江苏省高等数学竞赛试题汇总

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.. .专业 . . 2010年省《高等数学》竞赛试题（本科二级）

一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )lim sin x x x x

→-=

2.2ln(1x y x

=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=?

5.4211dx x

+∞

=-? 6.圆222222042219

x y z x y z x y z +-+=???++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数11(1)!2!n n n n n ∞

=+-∑的和为 . 二.（10分）

设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b

a a

b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0a f x dx ξ

=?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五（12分）求二重积分()22cos sin D

x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

. . .. . .

.. .专业 . . 六、（12分）求()()21x

x y e dx x y dy Γ++++?，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?从()0,0O 到()1,1A -.

七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3,,n =记1n n

x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.

2010年省《高等数学》竞赛试题（本科三级）

一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )lim sin x x x x

→-= 2.2arctan tan x y x e x =+，/y =

3.设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx

= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21x x e dx x

-=? 6.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz ==

7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则

z z x y

??+=?? 8.设22:2,0D x y x y +≤≥

，则D =

二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值

三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11

00

()()f x dx xf x dx =??，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ

=?. 四.（12分）求广义积分4

211dx x +∞

-? 五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x

. . .. . .

.. .专业 . . 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.

六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 七（12分）求二重积分()22cos sin D

x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

2008年省高等数学竞赛题（本科一级）

一．填空题（每题5分，共40分）

1.

a ，

b 时，

2lim arctan 2x ax

x x bx x

2. a ，b 时()ln(1)1x f x ax bx 在0x

时关于x 的无穷小的阶数最高。

3.242

0sin cos x xdx

4.通过点1,1,1与直线,2,2x

t y z t 的平面方程为 5.设222,x z x y 则(2,1)n n z y =

6.设D 为,0,1y

x x y 围成区域，则arctan D ydxdy 7.设为2

22(0)x y x y 上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则()()x x ye x dx e xy dy =

8.幂级数

1n n nx 的和函数为 ，收敛域为 。

二．（8分）设数列n x 为1223,33,,33(1,2,)n n x x x x n 证明：数列n x 收敛，并求其极限

三．（8分）设()f x 在,a b 上具有连续的导数，求证

. . .. . .

.. .专业 . . /1max ()()()b b a x b a a f x f x dx f x dx b a 四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a 02,020a b 为旋转曲面 2）求旋转曲面所围成立体的体积

五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子A 定义为 (),u

u A u x y x y

1）求(())A u

A u ；2)利用结论1）以,y x y x 为新的自变量改变方程2222222

20u

u u

x xy y x x y y 的形式 六．（8分）求26001lim sin()t

t x t dx xy dy t

七．（9分）设222

:1(0)x y z z 的外侧，连续函数 222(,)

2()()()((,)2)z z z f x y x y x z e dydz y z e dzdx zf x y e dxdy 求(,)f x y

八．（9分）求23(3)()(1)(13)

x x f x x x 的关于x 的幂级数展开式 2006年省高等数学竞赛试题（本科一、二级）

一.填空（每题5分，共40分）

1.()3x f x a =，()()()41lim ln 12n f f f n n →∞=????

2. ()()

25

001lim 1x tx x e dt x -→-=? 3. ()1202arctan 1x dx x =+? 4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的接球面方程为

. . .. . .

.. .专业 . . 5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =

6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值.

7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()

2

22y x y dx xy e dy Γ+++?取最大值. 8.级数(

)

11n n ∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值围是 二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3

三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ??=+≤≤ ??

?，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积. 四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤， 求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞

五（12分）本科一级考生做：设锥面22233(0)z x y z =+≥

被平面40x -+=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑

的模型，(2,0,(A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程.

本科二级考生做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，

()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，

将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形

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.. .专业 . . D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.

六（10分）曲线220

x z y ?=?=?绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体

区域记为Ω， 本科一级考生做222

1dxdydz x y z Ω++??? 本科二级考生做()222x y z dxdydz Ω

++???

七（10分）本科一级考生做1）设幂级数21n n n a x ∞

=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1n n n a x n ∞

=∑的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数()2112n n n n x ∞

=+∑的收敛域与和函数 2006年省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）

一.填空（每题5分，共40分） 1.22

232323212lim 12n n n n n n →∞??+++= ?+++?

? 2. ()23001lim 1x t x e dt x -→-

=?

3. )

lim 0x ax b →+∞+=，则,a b = 4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=

5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =

6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值.

. . .. . .

.. .专业 . . 7.交换二次积分的次序()211,x e e x

dx f x y dy -=?? . 8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤

，则D

= 二.（8分）设()()2sin 0

ln 10ax b x c x f x x x ?++≤?=?+>??，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0

x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.

三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.

四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞

五（8分）求()120arctan 1x

dx x +?

六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x y

f x y x y -?+≠?+=??=?

， 证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y

民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积. 七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数(

)22,2f x y x y =+在区域2224x y +≤上的最大值与最小值.

八（9分）设D 为,,02y x x y π

===所围成的平面图形，求()cos D

x y dxdy +??.

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.. .专业 . . 2004年省高等数学竞赛试题（本科二级）

一.填空（每题5分，共40分）

1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π??∈ ???

时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ??∈ ???

时，()f x 的表达式 . 2. ()2tan 2lim sin x x x π→= 3. 2222lim 14n n n n n n n n →∞??+++= ?+++??

4. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =

5. ()()21x x e x dx x e -=-?

6.()112

n n n n ∞==+∑ . 7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ?=， 则()1?'= .

8. 设()()010

x x f x g x ≤≤?==??其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则 ()()D

f y f x y dxdy +=?? . 二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 可导，(),f a a =，()()2212

b

a f x dx

b a =-?,求证： (),a b 至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+ 三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q

1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数；

2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积

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