浙江省2+2考试高数复习资料含真题、模拟和考试大纲

------------------------------------------------------------------------------------------密封线--------------------------------------------------------------------------------------------------- 2009年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》试卷 题 号 得 分 一 二 三 四 五 总 分 复核

考试说明：

1、考试时间为150分钟； 2、满分为150分；

3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效； 4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，

本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）

1．函数 f(x)??得分 阅卷人 ?a?ln(1?x)?b,x?1 在 x?1 处可xe,x?1?导 ，

则 a= ， b= .

x2．若函数 f(x)?0 满足方程 f(x)?22?f(t)dt?1，则

0f(x) = .

3 . 二阶常系数线性非齐次微分方程 y''?y?sinx 的通解是 . 4．设 ??(a,b,c),A???, A* 为 A 的伴随矩阵, 则 A*= .

T5．设 A 为 n 阶方阵，AA?E,E 为 n 阶单位阵, A?0, 则 A?E? .

T6. 袋中有6只红球4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不小于7的概率为 .

二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）

1．二元函数 f(x,y)?x?2y?2lnx?lny 在其定义

域内 ( ) .

（A） 有极小值 （B） 有极大值 （C） 既有极大值也有极小值 （D） 无极值

2. R 为收敛半径的充分必要条件是 ( ) .

22得分 阅卷人 （A）当 x?R 时，

?an?1????nx 收敛，且当 x?R 时

n?an?1????n 发散 xn（B） 当 x?R 时，

?an?1nx收敛，且当 x?R 时

n?an?1??nxn 发散

（C）当 x?R 时，

?n?1??anx收敛，且当 x?R 时

n?n?1anxn 发散

（D）当 ?R?x?R 时，

?an?1??nx收敛，且当 x?R 或 x??R 时

n?an?1??nxn发散

f(x,y)?x3?y33．已知二元函数 f(x,y) 在点 (0,0) 某邻域内连续 ， 且 lim?1 ， 22x?0x?yy?0 则（ ）.

（A） 点 (0,0) 不是二元函数 f(x,y) 的极值点 （B） 点 (0,0) 是二元函数 f(x,y) 的极大值点 （C） 点 (0,0) 是二元函数 f(x,y) 的极小值点 （D） 无法判断点 (0,0) 是否是二元函数 f(x,y) 的极值点

?a11x1?a12x2?????a1nxn?b1?ax?ax?????ax?b?2112222nn24．对于非齐次线性方程组 ?

??????????????????an1x1?an2x2?????annxn?bn以下结论中 不正确 的是 ( ).

(A) 若方程组无解, 则系数行列式 D?0 (B) 若方程组有解, 则系数行列式 D?0 (C) 若方程组有解, 则或有唯一解, 或有无穷多解 (D) D?0 是方程组有唯一解的充分必要条件

5. 某单位电话总机在长度为 t (小时) 的时间间隔内, 收到呼叫的次数服从参数为

t 泊松分布, 3而与时间间隔的起点无关, 则在一天24小时内至少接到1次呼叫的概率为 ( ). (A) e (B) 1?e

得分 阅卷人 ?1?4 (C) e?8 (D) 1-e?8

三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共7个小题，每小题9分，共63分） 1. 已知 z?f(x,y)? x?2y?(lnx?2lny) ，在计算点 (2,1) 处函数值时，如果自

变量 x 和 y 分别发生误差 ?x??0.02 和 ?y?0.01 ， 试用二元函数的微分来估计此时产生的函数值误差 ?z 的近似值 .

2．设函数 f(x) 在点 x?0 的邻域内 连续，极限 A?lim[x?03f(x)?2ln(1?x)?] 2xx存在 ，（1）求 f(0) 的值； （2）若 A?1，问：f(x) 在点 x?0 处是否可导？ 如不可导，说明理由；如可导，求出 f'(0) .

??3. （1）已知广义积分

???e?xdx 是收敛的，试利用初等函数 ex 的幂级数展开式推导出

2这个广义积分的值大于1 的结论 ，详细说明你的理由（4 分） ；

??（2） 利用（1） 的结论，试比较

?2(x?2)?e?x2?2x2dx 与

?1(2?x)?e?x2?2xdx 的

大小 ，详细说明你的理由 （5 分） .

2-------------------------------- 4．已知定义在全平面上的二元函数 f(x,y)??f(x,x)?ydx?(x?1)???f(x,y)d??0D2 ， 3其中 D 是由直线 y?x， y?1 和 y 轴所围成的封闭平面区域，求 f(x,y) 的解析表达式 .

5．计算行列式

1?aa?11?a0?1000000a0?aa?11?a01000 的值 . a?a

11

?a???2???1??1?????????5、设向量组 ?1??2?,?2??1?,?3??1?,???b?，

?10??5??4??c?????????试问：当a,b,c满足什么条件时，

（1）?可由?1,?2,?3线性表示，且表法唯一？ （2）?不能由?1,?2,?3线性表示？

（3）?可由?1,?2,?3表示，但表法不唯一？并求出一般表达式.

21?a?2?11?????a11b???0?2?【详解】 A??22?105???4c0???0

b?aab??1?1??，

22??1c?5b??1b??211????011?2b???0011?2b?，

?0001?3b?c?0?1c?5b???? 若1?3b?c?0，即3b?c?1时，?不能由?1,?2,?3线性表示；

(3) 当a??4，3b?c?1时，

b??211??A??0011?2b?，

?0000???此时?可由?1,?2,?3表示?，但表法不唯一，一般表达式为

a2a(2) 当?2?2?2?A??0?0?(1) 当?2??0，即a??4时，?可由?1,?2,?3线性表示，且表法唯一； ?0，即a??4时， 11b??k?1?(b?2k?1)?2?(2b?1)?3，其中k为任意常数。

6、设

?1?1?1???1?????A???111?，?1??1?

?0?4?2???2?????（1）求满足 A?2??1，A?3??1的所有向量?2,?3； （2）对（1）中的任意向量?2,?3，证明?1,?2,?3线性无关. 【详解】 （1）解方程组 A?2??1，

2?1?1?1?1??1?1?1?1??1?1?1?1???????(A,?1)???1111???0000???0211?，

?0?4?2?2??02?0011?00???????通解为

?0??1??????2??0??k1??1?，其中k1为任意常数.

?1??2?????20??2??2A???2?20?，解方程组 A2?3??1，

?440???20?1??2?220?1?????(A2,?1)???2?201???0000?，

?4?0000?40?2?????通解为

??1/2???1??0????????3??0??k2?1??k3?0?，其中k2,k3为任意常数.

?1??0??1????????1（2）由于 |?1?2?3|?1k1?k1?k2?1/2k2k3???22k1?1所以?1,?2,?3线性无关.

1?0， 2

7、(05,13分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)???1,0?x?1,0?y?2x,

0,其他.?求：（1）(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （2）Z?2X?Y的概率密度fZ(z). （3）P{Y?11X?}. 22【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分

布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可. 【详解】（1）关于X的边缘概率密度

fX(x)??????2x??dy, 0?x?1?2x, 0?x?1??， f(x,y)dy???0?0, 其他??0, 其他关于Y的边缘概率密度

1??y????ydy, 0?y?2?1?, 0?y?2??2， fY(y)??f(x,y)dx??2???? 0, 其他?0, 其他?（2）Z的分布函数为 FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}， 1）当z?0时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?0；

2）当0?z?2时， FZ(z)?P{2X?Y?z}?z?3) 当z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?1.

12z， 4? 0, z?0?12?即Z的分布函数为 FZ(z)??z?z, 0?z?2

4??? 1, z?2?10?z?2,?1?z,故Z的的概率密度为 fZ(z)?? 2其他.??0,1111311（3）P{X?,Y?}???f(x,y)d???2dy?y2dx??2(1?y)dy?，

0021622112X?,Y?2211P{X?}??22xdx?，

02411P{X?,Y?}31122?16?3. 所以 P{Y?X?}?11224P{X?}42

1四、应用题：

1、设银行存款的年利率为r?0.05。某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…第n年提取(10?9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少为多少万元？

解 第一年末结余：A(1?r)?19；

第二年末结余：[A(1?r)?19](1?r)?28?A(1?r)?19(1?r)?28； ??

第n年末结余：A(1?r)?19(1?r)??

nn?12?28(1?r)n?2???(10?9n)?0，

A?19(1?r)?1?28(1?r)?2???(10?9n)(1?r)?n??

??10?9n1n???10?9， ??nnn(1?r)(1?r)(1?r)n?1n?1n?1?111?r?1?20， ??n1rn?1(1?r)1?1?r?f(x)??nx?x?nxnn?1n?1??n?1xx?x?(?xn)??x?(，x?(?1,1) )??2(1?x)1?xn?1?11.051?rn1?r所以 ????420， ?2n10.0025rn?1(1?r)(1?)21?r因此 A?200(万元)。 ?9?420?3980?

2、已知矩阵A????12??，求A100. ??43?【详解】 先将A对角化，

|?E?A|???1?4?2??3??2?4??5?0，得特征值 ?1?5,?2??1，

?4?2??2?1?T对?1?5，???42?????00??，得特征向量 ?1?(1,2)；

????对?2??1，????2?2??11?T??????(1,?1)，得特征向量 ， 2?????4?4??00?令 P???2?所以 A100?11??50?1?11??1?1????PAP?P?，则 ，?0?1??2?1??， ?1?3?????100?50??P??0?1????P?11?11??5100??????3?2?1???01001000??11????2?1?? 1????1?5??1003??2?51001??11?1?5?25?1?????????100100???1??2?1?3?2?5?22?5?1???11002??5?3??3?2?5100?2?3?311001??5??33?。 21001??5??33?

3、两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f (t)、数学期望和方差。

【详解】以X1和X2表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则T?X1?X2。

由条件知，Xi(i?1,2)的概率密度为

?5e?5x , x?0pi(x)??，

0 , x?0?X1和X2显然相互独立。

利用卷积公式，对t?0，有

f(t)??????p1(x)p2(t?x)dx?25?e?5xe?5(t?x)dx?25te?5t；

0t当t?0时，显然f(t)?0，所以

?25te?5t , t?0 f(t)??。

0 , t?0?由于 E(Xi)?因此

11，D(Xi)?，(i?1,2) 5252， 52。 25E(T)?E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)?而X1和X2相互独立，可见

D(T)?D(X1?X2)?D(X1)?D(X2)?五、证明题：

1、设函数f(x)在[0,?]上连续，且

?0?0试证明：在(0,?)f(x)dx?0，?f(x)cosxdx?0，

0?内至少存在两个不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0。 【详解】 引入辅助函数 F(x)??xf(t)dt，x?[0,?]，则 F?(x)?f(x)，

?F(0)?F(?)?0，又

0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)?cosxF(x)|?0??F(x)sinxdx

000????F(x)sinxdx，

0?因此必存在一点??(0,?)，使F(?)sin??0，否则F(x)sinx在(0,?)内恒正或恒负，均与

??0F(x)sinxdx?0矛盾，

因??(0,?)，sin??0，所以F(?)?0，综上所述，

F(0)?F(?)?F(?)?0，??(0,?) 在区间[0,?]和[?,?]上分别对F(x)应用罗尔定理，知存在?1?(0,?)和?2?(?,?)，使得

F?(?1)?F?(?2)?0，即 f(?1)?f(?2)?0。

2、设n阶方阵A有n个互不相同的特征值，证明: A的特征向量也是B的特征向量的充分必要条件是A,B可交换.

证：必要性:因为A有n个互不相同的特征值，故A可对角化，即存在可逆阵P，使

P?1AP??1；

由于A的特征向量也是B的特征向量，故对同样的P，有PBP??2， 于是

?1AB?(P?1P?1)(P?2P?1)?P?1?2P?1，

BA?(P?2P?1)(P?1P?1)?P?2?1P?1，

充分性：设A????，??0，两边左乘B，利用AB?BA，有

而 ?1?2??2?1，所以AB?BA；

B(A?)?A(B?)??(B?)，

若B??0，由上式可知B?也是A的属于特征值?的特征向量，由于A的特征值两两不同，故属于特征值?的线性无关的特征向量只有一个，因此?与B?应成比例，即

B????，即?为B的特征向量；

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