ ）

【考点】倒数． 【专题】常规题型．

【分析】根据倒数的定义求解． 【解答】解：﹣的倒数是﹣2．

故选：A．

【点评】本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记定义． 2．（3分）（2016?东营）下列计算正确的是（ ）

326221266

A．3a+4b=7abB．（ab）=abC．（a+2）=a+4D．x÷x=x

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 【专题】推理填空题．

【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可． B：根据积的乘方的运算方法判断即可． C：根据完全平方公式判断即可．

D：根据同底数幂的除法法则判断即可． 【解答】解：∵3a+4b≠7ab， ∴选项A不正确；

∵（ab）=ab， ∴选项B不正确；

∵（a+2）=a+4a+4， ∴选项C不正确；

∵x÷x=x， ∴选项D正确． 故选：D． 【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

m

（2）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a）nmnnnn=a（m，n是正整数）；②（ab）=ab（n是正整数）．

（3）此题还考查了完全平方公式的应用，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．

第7页（共36页）

12

6

62

2

3226

3．（3分）（2016?东营）如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）

A．30°B．35°C．40°D．50° 【考点】平行线的性质．

【分析】首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．

【解答】解：如图，∵直线m∥n， ∴∠1=∠3， ∵∠1=70°， ∴∠3=70°，

∵∠3=∠2+∠A，∠2=30°， ∴∠A=40°， 故选C．

【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出∠3的度数，此题难度不大． 4．（3分）（2016?东营）从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（ ）

A．B．C．

D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

【解答】解：从上面看是一个正方形，正方形的左下角是一个小正方形， 故选：B．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．

5．（3分）（2016?东营）已知不等式组

，其解集在数轴上表示正确的是（ ）

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A．B．C．

D．

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 【专题】数形结合．

【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项． 【解答】解：

∵解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x≥﹣1，

∴不等式组的解集为：x＞3， 在数轴上表示不等式组的解集为：

故选：B．

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式（组）的应用，关键是能正确在数轴上表示不等式组的解集． 6．（3分）（2016?东营）东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小婕从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ） A．B．

C．D．

【考点】概率公式．

【分析】直接根据概率公式即可得出结论．

【解答】解：∵共设有20道试题，创新能力试题4道， ∴他选中创新能力试题的概率=

=．

故选A．

【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 7．（3分）（2016?东营）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）

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A．40cmB．50cmC．60cmD．80cm 【考点】圆锥的计算． 【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．

【解答】解：∵圆锥的底面直径为60cm， ∴圆锥的底面周长为60πcm， ∴扇形的弧长为60πcm， 设扇形的半径为r，

则=60π，

解得：r=40cm， 故选A．

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解． 8．（3分）（2016?东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【专题】数形结合．

【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行求解．

【解答】解：∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，

∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故选D．

【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 9．（3分）（2016?东营）在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）

A．10B．8C．6或10D．8或10

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【考点】勾股定理．

【分析】分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABC与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示， 如图1所示，AB=10，AC=2，AD=6， 在Rt△ABD和Rt△ACD中，

根据勾股定理得：BD=此时BC=BD+CD=8+2=10； 如图2所示，AB=10，AC=2在Rt△ABD和Rt△ACD中， 根据勾股定理得：BD=则BC的长为6或10． 故选C．

=8，CD==2，

，AD=6， =8，CD=

=2，此时BC=BD﹣CD=8﹣2=6，

【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

10．（3分）（2016?东营）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：

①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=． 其中正确的结论有（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个 【考点】相似形综合题．

【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；

②由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以，故②正确；

③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；

④CD与AD的大小不知道，于是tan∠CAD的值无法判断，故④错误． 【解答】解：过D作DM∥BE交AC于N， ∵四边形ABCD是矩形，

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∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC， ∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF， ∴

，

∵AE=AD=BC， ∴

，

∴CF=2AF，故②正确， ∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM=DE=BC，

∴BM=CM， ∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF，

∴DF=DC，故③正确；

设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有∵tan∠CAD=∴tan∠CAD=故选C．

， ，故④错误，

．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键．

二、填空题：11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分 11．（3分）（2016?东营）2016年第一季度，东营市实现生产总值787.68亿元，比上年同期提高了0.9个百分点，787.68亿元用科学记数法表示是 7.8768×1010 元． 【考点】科学记数法—表示较大的数．

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【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

10

【解答】解：将787.68亿用科学记数法表示为7.8768×10．

10

故答案为：7.8768×10．

n

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（3分）（2016?东营）分解因式：a﹣16a= a（a+4）（a﹣4） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

2

【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．平方差公式：a﹣2

b=（a+b）（a﹣b）．

3

【解答】解：a﹣16a，

2

=a（a﹣16）， =a（a+4）（a﹣4）． 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，难点在于需要进行二次分解． 13．（3分）（2016?东营）某学习小组有8人，在一次数学测验中的成绩分别是：102，115，100，105，92，105，85，104，则他们成绩的平均数是 101 ． 【考点】算术平均数．

【分析】根据算术平均数的计算公式列式计算即可得解．

n

3

【解答】解：=（102+115+100+105+92+105+85+104）=×808=101．

故答案为：101．

【点评】本题考查了算术平均数，是基础题，准确计算是解题的关键． 14．（3分）（2016?东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是 4 ．

【考点】平行四边形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理．

【分析】首先证明BC∥AE，当DE⊥BC时，DE最短，只要证明四边形ABDE是矩形即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ADCE是平行四边形， ∴BC∥AE，

∴当DE⊥BC时，DE最短， 此时∵∠B=90°， ∴AB⊥BC， ∴DE∥AB，

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∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠B=90°，

∴四边形ABDE是矩形， ∴DE=AB=4，

∴DE的最小值为4． 故答案为4．

【点评】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是找到DE的位置，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型． 15．（4分）（2016?东营）如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是 x＞3 ．

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】观察函数图象得到当x＞3时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞3． 【解答】解：当x＞3时，x+b＞kx+4， 即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞3． 故答案为：x＞3．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 16．（4分）（2016?东营）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，

已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=，那么矩形ABCD的周长为 36 cm．

【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．

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【分析】根据tan∠EFC的值，可设CE=3k，在RT△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，根据∠BAF=∠EFC，利用三角函数的知识求出AF，然后在RT△AEF中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案． 【解答】解：∵tan∠EFC=，

∴设CE=3k，则CF=4k， 由勾股定理得EF=DE=5k， ∴DC=AB=8k，

∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∴tan∠BAF=tan∠EFC=， ∴BF=6k，AF=BC=AD=10k， 在Rt△AFE中由勾股定理得AE=

=

=5

，

解得：k=1，

故矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm， 故答案为：36．

【点评】此题考查了矩形的性质以及翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答，有一定难度． 17．（4分）（2016?东营）如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为 25 ．

【考点】扇形面积的计算．

【分析】根据扇形面积公式：S=?L?R（L是弧长，R是半径），求出弧长BD，根据题意BD=AD+DC，由此即可解决问题． 【解答】解：由题意S扇形ADB=?故答案为25．

【点评】本题考查扇形面积公式，解题的关键是记住扇形面积公式S=中考常考题型．

18．（4分）（2016?东营）在求1+3+3+3+3+3+3+3+3的值时，张红发现：从第二个加

2345678

数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+3+3+3+3+3+3+3①，

23456789

然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+3+3+3+3+3+3+3+3②，

第15页（共36页）

2

3

4

5

6

7

8

=AD+CD=10，

?AB=×10×5=25，

=LR，属于

②﹣①得，3S﹣S=3﹣1，即2S=3﹣1， 所以S=

．

99

得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出

2342016

1+m+m+m+m+…+m的值？如能求出，其正确答案是 \\frac{{m}^{2017}﹣1}{m﹣1}（m≠0且m≠1） ．

【考点】规律型：数字的变化类．

2342016

【分析】仿照例子，将3换成m，设S=1+m+m+m+m+…+m（m≠0且m≠1），则有

2342017

mS=m+m+m+m+…+m，二者做差后两边同时除以m﹣1，即可得出结论．

2342016

【解答】解：设S=1+m+m+m+m+…+m（m≠0且m≠1）①，

2342017

将①×m得：mS=m+m+m+m+…+m②，

由②﹣①得：mS﹣S=m

2017

﹣1，即S=，

∴1+m+m+m+m+…+m

2342016

=（m≠0且m≠1）．

故答案为：（m≠0且m≠1）．

【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是仿照例子计算

2342016

1+m+m+m+m+…+m．本题属于基础题，难度不大，本题其实是等比数列的求和公式，但初中未接触过该方面的知识，需要借助于错位相减法来求出结论，此题中尤其要注意m的取值范围．

三、解答题：共7小题，共62分 19．（7分）（2016?东营）（1）计算：（（2）先化简，再求值： （a+1﹣

）÷（

），其中a=2+

．

）+（π﹣3.14）﹣2sin60°﹣

﹣1

0

+|1﹣3|；

【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）原式=2016+1﹣﹣2+3﹣1 =2016；

（2）原式=

÷

第16页（共36页）

=÷

=?

=a（a﹣2）．

当a=2+时，原式=（2+）（2+﹣2）=3+2．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值． 20．（8分）（2016?东营）“校园安全”受到全社会的广泛关注，东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90° ；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；

（4）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率． 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；

（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图； （3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；

（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%， ∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；

∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：故答案为：60，90°；

第17页（共36页）

×360°=90°；

（2）60﹣15﹣30﹣10=5； 补全条形统计图得：

（3）根据题意得：900×

=300（人），

则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人；

（4）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况， ∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：

=．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21．（8分）（2016?东营）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB． （1）求证：AB是圆的切线；

（2）若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB=，AB：BC=2：3，求圆的直径．

【考点】切线的判定． 【分析】（1）欲证明AB是圆的切线，只要证明∠ABC=90°即可．

（2）在RT△AEB中，根据tan∠AEB=，求出BC，在在RT△ABC中，根据AB即可．

第18页（共36页）

=求出

【解答】（1）证明：∵BC是直径， ∴∠BDC=90°，

∴∠ACB+∠DBC=90°， ∵∠ABD=∠ACB， ∴∠ABD+∠DBC=90° ∴∠ABC=90° ∴AB⊥BC，

∴AB是圆的切线．

（2）解：在RT△AEB中，tan∠AEB=， ∴

=，即AB=BE=

=，

，

在RT△ABC中，∴BC=AB=10，

∴圆的直径为10．

【点评】本题考查切线的判定、三角函数等知识，解题的关键是记住经过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，属于中考常考题型． 22．（8分）（2016?东营）东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；

（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍列出方程解答即可；

（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，根据题意列出不等式解答即可． 【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），可得：

，

解得：x=50，

经检验x=50是原方程的解，

答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；

（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，可得：50×（1+10%）×（50﹣y）+70×（1﹣10%）y≤2900，

解得：y≤18.75，

由题意可得，最多可购买18个乙种足球， 答：这所学校最多可购买18个乙种足球．

第19页（共36页）

【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解． 23．（9分）（2016?东营）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；

（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标． 【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2， ∴BE=OB+OE=6． ∵CE⊥x轴， ∴∠CEB=90°．

在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO=， ∴CE=BE?tan∠ABO=6×=3，

结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）． ∵点C在反比例函数y=的图象上， ∴m=﹣2×3=﹣6，

第20页（共36页）

∴反比例函数的解析式为y=﹣．

（2）∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上， ∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=， ∴OA=OB?tan∠ABO=4×=2．

∵S△BAF=AF?OB=（OA+OF）?OB=（2+）×4=4+∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上， ∴S△DFO=×|﹣6|=3． ∵S△BAF=4S△DFO， ∴4+

=4×3，

．

解得：n=，

经验证，n=是分式方程4+∴点D的坐标为（，﹣4）．

=4×3的解，

【点评】本题考查了解直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是：（1）求出点C的坐标；（2）根据三角形的面积间的关系找出关于n的分式方程．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数是关键． 24．（10分）（2016?东营）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

第21页（共36页）

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H． ①求证：BD⊥CF；

②当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．

【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明△CAF≌△BAD，证明结论；

（2）①根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可； ②连接DF，延长AB交DF于M，根据题意和等腰直角三角形的性质求出DM、BM的长，根据勾股定理求出BD的长，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可得到答案． 【解答】解：（1）BD=CF．

理由如下：由题意得，∠CAF=∠BAD=θ， 在△CAF和△BAD中，

，

∴△CAF≌△BAD， ∴BD=CF；

（2）①由（1）得△CAF≌△BAD， ∴∠CFA=∠BDA，

∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NAD=90°， ∴∠CFA+∠FNH=90°，

∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；

②连接DF，延长AB交DF于M，

∵四边形ADEF是正方形，AD=3，AB=2， ∴AM=DM=3，BM=AM﹣AB=1， ∵△ABC绕点A逆时针旋转45°， ∴∠BAD=45°， ∴AM⊥DF， ∴DB=

=

，

∵∠MAD=∠MDA=45°，

∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF， ∴△DMB∽△DHF， ∴

=

，即

=

，

第22页（共36页）

解得，DH=．

【点评】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转变换的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握旋转角的定义和旋转变换的性质、正确作出辅助性是解题的关键． 25．（12分）（2016?东营）在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．

（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；

（2）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；

（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；

（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′

的解析式，再设点M的坐标为：（x，﹣x+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案； （3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4）， ∴点A′的坐标为：（4，0），

∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，

2

设抛物线的解析式为：y=ax+bx+c，

2

第23页（共36页）

∴，

解得：，

2

∴此抛物线的解析式为：y=﹣x+3x+4；

（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b， ∴解得：

， ，

∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，

2

设点M的坐标为：（x，﹣x+3x+4），

则S△AMA′=×4×[﹣x+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x+8x=﹣2（x﹣2）+8， ∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8， ∴M的坐标为：（2，6）；

（3）设点P的坐标为（x，﹣x+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时， ∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0）， ∴点B的坐标为（1，4）， ∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点， ①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ， ∵BQ=4，

2

∴﹣x+3x+4=±4，

2

当﹣x+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3， ∴P1（0，4），P2（3，4）； 当﹣x+3x+4=﹣4时，解得：x3=∴P3（

，﹣4），P4（

2

2

2

2

2

，x2=，﹣4）；

，

②当BQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合； 综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（

，﹣4），P4（

，

﹣4）；

如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．

第24页（共36页）

【点评】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．

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参与本试卷答题和审题的老师有：wkd；放飞梦想；733599；1987483819；zjx111；CJX；sjzx；gsls；王学峰；HLing；wdxwwzy；星期八；弯弯的小河；wd1899；曹先生；zcx；1286697702（排名不分先后） 菁优网

2016年7月17日

第26页（共36页）

考点卡片

1．倒数

（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a?1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a． （2）方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．

【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个数的倒数 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数．

2．科学记数法—表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10的形式，其中a是整数数位只有一位的数，

n

n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10，其中1≤a＜10，n为正整数．】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．

3．实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．

2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．

4．合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．

第27页（共36页）

n

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．

5．规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．

（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．

6．幂的乘方与积的乘方

（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． mnmn

（a）=a（m，n是正整数）

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

nnn

（ab）=ab（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．

7．同底数幂的除法

同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．

a÷a=a （a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；

③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

8．完全平方公式

222

（1）完全平方公式：（a±b）=a±2ab+b．

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．

（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．

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m

n

m﹣n

9．提公因式法与公式法的综合运用 提公因式法与公式法的综合运用．

10．分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．

2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．

11．零指数幂

0

零指数幂：a=1（a≠0）

mmmmm﹣m00由a÷a=1，a÷a=a=a可推出a=1（a≠0）

0

注意：0≠1．

12．负整数指数幂

负整数指数幂：a=1ap（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0；

②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）=（﹣3）×（﹣2）的错误．

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

13．分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间 等等．

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．

14．在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法

第29页（共36页）

﹣2

﹣p

某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．

15．一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解．

16．解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

17．坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．

18．一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；

从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．

当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞﹣bk，不等式kx+b＜0的解为：x＜﹣bk； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜﹣bk，不等式kx+b＜0的解为：x＞﹣bk．

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19．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义

在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．

20．反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，

①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y=k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

21．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=

在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

在同一直角坐标系中有2个交

①当k1与k2同号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=点；

②当k1与k2异号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=

在同一直角坐标系中有0个交

点．

22．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

23．垂线段最短

（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．

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（2）垂线段的性质：垂线段最短．

正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．

（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．

24．平行线的性质 1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．

2、两条平行线之间的距离处处相等．

25．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

222

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a+b=c． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

222

（3）勾股定理公式a+b=c 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．

2222

（4）由于a+b=c＞a，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

26．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言：

如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE=BC．

27．平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等．

③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等．

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（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．

28．矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

29．四边形综合题 四边形综合题．

30．切线的判定

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意：

①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．

②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．

③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．

31．扇形面积的计算

2

（1）圆面积公式：S=πr

（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形=

πR或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）

2

（4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．

（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．

32．圆锥的计算

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（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．

（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

（3）圆锥的侧面积：S侧=?2πr?l=πrl． （4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr+πrl （5）圆锥的体积=×底面积×高

注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．

33．翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．

34．位似变换

（1）位似图形的定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行．

（2）位似图形与坐标

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

35．相似形综合题 相似形综合题．

36．特殊角的三角函数值

（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°=； cos30°=sin45°=

；cos45°=

；tan30°=

；

2

；tan45°=1；

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sin60°=；cos60°=； tan60°=；

（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．

（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

37．简单组合体的三视图

（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．

（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．

（3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等．

38．用样本估计总体

用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布：

从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．

2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．

一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

39．扇形统计图

（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．

（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． （3）制作扇形图的步骤

①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；

④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．

40．条形统计图 （1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．

（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较． （3）制作条形图的一般步骤：

①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．

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②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．

③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少． ④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．

41．算术平均数

（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．

（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则xˉ=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．

（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．

42．概率公式

（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． （2）P（必然事件）=1． （3）P（不可能事件）=0．

43．列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．

（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．

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②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．

③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少． ④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．

41．算术平均数

（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．

（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则xˉ=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．

（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．

42．概率公式

（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． （2）P（必然事件）=1． （3）P（不可能事件）=0．

43．列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．

（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．

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