整体把握与实践高中数学新课程与高中数学教

整体把握与实践高中数学新课程

——与高中数学教师对话

王尚志 张饴慈 吕世虎 马芳华 编著

高等教育出版社

目 录

言 ....................................................................................................................................................5

第一单元 什么是数学 ..............................................................................................................7 1、为什么数学是基础？ ............................................................................................................7 2、为什么数学是科学语言和有效工具？ ................................................................................8 3、为什么“数学是思维的体操”？ ...........................................................................................8 4、如何理解数学的应用价值？数学是技术？ ........................................................................9 5、为什么数学是文化？ ............................................................................................................9 6、如何理解数学在育人中的作用？ ......................................................................................10 第二单元 高中数学课程的理念与目标 .................................................................................. 11 1、如何把握高中数学课程的定位？ ...................................................................................... 11 2、如何与时俱进的看待“双基”？ ...........................................................................................12 3、高中数学新课程为什么要提倡多种学习方式？ ..............................................................13 4、高中数学课程为什么要强调发展学生的应用意识？ ......................................................13 5、为什么在高中数学课程中要注重提高学生的数学思维能力？ .......................................14 6、如何把握数学本质与适度的形式化？ ..............................................................................15 7、高中课程为什么要强调选择性？ ......................................................................................16 8、如何把握高中数学课程的基础性？ ..................................................................................17 9、高中数学课程为什么要体现数学的文化价值？ ..............................................................17 10、如何把握信息技术与数学课程的整合？ ........................................................................18 11、如何建立合理科学的评价体系？ ....................................................................................18 12、如何理解数学课程中的过程性目标？ ............................................................................18 13．如何理解情感态度价值观是课程的目标？ ....................................................................19 14．课程目标中，为什么要提倡独立获取数学知识的能力？.............................................20 15．为什么把三大能力变成五大能力？ ................................................................................20 第三单元 整体把握高中数学课程 ........................................................................................21 7、为什么需要整体把握高中数学课程？ ..............................................................................22 8、如何整体地把握高中数学课程？ ......................................................................................22 9、为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一？ ......................................................26 10、为什么“运算思想”是高中数学课程的主线之一？ ....................................................28 11、为什么“几何思想（把握图形）”是高中数学课程主线之一？ ...................................29 12、为什么“算法思想”是高中数学课程的主线之一？ ....................................................30 13、为什么“统计思想”和“随机思想”函数是高中数学课程的主线之一？ .................31 第四单元 高中数学课程内容的定位——针对实验中出现的问题 .....................................32 必修课程的定位 ........................................................................................................................32 14、为什么“集合初步”定位在语言表述工具？ ................................................................32 15、 哪些函数模型应该留在学生头脑中？ ..........................................................................33 16、如何理解函数与函数解析表达式？为什么淡化求函数的定义域和值域？ .................33 17、为什么“幂函数（整数指数幂）”，“指数函数”，“对数函数”，“三角函数”是基本的初等函数？18、如何认识函数和映射？ ....................................................................................................34 19、如何理解指数函数形成的逻辑关系？ ............................................................................34 20、在函数研究中，为什么单调性是最基本的性质？ ........................................................37 21、如何理解高中数学课程中反函数的定位？ ....................................................................37 22、为什么要引入用二分法求解方程？ ................................................................................38 23、如何理解函数的应用？ ....................................................................................................38 24、高中学习几何学的目的是什么？ ....................................................................................39 25、如何理解几何课程的整体设计思想？ ............................................................................40 26、如何处理立体几何的证明？ ............................................................................................42 27、tan?是刻画直线斜率的唯一方式吗？ ..........................................................................43 28、如何理解“形数结合”的思想在高中数学课程中的作用？.........................................44 29、‘统计’学科是研究什么的？必修部分的统计有哪些内容？ .......................................45 30、 如何理解‘抽样’？ ......................................................................................................45 31、 如何理解整理数据和画统计图表？ ..............................................................................45

33 前

32、 如何把握‘ 数据的数字特征’的教学？ ....................................................................46 33、 如何理解‘结果的随机性’？ ......................................................................................46 34、 如何把握‘线性相关性’的教学？ ..............................................................................46 35、 建立回归方程应注意什么？ ..........................................................................................47 36、 为何在‘统计’的教学中强调案例教学？ ..................................................................48 37、 高中课程必修部分对概率是如何定位的？为什么在排列、组合前讲概率？ ...........48 38、如何理解概率的定义？ ....................................................................................................48 39、如何理解事件的互斥和独立？ ........................................................................................49 40、如何理解古典概率模型？ ................................................................................................50 41、如何把握几何概率与随机模拟的教学？ ........................................................................50 42、为什么在高中数学课程中加入算法的内容？ ................................ 错误！未定义书签。 43、如何理解算法在高中课程中的定位？ ............................................ 错误！未定义书签。 44、如何理解赋值？ ................................................................................ 错误！未定义书签。 45、如何理解函数在循环结构中的作用？ ............................................ 错误！未定义书签。 46、如何理解周期现象与三角函数的关系？ ........................................ 错误！未定义书签。 47、初中、高中三角函数有什么差异？ ................................................ 错误！未定义书签。 48、为什么弧度比角度难理解？ ............................................................ 错误！未定义书签。 49、如何用解析几何思想理解三角函数定义？ .................................... 错误！未定义书签。 50、在中学数学中为什么要引入向量？ ................................................ 错误！未定义书签。 51、向量对于学生理解数学运算有哪作用？ ........................................ 错误！未定义书签。 52、如何理解向量与物理中矢量的关系？ ............................................ 错误！未定义书签。 53、如何把握向量的教学？ .................................................................... 错误！未定义书签。 54、如何理解三角恒等变换的定位？ .................................................... 错误！未定义书签。 55、如何理解‘解三角形’的定位？ .................................................... 错误！未定义书签。 56、如何理解数列在数学中的作用以及数列在中学数学中的定位？ . 错误！未定义书签。 57、如何理解在等差、等比数列中‘知三求二’的基本要求？......... 错误！未定义书签。 58、如何理解数列的应用？ .................................................................... 错误！未定义书签。 59、如何理解不等关系与恒等关系？ .................................................... 错误！未定义书签。 60、如何把握必修课程中不等式的要求？ ............................................ 错误！未定义书签。 61、如何理解函数、不等式、方程的关系？ ........................................ 错误！未定义书签。 选修1、选修2系列课程的定位 ............................................................. 错误！未定义书签。 62、 选修1和选修2内容有哪些是相同的，有哪些是不同的？ ....... 错误！未定义书签。 63、‘常用逻辑用语’与大纲中的‘简易逻辑’有什么差异？ ........... 错误！未定义书签。 64、充分条件、必要条件为什么很重要？ ............................................ 错误！未定义书签。 65、如何理解充分必要条件在数学中的重要意义？ ............................ 错误！未定义书签。 66、‘全称量词’与‘存在量词’教学的定位？ .................................. 错误！未定义书签。 67、“全称量词”与“且”，“存在量词”与“或”有关系吗？ ........... 错误！未定义书签。 68、如何理解“且”与“或”的定位？ ................................................ 错误！未定义书签。 69、如何理解微积分的定位？ ................................................................ 错误！未定义书签。 70、为什么在中学要学微积分？ ............................................................ 错误！未定义书签。 71、 不讲极限能否讲导数——标准与大纲的差异？ .......................... 错误！未定义书签。 72、 如何理解复数的定位？ .................................................................. 错误！未定义书签。 73、为什么在选1中加框图？ ................................................................ 错误！未定义书签。 74、如何把握选修1和选修2 中统计的定位？ ................................... 错误！未定义书签。 75、什么是聚类分析？ ............................................................................ 错误！未定义书签。 76、如何理解独立性检验的基本思想？ ................................................ 错误！未定义书签。 77、如何把握选修课中‘回归分析’的定位？ .................................... 错误！未定义书签。 78、如何把握‘假设检验’的教学？ .................................................... 错误！未定义书签。 79、如何处理空间向量？ ........................................................................ 错误！未定义书签。 80、用向量方法处理立体几何的意义何在？ ........................................ 错误！未定义书签。 81、如何理解‘计数原理’的定位？ .................................................... 错误！未定义书签。 82、乘法定理与加法定理在证明二项式定理中有何作用？ ................ 错误！未定义书签。 83、为什么分布列可以描述离散随机现象的规律？ ............................ 错误！未定义书签。

84、如何研究分布列？两个基本的分布模型——二项分布、超几何分布是什么？错误！未定义书签。 85、分布的均值与方差的意义何在？ .................................................... 错误！未定义书签。

86、如何把握正态分布？ ........................................................................ 错误！未定义书签。 87、 如何看待概率论的应用？ .............................................................. 错误！未定义书签。 选修3、4系列课程的定位 ...................................................................... 错误！未定义书签。 88、如何从总体上认识系列3和系列4？ ............................................. 错误！未定义书签。 89、为什么要设置‘数学史选讲’？ .................................................... 错误！未定义书签。 90、如何开设‘数学史选讲’？ ............................................................ 错误！未定义书签。 91、信息安全与数学有何关系？ ............................................................ 错误！未定义书签。 92、什么是‘公开密钥体制’？它的基本原理是什么？ .................... 错误！未定义书签。 93、为什么要设置‘球面几何’？ ........................................................ 错误！未定义书签。 94、球面几何专题的基本内容是什么？ ................................................ 错误！未定义书签。 95、为什么设置‘对称与群’？ ............................................................ 错误！未定义书签。 96、‘对称与群’专题是如何定位的？ .................................................. 错误！未定义书签。 97、为什么设置‘欧拉公式与闭曲面分类’？ .................................... 错误！未定义书签。 98、‘欧拉公式与闭曲面分类’专题是如何定位的？ .......................... 错误！未定义书签。 99、为什么开设‘三等分角与数域扩充’？ ........................................ 错误！未定义书签。 100、‘三等分角与数域扩充’专题是如何定位的？ ............................... 错误！未定义书签。 101、为什么开设‘几何证明选讲’？本专题的基本内容是什么？ ... 错误！未定义书签。 102、如何把握‘几何证明选讲’专题的内容？ .................................. 错误！未定义书签。 103、为什么设置‘矩阵与变换’？ ...................................................... 错误！未定义书签。 104、‘矩阵与变换’专题是如何定位的？ ............................................ 错误！未定义书签。 105、为什么设置‘数列与差分’？ ...................................................... 错误！未定义书签。 106、如何把握‘数列与差分’专题的内容？ ...................................... 错误！未定义书签。 107、‘坐标与参数方程’是如何定位的？ ............................................ 错误！未定义书签。 108、‘不等式选讲’专题的基本内容是什么？ .................................... 错误！未定义书签。 109、‘不等式选讲’专题是如何定位的？ ............................................ 错误！未定义书签。 110、‘初等数论初步’专题的定位是什么？ ......................................... 错误！未定义书签。 111、‘初等数论初步’专题的重点是什么？ ......................................... 错误！未定义书签。 112、‘试验设计’讨论的是什么问题？................................................. 错误！未定义书签。 113、什么是优选法？ .............................................................................. 错误！未定义书签。 114、统筹法讨论的是什么问题？ .......................................................... 错误！未定义书签。 115、‘统筹法与图论初步’专题中‘图论初步’的内容是如何定位的？错误！未定义书签。 116、‘风险与决策’专题的定位是什么？............................................. 错误！未定义书签。 117、为什么设置‘开关电路与布尔代数’？ ....................................... 错误！未定义书签。 118、‘开关电路与布尔代数’专题的定位是什么？ ............................. 错误！未定义书签。 第五单元 高中数学新课程实验教学中存在的问题 .............................. 错误！未定义书签。 1、如何理解和把握教材？ ...................................................................... 错误！未定义书签。 2、如何把握课程内容的深度？ .............................................................. 错误！未定义书签。 3、如何把握课堂容量？ .......................................................................... 错误！未定义书签。 4、如何处理日常教学与高考关系？ ...................................................... 错误！未定义书签。 5、如何提高教学效率？ .......................................................................... 错误！未定义书签。 6、如何开展数学探究、数学建模、数学文化的教学？ ...................... 错误！未定义书签。 第六单元 评价中的问题 .......................................................................... 错误！未定义书签。 第七单元 高中数学新课程推进的进程、经验和问题 ........................ 错误！未定义书签。

前 言

我们有幸参加了高中数学课程标准的研制，教材编写，教师培训，网站建设等工作，并多次深入实验区，听课，座谈，交流，等等，也参加了很多有关的国内外学术活动。这些工作和活动使我们学习到很多东西，特别是从一些教研员、一线教师那里学到很多生动活泼的东西。我们由衷地感到做好一件事太不容易了，尤其是这次课程更是如此。这次课程改革涉及面广，有课程目标的调整，有课程内容的变化，有选择功能的拓展，有教学方式的改进，等等。这是一项巨大的工程，需要不同方面的合作，例如，数学和数学教育工作者的合作，大学与中小学的合作，等等。需要求同存异，有不同意见和看法是很正常的，坐下来相互倾听、交流、讨论，非常有益。在高中数学课程研制的过程中，召开过数十次不同形式的座谈、交流会，对标准研制起了非常大的作用。美国在数学教育方面曾发生过争论，前一阶段，争论的双方坐在一起，认真地讨论了共识和分歧，共识远远多于分歧。

高中数学新课程实验已经一年多的时间，整个进程比较顺利，积累了一些很好的经验，也提出了一些具有挑战性的问题。根据实验过程中的经验，针对出现的问题，本书拟从高中课程的数学内容定位的角度，谈谈我们对一些问题的看法。

重视“双基”是我们很好的传统，“双基”需要与时俱进也是我们的共识，本书希望从以下几个方面引起教师的思考，丰富“双基”的内涵。

整体地把握数学课程是值得特别关注的。知识和技能是需要一个一个地学习，数学课也需要一节一节地上，但是，在高中数学课程中，还是有一些“内容”或“思想”更重要，更基本，贯穿在课程的始终。例如，在本书中反复强调的“函数”、“运算”、“图形”、“算法”等等，它们的作用不能等同于知识点，不能等同于技能，也不能等同于一般的思想方法，它们反映了数学中更为丰富的东西，它们将伴随着学生将来的学习和工作，我们需要把这些东西留在学生的头脑中。我们把它们看作贯穿高中课程的主线，它们相对独立，又彼此交叉，把整个高中课程有机地编织成了一个整体。为了加深对这个整体的认识和理解，每一个知识、每一个技能都会做出贡献。同样，学会用整体的视角看待每一个知识和技能，一定会更好地理解它们的作用和意义。有了这样的思想，在教学中我们就会不仅关注如何设计好一节课，而且会更加关注如何设计好一章的课程，一学期的课程，一学年的课程，关注设计好整个高中的课程。有了这样的思想，在考试命题中我们就会关注主要的、基本的东西，关注通性通法（skill），淡化那些小技巧、小把戏（trick）。

数学教学不是要把容易的东西变难了，而是希望把难理解的变得容易理解。在本书中，我们结合具体内容反复强调两点建议：一个是多画一些“图”，多用一些“图形的语言”，几何图形给我们带来的好处不仅仅是逻辑，还有直观，越复杂、越抽象东西越需要直观，需要图形；另一个是，在学习数学时，应该养成一个习惯，无论思考多么抽象的问题，头脑中一定有具体的“实例”。 例如，非负整数数列是理解等差数列好的实例；复利储蓄是理解等比数列好的实例；路程与速度的关系是理解牛顿-莱布尼兹定理好的实例。有好的实例支持，抽象的概念就不会“落空”。

“演绎推理”和“归纳抽象”是认识数学的两个基本方面，在高中数学课程中要给予同等的重视，不可偏废。从一般到特殊，从具体到抽象，都是重要的。但是实际教学中，常常忽视后者。例如，以为知道映射的定义，就应该理解函数的定义，了解一般函数概念自然就能理解特殊的函数，这样的认识是片面的，两个方面都不可忽视。

高中数学的一些内容是需要遵循“螺旋”上升的认知规律。例如，对于“函数”、“算法”等等的认识

是需要一个比较长的时间的积累，不可能“一步到位”，太急了，反而会“欲速则不达”。在实验区，一些教师在高一就开始进行高考训练，我们感到不妥，需要分析，不仅要考虑知识，还要考虑学生的认知水平。

这本书主要从数学的角度对高中数学新课程以及高中数学课程实验中出现的一些问题进行思考，这些思考融会了标准研制过程很多人的想法，也有我们自己的一些思考，写出来供教师作参考。一定会有很多不妥之处，希望作为抛砖引玉。

本书的内容包括七部分：什么是数学；高中数学课程的理念与目标；整体把握高中数学数学课程；高中数学课程的定位；高中数学新课程教学中的问题；高中数学新课程评价中的问题；高中数学新课程推进的进程、经验和问题。除第七部分外，其余各部分均以问题的形式呈现。全书共117个问题。采用问题的形式，是为了突出重点，有针对性地解答老师们在理解高中数学新课程和实验中出现的问题。当然，这些解答只是我们的一些思考，难免谬误，仅供老师们参考和讨论。

王尚志 张饴慈 吕世虎 马芳华

2005年12月15日

第一单元 什么是数学

在高中数学课程标准研制过程中，我们认真思考了以下几个问题：

根据课程改革纲要要求，如何把“三维课程目标”与数学课程有机地联系起来？ 什么是数学？

在高中阶段，什么是学生需要掌握的基本数学思想和内容？选择什么“内容”有助于学生的发展？ 如何帮助学生有效地学习？提高学习数学的兴趣、本领？ 如何帮助教师提高数学教学效率？

对于每一个从事数学研究和数学教育的工作者来说，这些都是大家十分关心的问题。当然，我们不可能准确地回答这些问题，但是，在标准研制过程中，结合每个人的学习实际、工作实际，认真思考这些问题对于研制课程标准是非常重要的。对于每一位数学教师来说，结合自己的学习和教学实际，思考这些问题，将有助于提高自己的专业水平，提高教学的效率。对于每一位正在学习数学的高中学生来说，结合自己的学习实际，思考这些问题，将有助于提高学习兴趣和效率，有助于加深对理解数学，有助于提高学习成绩。

特别是对于“什么是数学”，我们应该认真思考。这不仅对于从事数学研究是重要的，对在一线教授数学的老师也同样重要。我们应该帮助学生更好地、更全面理解数学。本单元中，我们从几个不同的视角来体会数学，体会数学的作用：数学是基础；数学是科学的语言、有效的工具；数学是“思维的体操”；数学有广泛的应用——数学是技术；数学是文化；数学是育人的载体；等等。这些不同的视角有区别，又有密切联系。

单元学习目标

? 对数学的价值和作用有进一步的认识 ? 能从不同角度不断思考什么是数学的问题

? 能在教学过程中引导学生思考什么是数学的问题

重要概念

数学 数学课程 数学语言 数学思维 数学应用 数学文化

学习建议

阅读下列参考书目的相关内容。

[1]严士健，张奠宙，王尚志. 普通高中数学课程标准解读. 江苏教育出版社.2004 [2]柯朗，罗宾. 什么是数学. 译者，左平、张饴慈. 复旦大学出版社.2005.5 [3]李文林. 数学史概论. 高等教育出版社.2000.8

结合高中数学课程标准和教学实际，不断思考什么是数学？在高中阶段，学生需要掌握的基本数学思想和内容是什么？如何帮助学生有效地学习数学，提高学习数学的兴趣和本领？如何提高数学教学效率？等问题。

1、为什么数学是基础？

数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。

恩格斯说“数学是研究空间形式和数量关系的科学。”最近，对数学又有一种新的描述，“数学是研究模式与秩序的科学。”在数学中，出现的各种“空间形式”、“数量关系”、“模式”、“秩序”，它们以不同的方式出现在现实世界和各个学科中，反映和描述其中蕴涵的规律。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，已经成为社会的共识。

不仅如此，数学在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。对于一些学科和学科方向而言，例如，数理经济学，社会统计学，数字音乐，电脑美术，电子文献学，等等，数学已经成为它们的基础之一。现在，大学的大部分文科院、系开设了数学课程，大学的一些传统的文科院、系开始招收“理

科学生”。这种变化应该引起中、小教师和学生的关注。

现代生活处处充满着数学。如每日天气预报中用到的降水概率、正数、负数及表示空气污染程度的百分数；个人和家庭在购物、购房、购买股票、参加保险等项投资活动中所采用的具体方案策略；外出旅游中的路线的选择；选取房屋的装修设计和装修费用的估算；还有对新闻媒介带给人们的各种各样信息的分析，这些都与数学有着密切的联系。大众媒体、日常生活中用到越来越多的数学概念，如纬度、统计、变化率等都成为常用的词语。” “数量意识和用数学语言进行交流的能力已经成为公民基本的素质和能力，它们能帮助公民更有效地参与社会生活。数学是科学的语言，数学也是一种日常生活语言。

一些数学基本能力已经成为人的生活基本能力的重要组成部分。在高中课程中，数学课程是重要的基础课程。

2、为什么数学是科学语言和有效工具？

数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。

语言的主要作用是描述、表达、交流，让其他人了解我们的意思。数学语言是人类语言的重要组成部分，它包括：由数学概念、结果等组成的数学自然语言，符号语言，图形语言，等等。它的基本特点是准确和简洁。它能帮助我们更好地进行交流，当我们用数学语言进行交流，一般说来，十分准确，不会出现任何歧义，而且，简洁，明了，这是其它语言很难实现的。在很多情况下，特别是在刻画自然规律和社会规律时，在科学、技术交流中，数学语言常常是不可替代的。

社会要求人们学会并使用数学语言。数学语言（符号系统）现在已成为通用的语言，在现代社会中，许多事物均用数学来表征。从基本的度量如长度、面积、容积、重量到门牌号码、电话号码、邮政编码，体格检查如体温、血压、肝功能、血脂、白血球等等，无一不用数学来表示。各个民族都有自己的语言，有些语言为多个民族所共用，但只有数学的‘语言’供世界各民族所共用。数学语言是迄今为止惟一的世界通用语言，是一种科学的语言。科学数学化、社会数学化的过程，乃是数学语言的运用过程；科学成果也是用数学语言表述的，正如伽利略所说：“自然界的伟大的书是用数学语言写成的。”一切数学的应用，都是以数学语言为其表征的。数学语言已成为人类社会中交流和贮存信息的重要手段。因此，数学语言是每个人都必须学习使用的语言，使用数学语言可以使人在表达思想时做到清晰、准确、简洁，在处理问题时能够将问题中各种因素之间的复杂关系表述得条理清楚、结构分明。

数学作为有效工具，我们可以通过“典型案例”——数学软件，加以说明。教师已经十分熟悉计算机和计算机软件，也熟悉一些“数学软件”，例如，“几何画板”，等等。实际上，还有很多在功能上比“几何画板”强得多的“数学软件”。只要我们能按照规定，把要做的事情“告诉数学软件”，例如，把要解的方程的系数按照规定“输入”，这些“数学软件”就能帮助我们解方程，求解不等式，等等。现在常用的一些“数学软件”功能非常强，它几乎可以帮助我们完成“书上所有的习题”，不仅是中学的数学书，也包括一些大学的数学书。可以把“数学软件”比喻为“字典”，也可以比喻为家庭的“工具箱”，会直接帮助我们解决一些问题。“数学软件”充分展示了“数学的工具性”。实际上，“数学的工具性”比“数学软件”要丰富得多。

3、为什么“数学是思维的体操”？

数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展过程中发挥着独特的、不可替代的作用。 数学在培养人的思维能力、发展智力方面具有不可或缺的突出作用。加里宁曾说：“数学是锻炼思维的体操。”数学思维不仅有生动活泼的探究过程，其中包括想象、类比、联想、直觉、顿悟等方面，而且有严谨理性的证明过程，通过数学培养学生的逻辑思维能力是最好、最经济的方法。在学习数学知识及运用数学知识、思想和方法解决问题的过程中，能培养辨证唯物主义世界观，能培养实事求是、严谨认真和勇于创新等良好的个性品质。这对于人的身心发展，无疑将起重大作用。

数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理、对完美境界的追求，数学的基本要素是：直观和逻辑，分析和构造，个别性和一般性。虽然，不同的时期、不同的传统可以强调不同的侧面，然而，正是这些相互对立的力量相互作用，以及它们综合起来的努力，才能构成数学科学的生命、用途和它的崇高价值。

由于时代的发展，在不同时期的数学教育中，人们常常会强调某些侧面，而忽视另一些侧面，这是我们应特别予以关注的。19世纪到20世纪，数学家对数学内部的体系化，严格化，公理化给予了特别的重视，这是数学发展的必然，很自然这种数学发展的特点直接影响数学教育，从20世纪，这样的发展有一种极端化的

趋势，影响数学的学习者对数学的理解，上个世纪40年代，很多著名数学家看到了这种趋势的危害，这里，我们再引一段柯朗的论述：

“目前，过分强调数学的公理演绎特点的风气，似乎有盛行起来的危险。事实上，创造发明的要素，起指导和推动作用的直观要素，常常不能用简单的公式来表述，但是，它们却是任何数学成就的核心，即使在最抽象的领域也是如此。如果说完善的演绎形式是目标，那么，直观和构造是动力。

有一种观点对科学本身是严重的威胁，它断言数学不是别的东西，只是从定义和公理推导出来的一组结论，只要保证这些定义和公理不矛盾，可以由数学家根据他们的意志随意创造。如果这种说法是正确的，数学将不会吸引任何有理智的人。它将成为定义、规则和演绎法的游戏，既没有动力，也没有目标。认为灵感能创造出有意义的公理体系的看法，是骗人的和似是而非的真理。

尽管逻辑分析的思辩并不代表全部数学，但是，它却能使我们对数学事实和它们之间的依赖关系有更深刻的理解，对数学主要概念有更深刻的理解，并由此发展了可以作为一般科学态度的典范的近代数学的观点。”

当我们强调“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展过程中发挥着独特的、不可替代的作用。”的时候，应比较全面理解数学思维给我们带来的好处。例如，当我们强调几何是培养学生逻辑思维能力的载体时，我们同时还应该认识到几何在培养空间想象、洞察、直观能力中的作用。

4、如何理解数学的应用价值？数学是技术？

数学应用的广泛性是数学的基本特征，人们很早就接受了这个事实。但是，从20世纪中期以后，数学的应用发生了非常大的变化。这些变化反映在几个重要的方面。

20世纪产生一批应用数学的分支，例如，控制论，信息论，博弈论，规划论，等等。这些数学分支涉及的问题已经成为数学重要的研究方向、课题。

数学的应用几乎渗透到每一个研究领域，不仅是自然科学、技术科学、环境科学、生命科学、材料科学，也包括很多人文社会科学的许多领域，例如，经济科学，语言学，历史学，等等。

随着时代的发展，形成了许多新的学科方向，有许多都是与数学有关，例如，生物数学，经济数学，计算化学，计量历史学，……等等。有人甚至说，任何一个学科加上数学就可以成为一个新的交叉学科。

著名数学家图灵、冯. 诺伊曼被公认为计算机之父，数学对计算机发展起到不可替代的作用。计算机科学的飞速发展超出人们想象，同样，对数学的发展起到了不可估量的影响。使人们对“数学应用的广泛性”认识发生了很大变化。这里，我们引用一句“时髦”的论述：

“高科技本质是数学技术。”（David——美国总统科学顾问委员会主席）

当今社会，在天文、地质、工业、农业、经济、军事、国防、医学等领域，越来越多的实例不断地印证这个论述，反映了数学应用的广泛性。例如，1979年的医学和生理学的诺贝尔奖授予了美国科学家柯马克和英国工程师洪斯费尔德，柯马克首创了CT理论，洪斯费尔德利用这个理论制作了第一台CT机。现在做CT检查已是常规检查，可是，很少有人知道这项技术的核心技术就是数学技术。事实上，CT的数学模型是以拉东变换为核心，这是古典分析中一个积分变换方法。

姜伯驹院士曾多次强调“数学已经从幕后走到台前，在很多方面为社会直接创造价值。”这是对数学变化的一个很好的概括。

5、为什么数学是文化？

数学在人类文明发展中占有特殊的地位，数学是人类文化的重要组成部分。

数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题。

我们讲授数学不只是要教推理，不只是把它作为科学的语言来讲授—虽然这些都很重要—而要让人们知道，如果不从数学在思想史上所起的重要作用方面了解它，就不可能完全理解人文学科，自然科学，人的所有创造和人类世界。

6、如何理解数学在育人中的作用？

数学教育是教育的组成部分，它在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用．在课程标准解读中，提出了数学在育人中四个方面的作用。

（1）向受教育者提供参与社会生活与建设必要的数学基础知识和基本技能； （2）向受教育者提供必要的智能训练和思维工具，提高思维水平；

（3）向受教育者展示数学对于社会发展的多方面的应用，从而认识数学在人类社会发展中的独特而重要的作用；

（4）向受教育者提供提出问题，思考问题，解决问题的机会。

这里，有必要提一下数学在“美育”中的作用。在生活中，艺术（音乐、美术等等）、体育、文学给我们带来了美的享受，丰富了我们的生活。数学在“美育”中的作用常常被忽视。在数学中，到处都可以使我们感受到：准确、简洁、对称、抽象，等等，这些特点以不同的形式展现出来。例如，在数学中，数学语言的简洁、精炼、准确处处可见，图形语言、符号语言等都是数学所特有的语言，当我们画一个直角三角形，并指出其直角边分别是a和b，c是它的斜边，世界上任何国家的人们都会知道公式：a2+b2=c2 的含义。像艺术、体育一样，在这些方面，数学同样会给我们带来“美”的感受。数学教育工作者也应该像艺术工作者一样珍惜数学的“美学价值”。

数学的内涵是极其丰富的，作为数学教育工作者应该帮助学生对数学有一个比较全面的认识，使学生在学习数学过程中，从不同的角度体会、感受数学的价值，数学的作用，从数学中得到更多的收益；使学生在将来的工作、生活中，从数学中得到更多的帮助。

第二单元 高中数学课程的理念与目标

根据《基础教育课程改革纲要》的精神，研制新的高中数学课程，必须体现时代性、基础性、选择性，对高中数学课程以明确的定位，并前瞻性地规划未来高中数学课程的发展图景。在《标准》中，列举了高中数学课程的10项基本的理念， 作为数学课程设计的基本指导思想。在课程目标中，提出了三维课程目标，即，知识与技能的目标，过程与方法的目标，情感、态度、价值观的目标。三维目标有各自的独立内涵，但是它们之间又存在着密切的联系。

把“过程与方法”作为目标是一个很大的变化。在以前的《大纲》中，虽然都不同程度地强调了“过程与方法”的重要性，但是，这次课程改革把“过程与方法”作为目标提出来，这样，“过程与方法”不是可有可无的东西，而是必须实现的基本目标，这的确是一个很大的变化。实际上，在长期的教学活动中，优秀的教师不仅关注学生对知识技能的掌握，而且特别关注掌握知识技能的过程，包括知识的来龙去脉，结论的背景、产生过程和意义，获取知识的能力和方法，等等。

“过程与方法”是课程的目标，如何实现这个目标是学需要我们认真探索的问题。我们不仅需要总结优秀教师在这方面的经验，还需要探索一些新的课题，例如，如何理解过程性目标的问题，如何实现过程性目标的问题，如何评价过程性目标的问题，如何把知识技能目标与过程性目标有机结合的问题，如何把过程性目标与情感、态度、 价值观的目标有机结合的问题。这些问题是极具挑战性的。我们希望和广大教师一起来探索解决这些问题的方法。本单元中，拟通过问题的形式，帮助老师理解高中数学课程的基本理念与目标。

单元学习目标

? 正确把握高中数学课程的定位 ? 理解高中数学课程的基本理念 ? 理解高中数学课程的三维目标

重要概念

数学课程定位 三维课程目标 基础性 选择性 应用意识 学习方式 五大能力

学习建议

认真学习《普通高中课程方案（实验）》，《普通高中数学课程标准（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）解读》中有关课程理念与目标的内容，正确把握高中数学课程的定位，研究高中数学课程的基本理念以及高中数学课程三维目标的内涵。在教学中，不断探索和思考如何把过程性目标与知识技能目标以及情感、态度、 价值观的目标有机结合起来，并在评价中体现过程性目标，使过程性目标真正落到实处。

1、如何把握高中数学课程的定位？

（1）高中数学课程是面向全体高中学生的。即，高中数学课程要为两类学生服务：升入大学的学生；不能升入大学的学生。近几年，随着我国高等教育规模的不断扩大，大学升学率也在逐渐提高，但全国平均大学升学率也只有60%左右，还有近40%的高中学生不能升入大学学习。因此，高中数学课程除了为60%的升入大学的学生奠定今后发展和进一步学习需要的数学基础外，还要为近40%的不能升入大学的学生奠定今后工作、学习、生活和进一步发展的所需要的数学基础。同时，升入大学学习的学生，由于不同高校、不同专业对学生数学方面的要求不同，甚至同一专业对学生数学方面的要求也不一定相同。而且，随着时代的发展，数学在其它学科中的应用越来越广泛，无论是在自然科学、技术科学等方面，还是在人文科学、社会科学等方面，都需要一些具有较高数学素养的人才，这对于社会、科学技术的发展都具有重要作用。因此，高中数学课程要体现时代性、基础性和选择性，为不同兴趣和志向、不同发展方向、进入高校不同专业学习的学生提供适合他们的数学基础。

（2）高中数学课程不是培养数学专门人才的基础课。高中数学课程，虽然也承担着培养数学专门人才的任务，但是，高中数学课程的定位不是培养专门数学人才的基础课，而是面向全体高中学生的数学基础课。

高中毕业生中，有40%的学生不能升入大学学习，即使升入大学学习的学生，由于专业的不同，也不一定继续学习数学。因此，有相当数量的学生高中后不再学习数学。但是，在他们今后的学习、工作和生活中，需要用数学帮助他们思考、解决问题。如果在他们遇到问题时，能意识到用数学，并能知道用哪方面的数学，这对于他们的发展无疑是有帮助的。因此，高中阶段的数学课程，要为学生提供较为宽广的数学视野，为学生提供基础的、重要的、丰富的数学内容，供学生根据各自兴趣进行选择，为他们今后的发展奠定好基础。

（3）高中数学课程要强调数学的本质，突出主线、通性通法，需要削枝强杆。由于高中数学课程要为不同发展方向的全体高中学生服务，因此，高中数学课程在内容的选择上，就要突出本质的、重要的、基础的内容，除了数学基础知识外，还要有一些更重要，更基本的“内容”或“思想”，贯穿于整个高中数学课程的始终。这些贯穿于整个数学课程始终的主线是学生学习数学的抓手，通过这些抓手，学生才能更好的理解数学的本质，体会数学的思想方法，为今后的发展奠定必要的数学基础。同时，高中数学课程要突出通性通法，消减非本质的、细枝末节的、技巧性的内容。

2、如何与时俱进的看待“双基”？

“双基”是我国数学教育界普遍使用的一个名词。“双基”顾名思义是指“基础知识和基本技能”。但

在许多场合，人们在使用“双基”一词或强调“双基”时，其实质是强调打好“基础”，它包括基础知识、基本技能和能力。

重视“双基”是我们很好的传统。“双基”重要是我们的共识，与时俱进的看待“双基”也是我们的共识。但是，在目前的数学教育中，“双基”被异化也是一个不争的事实。现在，解题能力变成衡量“双基”的唯一标准，教学围绕做题，考什么教什么，教什么学什么。做题变成数学数学教育的唯一核心。对数学题目进行归类，分类总结解题套路和招数，成为数学教学的几乎全部内容。事实上，学习数学需要做题，但做题绝不等于学习数学。

在数学中，知识和技能是需要一个一个地学习，数学课也需要一节一节地上，但是，在高中数学课程中，还是有一些“内容”或“思想”更重要，更基本，贯穿在数学课程的始终。例如， “函数”、“运算”、“图形”、“算法”等等，它们的作用不能等同于知识点，不能等同于技能，也不能等同于一般的思想方法，它们反映了数学中更为丰富的东西，是数学的灵魂。它们将伴随着学生将来的学习和工作，这些反映数学本质的东西需要留在学生的头脑中。学生对这些内容的领会和掌握仅靠做题是难以实现的。

高中数学新课程中对“双基”赋予了新的内涵。随着数学课程内容和处理方式的变化，“双基”的内涵也在发生变化。例如，如果数学课程以方程为主线展开，那么，方程的知识、方程的解法就成为基础。如果，数学课程以函数为主线展开，那么，函数的知识、函数的思想以及研究函数的微积分思想就成为基础，而方程则作为研究函数的特例（求函数的零点）。高中数学新课程在以下几方面的变化赋予了“双基”新的内涵。

（1）内容处理上突出了几条主线，例如，“函数”、“运算”、“图形”、“算法”等等。从函数的角度看，函数思想、微积分思想成为“双基”的组成部分。从运算的角度看，向量由于其丰富的运算性质自然成为“双基”的组成部分。从图形的角度看，几何直观、对图形的把握也成为“双基”的组成部分。算法是适应信息时代发展需要的内容，成为高中数学课程中的新“双基”。高中数学课程中更加重视统计，基本的数据处理、统计知识等，也成为高中数学课程中的新“双基”。

（2）从笼统地强调技能，到强调通性通法。高中数学新课程中，删减了烦琐的计算、认为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，突出对解决其他问题有指导意义的通性通法（skill），淡化那些小技巧、小把戏（trick）。因此，通性通法（skill）成为“双基”的内容，而那些小技巧、小把戏（trick）将不再是“双基”的内容。

（3）从单纯的强调演绎，到强调归纳演绎并重。数学既是演绎的科学，又是归纳的科学。 “演绎推理”和“归纳抽象”是认识数学的两个基本方面，从一般到特殊，从具体到抽象，都是重要的。但在实际教学中，常常忽视后者。例如，认为知道映射的定义，就应该理解函数的定义，了解一般函数概念自然就能理解特殊的函数等，这种过多的关注数学演绎的方面，而忽视数学归纳的方面的认识是片面的。在高中数学新课程中，强调归纳演绎并重，并提出培养学生抽象概括能力的课程目标。因此，归纳（抽象概括）也成为“双基”的重要内容。

（4）从强调知识点到整体把握课程、挖掘贯穿数学课程始终的主线。在以往的数学课程中，比较关注知识点，甚至把考试卷中对知识点的覆盖率作为评价考试卷是否全面考察“双基”的标准。数学知识的学习固然重要，但更为重要的是贯穿于数学知识中的数学思想方法，特别是一些更重要、更基本、反映数学本质的内容或思想，它们将伴随着学生将来的学习和工作，是学生终生受用的。高中数学新课程突出了这些内容或思想，而且把它们作为贯穿于整个高中数学课程中的主线，并强调以这些主线为抓手，整体把握数学课程。因此，整体把握数学课程也成为“双基”的重要组成部分。

同时，高中数学新课程强调阅读自学是学生学习数学的重要方式之一，并在有关的课程内容中提出让学

生阅读自学的要求。因此，学生的数学阅读能力也是“双基”的重要组成部分。

3、高中数学新课程为什么要提倡多种学习方式？

（1）高中数学新课程提倡多种学习方式的背景。

当今时代，科学发展呈现出高度分化基础上的高度综合化趋势。一方面，科学的发展，分支越来越细。在科学某一个分支领域的专家很难知晓和理解其他分支领域的专家的工作。另一方面，科学发展又呈现出高度综合化的态势，许多问题的解决需要不同分支领域人员的协作才能实现。因此，在当今时代，具有团队精神，合作交流的意识已成为学生必须具备的基本素质，也是高中课程的目标之一。而这种素质的培养，需要学生在学校学习中，采用合作、探究等方式。

计算机、网络技术的发展，为人们提供了更多、更广阔的交流平台。以计算机为核心的网络技术的发展，正在改变着人们的生活方式、学习方式和工作方式。网上购物、聊天、交友，虚拟教室、网络课程、远程交流和信息查询，网上办公等等，已经成为现实。网络延伸了人们的触觉，通过网络，可以进入远在大洋彼岸的图书馆查阅资料，可以与世界不同地区不同肤色的人们进行交流，可以与不同领域的专家讨论问题，可以发表自己对某个问题的见解等等。因此，计算机、网络技术的发展，一方面，为人们提供了更加广阔的交流平台，另一方面，向人们提出了学会交流的要求。同时，网络技术的发展使得信息的储存和提取更加快捷方便，这就使得以记忆现成知识为主的学习方式受到挑战。面对这种挑战，需要不断创新知识和技术。而创新能力需要在学校教育中培养样和发展，这就要求在学校学习中转变学习方式。

（2）高中数学教学中存在的问题。

老师替代了学生的工作，老师的“讲授”替代了学生的思维过程。高中数学教学中，教师处于“好心”，为了节约时间，追求所谓的“高效率”，把教材中的知识嚼细喂给学生。教师的讲授替代了学生的学习、替代了学生的思维过程，使学生丧失了独立思考、自主探究的机会。导致大部分学生只会对着题型套路解题，而在面对新的问题时则茫然不知所措。

学生的学习方式单一。现在，高中学生的学习方式，内在表现为对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，外在表现为预习、听课、做作业、考试这样的模式。听课后，学生很少对所学知识进行反思、归纳和总结，也缺少将所学内容与以往学过的内容建立联系，整体把握课程内容的习惯。致使所学知识零乱，缺乏系统性和整体性。

考什么教什么，使得所教所学的知识更加狭窄。高中数学教学围绕考试转，考什么教什么，不考则不教，使得学生的视野狭窄，发展受到局限。

（3）提倡多种学习方式有助于学生更好的学习数学。

帮助学生学好数学的方法之一就是倡导多种学习方式。丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。高中学生的学习方式，除了对概念、结论和技能的记忆、模仿等方式以外，还应提倡独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。特别应注意，养成好的学习习惯，培养学生的问题意识对于学生更好的学习数学是非常重要的。在提倡多种学习方式时，对讨论班这种学习方式应给予特别的关注。事实上，无论是大学还是中学，讨论班不仅是一种学习方式也是一种工作方式，对于学生的数学学习和今后的发展有重要作用。

不同人的学习方式不同，不同的学习方式的收效也不同。学习方式具有个性化的特征。不同人所喜好的学习方式不同。很难找到一种适合于所有学生的高效的学习方式。因此，新课程提倡学习方式的多样化，而不是用一种学习方式取代另一种学习方式。

4、高中数学课程为什么要强调发展学生的应用意识？

（1）发展学生的应用意识的背景。

发展学生的应用意识是数学科学的发展的要求。20世纪中叶以来，由于计算机和现代信息技术的飞速发展，使应用数学和数学应用得到了前所未有的发展，数学渗透到几乎每一个学科领域和人们日常生活的每一个角落。人们越来越认识到“高科技本质上是数学技术” 、“数学已经从幕后走到了台前，在许多方面直接为社会创造价值”。数学应用的巨大发展作为数学发展的显著特征之一，必然要影响到数学课程，在数学课程中有所体现。这就要求我们从小培养学生的应用意识，使学生对数学有一个比较完整的了解，树立正确的数学观。

发展学生的应用意识有助于培养学生的创新能力。应用问题是发展学生应用意识的重要载体。一方面，

应用问题提供了丰富的背景，这些背景是不断变化的，很难用固定的模式进行分类。一般来说，一个问题要作一种思考。另一个方面，解应用问题或应用数学解决实际或其它学科问题，并不像解数学习题，很多时候结论是在探索过程中逐渐形成的，有时需要提出一些猜想，在探索过程中不断地检验、修改猜想。因此，解决应用问题、培养应用意识有助于培养学生的创新能力。

发展学生的应用意识是培养学生兴趣的需要。学生对数学的兴趣往往来自不同的方面。有的人因为严格的数学证明而对数学产生兴趣，有的人则是因为数学的广泛应用而对数学产生兴趣。因此，在中学，引入应用问题、培养应用意识，也是培养学生的数学兴趣的需要。

发展学生的应用意识是培养学生自信心的需要。在数学教学中，有一些学生不擅长从概念到概念的抽象数学理论的学习，但却擅长数学应用。在教学中，尊重学生的这种差异和喜好，为学生提供应用数学的机会，将会使不擅长从抽象数学理论的学习的学生也能体验到成功，从而树立学好数学的自信心。

（2）高中数学教学中存在的问题。

数学教学中忽视数学应用。我国数学教学中，比较突出的一个问题是忽视数学的应用，忽视数学与其他学科以及与日常生活的联系，忽视培养学生的应用意识。我国在很长一段时期内，数学教育界过分强调“数学是思维的体操”， 把数学应用斥之为“实用主义”、“短视行为”， 1995年以后，虽然数学应用的呼声渐高，但是数学课程中对数学应用的重视程度还是比较弱。由于数学课程与教学中对数学应用的忽视，学生在数学学习中，认识不到数学的应用价值、数学与日常生活以及其它学科的联系。

（3）高中数学课程中如何体现数学的应用价值。

对于数学应用存在着一个误解，认为只要数学学好了, 自然就会应用。实际上，培养学生数学应用的意识是一件很不简单的事情，它绝不是知识学习的附属产品，应该使学生学到必要的数学应用知识和受到必要的数学应用的实际训练，否则强调应用意识就会成为空洞的说教，这是一项并不容易的任务，它牵扯到转变观念、改变课程安排等多方面因素，需要认真研究和推行。

为了发展学生的数学应用意识，《标准》多次强调数学概念形成的背景，重视介绍数学知识发生发展的来龙去脉；注重帮助学生学会运用数学语言去描述周围世界出现的数学现象；开展“数学建模”的学习活动，注重帮助学生体验数学在解决实际问题中的作用；设立体现数学某些重要应用的专题课程，鼓励教师和学生收集数学应用的事例，加强数学与日常生活及其他学科的联系，拓展学生的视野，使他们体会数学的应用价值。

数学的应用有大的方面的应用，例如，数学在天文、物理、化学中的应用等，这些也需要学生了解。同时，数学还有大量的在其它学科中的具体应用。而且，往往这些学科又为数学提供了现实背景。数学与其它学科的这种天然的联系为数学的应用开拓了广阔的空间。用数学解决其它学科中的问题，体现了数学的应用；以其它学科为背景，抽象出数学概念、理论，也体现了数学的应用。例如，向量在物理学中有着广泛的应用，而物理学又为向量提供了现实背景。在教学中，有时老师们往往会讨论向量与力教学的顺序问题。其实，哪个在先都可以。如果，先学习了向量，再学习力，那么就可以用向量的知识帮助理解力、解决力学中的问题，这是数学在物理中的应用的体现。如果，先学习了力，再学习向量，那么，就可以以力为背景，借助力去理解向量，建立向量的理论，这也是数学应用的体现。

此外，还需要掌握一些基本的在日常经济生活中应用的数学模型，例如，数列模型等。数列作为一类特殊的函数有着广泛的应用。例如，在我们日常经济生活中的存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧、商家返卷等等几乎所有经济问题都可以归结为数列模型，它们都可以用等差数列和等比数列模型来刻画。因此，在人们的日常经济生活中，等差数列、等比数列是刻画日常经济生活有关规律的基本数学模型。掌握这些模型，对于学生解决应用问题、发展应用意识无疑是非常重要的。

5、为什么在高中数学课程中要注重提高学生的数学思维能力？

培养和发展学生的数学思维能力是发展智力、培养能力的主要途径。数学的产生和发展始于对具体问题或具体素材的观察，实验，归纳、类比等合情推理，但又不停留于观察、实验、合情推理活动，而是在此基础上进一步通过比较、分析、综合、概括去揭示事物的本质，通过演绎推理得出数学结论。数学学习和研究从不满足于特殊情况的结果，而是通过归纳、类比等方法去探索、研究各种对象的一般规律，寻求解决问题的一般方法。数学学习和研究也从不满足于局部范围的统一，而是通过拓广原来的概念和理论去寻求更大范围的统一，发展和构建新的结果和理论。这种数学发展与数学学习的过程，形成了数学的特定思维方式。即，首先对具体问题或具体素材进行考察，进一步经过分析，找出事物的最简单的本质的出发点（基本概念、关系或公设），然后寻求问题的一般解决方法，最后通过演绎（逻辑）推理形成严格的体系。因此，数学思维不仅有生动活泼的探究过程，其中包括想象、类比、联想、直觉、顿悟等方面，而且有严谨理性的证明过程，通过培养和发展学生的数学思维能力，能够发展的学生的智力和培养学生的一般能力，能培养学生辨证唯物

主义世界观，能培养实事求是、严谨认真和勇于创新等良好的个性品质。这对于人的身心发展，无疑将起重大作用。

数学思维能力有助于提高学生的生活质量和工作能力。数学思维能力在学生处理日常生活以至将来工作或进行研究时, 会大大地提高他们的工作水平和能力。例如，在讨论问题时，有较好数学思维能力的人希望明确讨论问题的前提，对这些前提大家要尽量一致，当讨论过程中需要修改前提时，也尽量达到基本一致，这样会提高讨论的效率。这是演绎思维能力（一般到特殊）的一种体现。又如， 在遇到诸如产品质量检验等问题时，有较好数学思维能力的人会采用推断性统计方法，通过抽样，用样本的信息来推断总体。这是归纳思维能力（具体到一般）的一种体现。

6、如何把握数学本质与适度的形式化？

回顾数学的发展历史，可以看到19世纪以前，数学和现实的联系非常紧密。 到了19世纪中叶，非欧几何产生了，抽象群论出现了，分析严密化的ε-δ语言开始流行了，与此相应的形式化的“符号逻辑”也应运而生。 在抽象集合论的土壤上，产生了希尔伯特为代表的形式主义学派。希尔伯特曾提出按照无矛盾性、独立性、完备性的标准将所有数学分支建构成形式公理体系。但是， 1931年，奥地利数学家哥德尔证明，包含自然数算术在内的任何公理体系如果是无矛盾的，那都是不完备的，即存在一个数学命题，在该公理系统内既不能证其对，也不能证其错。于是，哥德尔定理破天荒地第一次分清了数学中“真”与“可证明”是两个不同的概念，可证明的数学命题固然是真的，但真的数学命题并不一定是可以证明的，因而将整个数学“形式化”的理想破灭了。

继希尔伯特形式主义之后，20世纪中叶兴起了“布尔巴基学派”。该学派试图用结构的思想方法来建构整个数学世界，梳理整个数学的体系，实现全部数学的公理化。数学结构思想方法实质上是对现代形式公理化思想方法的一个新发展，是把形式公理化思想方法推向一个更高的层次。形式公理化方法着眼于每一门数学分支的形式公理化或结构化，而结构方法则是以形式公理化方法为工具，着眼点不是哪一门数学，而是从整个数学全局出发，不仅在整个数学的大范围内分析、研究每一门数学结构，而且还分析、研究各个数学分支之间的结构的本质差异及其内在相互关系。从系统方法论的观点看，数学结构思想方法是把整个数学作为大系统，而把每一门数学或每一个数学分支作为这个大系统的一个子系统，从而将整个数学大系统按结构的特征分成若干子系统，在此基础上，不仅要探讨各个子系统的结构特征，而且要探讨子系统结构之间的内在联系及本质差异。而建立每一个子系统或每一门数学结构的具体方法则是形式公理化方法。

布尔巴基学派在集合论的基础上，首先建立了三种基本数学结构：代数结构（群、环、域），序结构（偏序、全序），拓扑结构（邻域、极限、连通性）。并称这三种结构称为母结构。然后在三种母结构的基础上根据“亲缘”关系，交叉产生新的边缘结构，这些交叉边缘新结构统称为子结构。例如，由代数结构与序结构交叉产生序代数结构；由代数结构与拓扑结构交叉产生代数拓扑结构；由序结构与拓扑结构交叉产生序拓扑结构；由代数结构、序结构、拓扑结构交叉产生序代数拓扑结构等等。该学派认为，在数学世界的中心，是三种母结构：代数结构，序结构，拓扑结构。每一种母结构又可分化出许多分支，也称为子结构，这些结构彼此之间有一定关系，它们都由公理来决定。母结构之间、母结构与子结构之间、子结构之间根据“亲缘”关系交叉又可以产生一系列更复杂的交叉边缘新结构，已建立的结构的不断分化及其之间的不断交叉又进一步产生新的结构，如此扩展，可以由简单到复杂，由一般到特殊，形成层次分明的系统，建构整个数学的结构体系。正如他们自己所说“数学好比是一座大城市，城市中心有些巨大的建筑物，就好比是一个个已经建成的数学理论体系。城市的郊区正在不断的并且多少有点杂乱无章地向外延伸，它们就好象一些尚未发育成型的正在成长着的数学新分支。与此同时，城市的中心又时时在重建，每次都根据构思更加清晰的计划和更加合理的布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将建起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道，通向四方，??”。布尔巴基学派试图从集合和集合上的结构来构建整个数学的实践，也在1970年代左右中止。

希尔伯特的“形式主义”和布尔巴基的“结构主义”的思潮有其积极的一面，是数学发展中的一座里程碑。它形成了从定义公理出发利用演绎来构架数学内容的体系的一种数学传统，其影响十分广泛， 在一个相当长的时期内成为了数学教育（包括数学教科书编写、数学教学等）的主导思想。例如，“新数运动”就是这种思想在中小学数学教育中的典型体现。直至今天，这种思想仍然在数学教育中有它积极的意义，在教育观念上留有深刻的烙印。

数学固然可以用结构化的思想加以整理，并在此基础上进行推进，这是进行数学发展的一种重要方式， 但是，过分强调结构化就把数学的背景和本质忽视了，使得数学研究变成了从形式到形式的研究。尤其是从20世纪，这样的发展有一种极端化的趋势，影响数学的学习者对数学的理解。早在20世纪40年代，很多著名数学家看到了这种趋势的危害，这里，我们再引一段数学家柯朗的论述：

“目前，过分强调数学的公理演绎特点的风气，似乎有盛行起来的危险。事实上，创造发明的要素，起指导和推动作用的直观要素，常常不能用简单的公式来表述，但是，它们却是任何数学成就的核心，即使在

最抽象的领域也是如此。如果说完善的演绎形式是目标，那么，直观和构造是动力。

有一种观点对科学本身是严重的威胁，它断言数学不是别的东西，只是从定义和公理推导出来的一组结论，只要保证这些定义和公理不矛盾，可以由数学家根据他们的意志随意创造。如果这种说法是正确的，数学将不会吸引任何有理智的人。它将成为定义、规则和演绎法的游戏，既没有动力，也没有目标。认为灵感能创造出有意义的公理体系的看法，是骗人的和似是而非的真理。”

“新数运动”之后，美国等国家提出了生活中的数学，强调学生的原有的数学认知等，都可以看作是对数学教育中这种形式化倾向的一种纠正。

形式化是数学的特征之一，但是中学数学中的形式化受学生认知水平的限制。在高中数学课程中，适度形式化是必要的。例如，对于运算的学习，就需要严格按照运算的定义，遵循运算律。过度形式化是不必要的。例如，对于几何、函数等内容，过度形式化是不必要的。对于几何，不必严格遵循几何的公理系统，而要关注几何直观。对于函数，也不必从集合、关系的角度去展开等。重要的本质的基本的数学内容需要介绍它们的背景和应用。例如，向量，好的不等式等，有非常丰富的背景和广泛的应用。

因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、过程和本质，揭示人们探索真理的道路。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想，体验寻找真理和发现真理的方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

7、高中课程为什么要强调选择性？

（1）选择性是整个高中课程的基本理念，也是本次高中课程改革的最大变化之一。

在人生的成长过程中，将不可避免地面临着选择，如何积极地面对选择，对个人的发展来说，有时是至关重要的。学会选择，是未来公民必须具备的素养；学会选择，将有利于个性发展。 在九年义务教育阶段，学生进行自我选择的要求和能力还比较弱，数学课程提倡“弹性”，不强调选择性，这对学生的发展是有利的。然而，对于接近成年的高中学生来说，选择适合自己发展的数学基础、提高自身规划人生的能力是十分重要的。

高中阶段是锻炼学生选择能力的最佳时期。在新的高中课程方案中提出，在高中阶段培养学生的人生规划能力的目标。选择性正是培养学生人生规划能力的需要。在1990年的《数学教学大纲》中，将普通高中的课程分为必修课和选修课两部分，设计了文科系列和理科系列的课程。在《标准》中，加大了选择性的力度，这是这一轮课程改革最大的变化之一。

回顾我国高中数学教育的历史，过分单一的数学课程为许多学生带来无尽的烦恼，也使人才选拔机制产生过于机械呆板的弊病。学生的个性差异是客观存在的，并且随着教育的发展，接受高中教育的人将越来越多，这使得学生的个性差异越来越大。如果说以往的“精英教育”， 还可以勉强地按照一个模式进行教学，实行单一的数学课程的话，那么今天的数学课程就要面对更加复杂的差别。同时，高中数学课程国际比较的结论告诉我们，高中数学课程的多种选择是国际数学课程发展的普遍趋势。根据我国教育发展的现状，《标准》提供的选择数学课程的灵活程度，与某些国家相比还不是很高，我们是希望课程改革能够循序渐进，走得稳妥些。

（2）选择性为学生发现、培养自己的兴趣、特长提供了空间。 在心理学上，有的专家认为兴趣是先天的，也有专家认为兴趣是后天形成的。这些对学生来说不重要，重要的是知道“自己的兴趣是什么”。兴趣概念是广泛的，有人喜欢思考，有人喜欢动手；有人喜欢“理科”，有人喜欢“工科”，有人喜欢“文史科”，有人喜欢“医科”；有人喜欢理论，有人喜欢应用；有人喜欢“电影”，有人喜欢“戏曲”，等等。不同的人有不同的兴趣。也有一些人不知道自己的兴趣所在，这总是个缺憾。发现、培养自己的兴趣会给自己带来快乐。数学是一个非常有魅力的学科，通过数学的学习可以帮助学生发现、培养自己的兴趣。

特长和兴趣既有联系，又有区别。在数学学习中，有的学生善于计算，“数感”非常好，善于发现“数、式”中的规律；有的学生图形想象力非常强，善于发现“图形”中的规律；有的学生对数据有明锐的感觉，善于发现“数据”中的有用信息；等等。每个人都有特长，不同的人特长不同，有一些人不知道自己的特长所在，这也是个缺憾。发现、培养自己的特长对学生未来的发展同样是非常重要的。

高中数学课程中选修课的设置就是希望从不同的角度激发学生学习数学的兴趣，帮助学生发现、培养自己的兴趣、特长，希望数学能为学生的发展提供帮助，这是高中新数学课程的最高追求。

8、如何把握高中数学课程的基础性？

（1）高中教育是基础教育，高中数学课程为全体高中学生提供必要的数学基础。

高中数学课程的基础性，包括两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备。对基础的理解，不能仅仅停留在知识技能上,还应包括过程与方法、情感态度价值观，它们对于学生未来的发展都是非常重要的。

（2）高中数学课程为不同学生的提供不同的基础。

随着时代的发展，各行各业都对公民的数学素养提出了更高的要求，不同行业对数学的要求是不尽相同的；学生的兴趣、志向与自身条件也不相同，因此，每个人未来发展所需要的数学基础是不一样的。我们应当以学生的发展为本，尊重他们的个性发展。 为此，《标准》设置了不同的基础。必修课程是基础，选修系列1、2也是基础，选修3、4同样是基础，它们都是基础，是为学生的不同需求而设置的。

9、高中数学课程为什么要体现数学的文化价值？

在数学课程中，强调数学的文化价值，是本次数学课程改革的一个亮点。数学课程不仅仅要重视数学的知识技能、过程方法，还要特别强调它的价值，这对于学生的持续发展是很重要的。对此，我们从以下两个方面来论述。

（1）数学是人类文化的重要组成部分。

什么是文化？这是一个很难回答的问题。下面对文化的一些论述有助于我们认识文化。文化是一群人的生活方式，包括行为模式或行为准则，它规定了哪些行为是合适的、正常的、符合规范的。文化又是一个知识和技术的体系，我们依靠这一体系来适应周围的物质环境。文化还是一个社会中人与人相互关系的规范系统，是知识、信仰和规矩的总和。由此可见，一个团体坚持某种行动准则，持续的去做就形成了文化。文化有两个重要特征：首先，文化是共同享有的。如果只有一个人在想某个问题或做某件事情，那么这个行为代表的只是个人习惯，而不是一种文化模式。这是因为一种被认为是文化的思想和行为必须被一处居民或一群人所共同享有。即使不被共同享有，如果大多数人认为合理，也可以被视为文化的观念和行为。例如，结婚应该只包括一男一女，这在我们的社会中是一种文化的观念。大多数中国人都持有这种观念，在他们结婚时也照此行事。又如，美国总统这一角色并不是能共同享有的，因为，每次只能有一个人能当总统。但是，这个角色具有却具有文化的属性。这是因为，大多数美国人赞成这个角色的存在，而且希望任职者表现出一定的行为；其次，文化是后天习得的。共同享有只是文化的必要条件，而不是充分条件。例如，一个民族的肤色虽然被共同享有，但不是文化，因为它是由遗传决定的，而不是后天习得的。吃也不属于文化，因为吃是人的本性，不吃东西就不能生存。但是，吃什么，什么时候吃和吃的方法都是后天习得的，不同的人群、民族有不同的表现。因而，就有饮食文化等。

数学首先是数学家共同体共享的一种文化。在数学的发展过程中，数学已经融入人类的文化发展进程，渗透到人类思维、生产和生活的各个方面，成为人类文化的重要组成部分。例如，产生于古希腊的欧几里得几何原本的公理化思想成为建构自然科学体系的典范，也对人类的政治、社会生活产生重要影响。牛顿的《自然哲学的数学原理》奠定了经典力学的体系，但它是受欧几里得几何原本中的公理化思想影响的。美国宣布独立的纲领性文件《独立宣言》以及西方社会三权分立的社会制度等都是受到公理化思想影响的。尤其是数学的现代发展越越来越表明，高技术的本质是数学技术，数学正在从幕后走向台前，直接为社会创造财富。因此，数学在它的发展过程中已经成为人类共享的文化，成为人们的行为准则、价值观念、知识和技术。

我们不能太狭隘的理解数学，认为数学只是一种知识和方法，而要把它放到文化层面去理解，把它看成是人们共享的文化，这样所学的数学才能搁得住。

（2）高中数学课程中数学文化价值的体现。

《标准》强调了数学文化的重要作用，要求将其尽可能与高中数学课程内容有机结合。但是，如何体现数学的文化价值，是一个很有挑战性的问题，并不是《标准》有要求就一定能够做的很好。它需要各方面协同来共同来营造一个体现数学文化价值的氛围。例如，《标准》中设置了“数学史选讲”的专题。数学史选讲是体现数学文化的一个载体，如何在数学史选讲中体现数学的文化价值，如何把它和日常的数学学习结合起来是值得我们思考的。现在有一些学校正在尝试不同的做法，比如在讲函数时，就把函数发展的历史结合起来讲；讲向量时，就把运算的发展结合起来讲；在讲数学建模时，把20世纪数学的发展和数学在日常生活中的应用结合起来讲。这样就可以让学生对于数学有更加深刻的理解。

10、如何把握信息技术与数学课程的整合？

信息技术正在改变着人们的生活方式、学习方式和工作方式，也已经对数学教育产生了重要影响。例如，早在1996年前后，叶其孝领导了一个小组，用当时版本的mathematica把高等数学中的习题可以解决80%，现在可以解决100%。现在使用先进的数学软件，不仅可以解决问题，还可以展示解答的过程。例如，张景中院士开发的z+z智能平台，可以解决中学所有的几何问题，并能自动生成证明过程。现在，计算器、图形计算器和其它的软件在中小学的使用越来越多。 面对信息技术的挑战，我们必须从另外一个角度来认真思考，数学教育应该教什么？重点是什么？怎么教？怎么学？新课程提倡学生学习方式的多样化，在合作学习和探究学习中，信息技术应该发挥什么作用？等等。这些都是时代对我们提出的挑战性的问题，对这些问题需要长时间的思考和探索。

在前一段的数学新课程教学实践中，对于如何应用信息技术进行数学教学和学习等方面作了一些有益的探索，使得教学的形式活泼了，也提供了新的学习方式。但是，我们希望老师还应注意信息技术在其它方面带来的好处：一个是资源（信息技术改变了资源的配置，以往教师比学生多占有或优先占有资源，而现在，教师在资源占有方面不一定比学生有优势。通过网络，可以实现世界范围的资源共享。）；一个是交流（信息技术为交流打开了渠道，学习过程中的交流不仅仅是face to face , 还可以远距离在线交流，这既自如又节省时间。）；还有一个是评价（信息技术将带来评价方式的重大变化，例如，清华大学正在尝试在网上用过程性评价来选拔学生，这就使得评价不再只限制在纸和笔。）。因此，不能仅仅把信息技术局限在课堂教学内容中，还应用在课程资源开发、日常交流、评价等方面。

11、如何建立合理科学的评价体系？

评价不仅教育需要，而且社会各行各业、各个方面也都需要。例如，谋职、招聘等，都需要评价。社会发展对人的要求的变化必然引起评价体系的改变，越来越看重评价的科学化。因此，建立科学合理的评价体系是社会发展的要求。人们也在做评价方式上的调整，例如，招聘中的面试、操作等，都是评价方式的调整。面试评价的方式会逐渐进入教育的评价体系。每位教育工作者，应该密切关注评价的这些变化。就学生评价的变化而言，首先是招生的制度变化，大学自主招生会稳步扩大；其次，笔试试卷的结构会有变化、题型也会有变化；再次，这几年的高考也有强调通性通法，淡化技巧的趋势。当然，这些变化是不容易的，还需要我们共同的努力。

《标准》提倡评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注他们数学学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化。除了给学生打分的“终结性”评价之外， 更多地提倡过程性评价，即关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评价，关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以及在过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识以及实际能力、探索和创新的精神、坚韧不拔的意志等方面的评价。对于过程性评价，不能过分功利、过分狭窄的去看待。有时，老师不经意的一句话会改变学生的一生，这些都是过程性评价的价值所在。

通过评价，帮助学生建立好的学习习惯，是老师要持续去做的。评价要和日常教学和学习结合起来，而不仅仅是做试卷。其实，老师如果掌握了好的过程性评价的本领，会给老师带来快乐。

随着课程改革的推进，评价的必将作相应的改革。

12、如何理解数学课程中的过程性目标？

我们都经历了大学的学习，学习了很多的课程。如果认真地考虑，经过了这么长时间还给我们留下了什么？也许对一些概念、公式、定理等数学结论我们记忆并不很清晰。但是，数学教给我们的思考问题的方法却一直伴随着我们。例如，在与别人讨论问题时，希望大家有同样的出发点，不然，讨论一通，不可能达成共识，这就是数学教给我们的思维习惯。这些留下的东西恰恰就是我们在过程中强调的东西——思考的过程和思考的方法。

在工作中真正要用到的具体数学分支，具体的数学定理、公式和结论，其实并不很多。学校里学过的一大堆数学知识，很多都似乎没有派上什么用处，但在数学学习中所受的数学训练，所领会的数学思想和精神，却无时无刻不在发挥着积极的作用，成为取得成功的最重要的因素。因此，如果仅仅将数学作为知识来学习，

而忽略了数学思想对学生的熏陶以及学生数学素质的提高，就失去了（至少是部分地）开设数学课程的意义。如果将数学教学仅仅看成是一般数学知识的传授（特别是那种照本宣科式的传授），那么即使包罗了再多的定理和公式，可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用。而掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力．

在这一轮课程改革中，根据教育部课程改革纲要的精神，在课程目标中，提出了三维课程目标。把课程目标分为三个维度，即，知识与技能的目标，过程与方法的目标，情感、态度、价值观的目标。三维目标有各自的独立内涵，但是它们之间又存在着密切的联系。

把“过程与方法”作为目标是本次课程改革最大的变化之一。在以前的《数学教学大纲》中，不同程度上都强调了“过程与方法”的重要性，但是，这次课程改革把“过程与方法”作为目标。这样，“过程与方法”不是可有可无的东西，而是必须实现的基本目标，我们必须认识这种变化不仅力度大，而且有非常重要的意义。实际上，在长期的教学活动中，优秀的教师不仅关注学生对知识技能的掌握，而且特别关注掌握知识技能的过程，包括知识的来龙去脉，结论的背景、产生过程和意义，获取知识的能力和方法，等等。以数学学科为例，我们都知道在数学知识技能中，蕴涵着一些重要的数学思想和方法，学习的目的，不仅在于掌握数学知识技能和结果，更重要的是经历形成这些数学知识技能的过程，体会其中所蕴含的数学思想和方法，学会运用这些思想和方法去学习其他的知识，并能从中感悟数学的作用和价值，提高学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心。

“过程与方法”是课程的目标，但如何实现这个目标呢? 这的确是需要我们认真探索和思考的问题。我们不仅需要总结优秀教师在这方面的经验，还需要探索、思考一些新的课题，例如，如何理解过程性目标的问题，如何实现过程性目标的问题，如何评价过程性目标的问题，如何把知识技能目标与过程性目标有机结合的问题，如何把过程性目标与情感、态度、价值观的目标有机结合的问题等。这些问题是极具挑战性的，我们希望和广大教师一起来探索解决这些问题的方法。

13．如何理解情感态度价值观是课程的目标？

在心理学中，曾经把学生的心理因素分为智力因素和非智力因素。通常，把兴趣、信心、态度、习惯等归为非智力因素。实际上，它们在学生的学习中，发挥着很重要的作用。

在数学的学习、教学中，情感、态度、价值观不是空洞的东西，与数学课程密切相关。《标准》设定的目标指出：

“提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。”

“具有一定的数学视野，逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。”

这里强调两点： 首先是“兴趣”。

有人说学习的动力通常来自三个方面，一是觉悟，一是功利，一是兴趣。

文化革命前，主要靠觉悟，现在的学生不太了解那个时代。为革命学习，为国家学习，为人民学习，这些是那个时代的口号。这些口号激励了一大批人，努力地学习，刻苦地学习，发奋地学习。现在不提这些了，这不好，为自己的祖国做些贡献，还是需要提倡的。觉悟还有另一面，是对数学价值的认识，人都在追求好的东西，有价值的东西。如果形成一种责任感，也许对个人并没有太大的利益，但他们还会为之奋斗。《标准》强调“认识数学的应用价值、科学价值和文化价值”的目的，主要在于此。

现在社会非常商业化，“功利”成为衡量事物的基本标准，这也没有什么不对。但是，目前特别是在教育中，有些过分。在很多情况下，“功利”成为了唯一的追求，把教育的目标量化，这是很危险的，更可怕的是很多领导对此津津乐道。在学生学习中，也把“功利”作为唯一的动力，短见，急功近利，严重地影响了学生的发展，特别是影响一些有潜力、有特长、有天才学生的发展。

“兴趣”的培养被忽视了。最突出例子是数学竞赛。无论是国外，还是中国，数学竞赛的基本目的是培养学生学习数学的兴趣。而目前，在国内很多地方数学竞赛已经变味了，变成追逐“功利”的舞台，背离了开展数学竞赛的初衷。现在，小学数学竞赛越演越烈，甚至幼儿园也开设了“奥数”课程，这无疑是拔苗助长，危害极大。我们希望有识之士，特别是各级领导都来改变这种状况，按照儿童的成长规律，给儿童一个健康成长的环境。

对于儿童而言，能够引起他们兴趣的东西很多，数学是其中之一，数学是很有意思的，她有极大的魅力，引人入胜，作为数学和数学教育工作者，我们应该尽力吸引更多的学生喜欢数学，使他们从数学中得到对将来发展有用的东西，并能把这些东西用到他们的工作中。当然，对一些对数学有兴趣的有才华的学生，我们希望他们投身到数学和数学应用的事业中，展示他们的才华，为数学发展作贡献。

培养学生对数学的兴趣，是数学教育面临的一个巨大的挑战，在很多国家，不喜欢数学，甚至讨厌数学

的比例在增加，这应该引起数学和数学教育工作者的高度重视。

其次是“视野”。

1992年联合国教科文组织在巴西里约热内卢宣布“2000年是世界数学年”，其目的是让世界，特别是普通大众了解数学，了解数学与社会的联系。她的宣言指出：纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的主要钥匙。

数学是一个十分丰富的宝库。伴随着人类文明发展，她有着悠久的历史，她有极其丰富的内容和思想，她有极其广泛的应用。著名数学家华罗庚曾经指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无所不在。”

《标准》要求学生形成“具有一定的数学视野”。“知识”是重要的，“见识”更为重要。选修3、4课程目的之一，就是为学生奠定基础、开阔视野，这只是开始，数学和数学教育工作者应该不断开发更多新的选修课程。前面，我们用了很大篇幅从不同的角度探讨什么是数学，也是希望教师和学生对数学有一个比较全面的认识。

14．课程目标中，为什么要提倡独立获取数学知识的能力？

《标准》提出：“通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程；提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力；发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。”

首先，独立思考是学习数学的重要方式之一。独立获取数学知识的能力是学生数学学习的更高境界。 接受、记忆、模仿和练习是学生重要的数学学习活动，但是，不应只限于此，高中数学课程还应倡导独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。其中，独立思考是其它学习方式的基础。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。“通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。”

教师的作用是不可替代的，传授知识，指导学习，组织各种学习活动，等等。但是，所有这些不意味着教师可以替代学生进行学习。现在存在着一种倾向：教师替学生做的事情太多了。由于很多领导急功近利，考试成为实现政绩的方式，提高考试成绩、检查考试成绩成为唯一的管理手段，各种考试泛滥，例如，高考，年考，学期考，月考，甚至每星期考等等。教师希望学生尽快地适应考试，在教学中，“题型教学”、高容量、高强度的课堂教学成为比较普遍的现象。这样做，不符合学生的认知规律，事倍功半。因此，教师应提倡学生独立思考，培养学生独立获取知识的能力。

高中数学课程设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，这些都是为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。

其次，独立获取数学知识的能力是发展创新意识的基础和前提。

发展学生的创新意识是高中阶段的数学课程基本目标之一。在高中阶段，创新的最好体现应反映在：培养学生的问题意识。而能独立获取知识是问题意识的基础和前提。这就要求我们在数学课程设计和实施中，鼓励学生自己提出问题；鼓励学生从多种角度寻求解决问题的方法；课程应具有一定的开放性，给学生独立思考的空间；为学生营造一个积极思考、探索创新的氛围，等等。

“没有问题的学生，恐怕不能算好学生。”这是著名数学家丁石孙先生说过的一段话。非常有道理。现在很多学生，包括一些非常优秀的学生，只有不会做的习题，提不出问题，提不出好的、有价值的问题。希望教师和学生对此给予关注。我们感到，这是中国优秀学生与一些国外优秀学生最大的差距。没有提问题的习惯，提不出问题，就很难产生原创性的思想，这对于中国科学技术和社会的发展是十分不利的。

15．为什么把三大能力变成五大能力？

1963年《全日制中学数学教学大纲》（草案）中明确提出三个基本能力：计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力。这三大能力是中国著名前辈数学家华罗庚先生首先提出的。明确提出三大能力，对中小学数学教育起了很大的推动作用。

《标准》中提出了五个基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力。与以往的《数学教学大纲》相比，《标准》增加了抽象概括能力和数据处理能力。为什么增加这两大基本能力呢？

增加抽象概括能力和数据处理能力反映了对数学课程认识上的变化。我们知道，数学既是演绎的科学，又是归纳的科学。“演绎推理”和“归纳抽象”是认识数学的两个基本方面，从一般到特殊，从具体到抽象，都是重要的。但在实际教学中，常常忽视后者。抽象概括和数据处理都是一种归纳思维，因此，增加抽象概括能力和数据处理能力反映了数学课程从单纯的强调演绎，到强调归纳演绎并重。

数学有三个基本特征，抽象性，严密性，应用的广泛性。数学是严密的，对每一个正确的数学结果，它都是从一些定义、公理、定理出发，经过严密的逻辑推理得到的。例如，一元二次方程的求根公式，就是通过“配方思想”，反复使用代数运算的基本规律：结合律、交换律、分配律，最后得到的一个公式。我们学习的数学课程都有一个比较严密的体系。在数学的严密性中，逻辑推理能力，特别是演绎推理能力发挥着重要的作用。

演绎推理强调从一般到特殊、从抽象到具体。这是数学一种重要的思维方式。这种思维渗透到每一门数学课程中，也渗透到数学学习的每一个环节中。在高中数学课程中，无论是代数的内容、几何的内容、函数的内容，还是其他内容，都是培养这种思维方式的载体。

但是，从另一个角度，数学不是无源之水、无根之木，无论是数学的抽象性，还是数学应用的广泛性，都反映它具有丰富的背景，每一个数学概念，数学公式，数学的结果，都与其他的数学知识，其它学科的知识，社会生活、日常生活的经验有着密切的联系，它们有“来龙”，也有“去脉”。

我们不仅仅需要学生掌握数学知识和技能本身，还应该帮助学生了解知识、技能、结论形成的过程，产生的过程，能够从特殊到一般，从具体到抽象，能够从一些现象中，通过类比、归纳、猜想，通过合情推理，总结数学规律，发现数学规律。这也是数学的一种重要的思维方式，而且是非常重要的创造性思维方式。许多数学家反复建议，我们不仅要重视培养学生演绎推理的能力，同样，也要重视培养学生抽象概括能力。这种能力的培养也应该渗透到数学学习的各个环节中。 例如，我们应该关注，从映射概念认识函数概念，从函数概念认识具体的函数，例如，简单的幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，等差数列，等比数列等等。更为重要的是，我们应不断地通过具体的函数体会函数的意义和作用。我们应帮助学生在谈到函数时，头脑中不仅有抽象的定义，而有一批具体的实例，以及伴随着这些实例的图形，只有这样才能真正使数学“活起来”。

从儿童时代，学生获取数学知识的主要途径有如下几个方面：一个是“数和数的运算”；一个是各种“量”，例如，重量，高度，长度，等等。“数”和“量”有着密切的联系和规律，这些规律反映在能够“算”；一个是“图形”，图形的形状，图形的形质，图形的分类，图形的位置，图形的变化，等等；还有一个是“一堆数”，通常称为数据。例如，对于一个单位的人来说，他们的身高，体重，其它健康状况的指标等等；他们的收入，消费，存款等等。这些数据中有我们需要的信息，如何得到这些信息，如何使用这些信息，等等。

随着社会发展，人们对于数据、信息的关注越来越大，处理数据，已经成为百姓生活不可回避的问题。生活中的很多数据都是“杂乱”的，但并非“无章”，如何发现其中的规律，如何利用这些规律提高生活质量，是现代人必须面对的问题。数据处理能力已成为现代人的基本能力。在高中学习中，有必要掌握基本数据处理能力：收集数据，整理数据，分析数据，从数据中提取信息，利用信息说明问题等等。

强调数据处理能力，是高中数学课程的一个变化，希望老师们给予特别的注意。有人说统计不难，数据处理不难，这是有道理的，不难不意味着不重要，对一般人来说，最有用的东西都是不难的。

第三单元 整体把握高中数学课程

新高中数学课程在结构和内容方面也有比较大的调整。高中课程由三部分组成，必修课程，选修1、2系列课程，选修3、4系列课程。必修课程，选修1、2系列课程的内容是按模块设置的，选修3、4系列课程是按专题设置的。不同的课程有不同的功能，为不同发展方向的学生服务。

新高中数学课程在内容处理上突出了几条主线，例如，“函数”、“运算”、“图形”、“算法”等等。函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线，它们彼此之间又有着密切的联系，是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想，从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。这些主线可以把高中数学知识编织在一起，构成了一张无形的网，把整个高中数学课程的知识融会贯通。不断地梳理和完善这张网，就能在高中数学的教学中任意驰骋、游刃有余。

本单元中，将通过问题的形式帮助老师思考和探索整体把握数学课程的问题。

单元学习目标

? 体会高中数学课程结构和内容处理上的变化 ? 明确贯穿于高中数学课程的几条主线 ? 能整体把握高中数学课程

重要概念

数学课程结构 数学课程主线 函数思想 几何思想 算法思想 运算思想 随机思想

学习建议

认真学习《普通高中课程方案（实验）》，《普通高中数学课程标准（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）解读》中有关课程结构与功能的内容，研究高中数学课程在结构、内容处理方式方面的变化，体会这些变化的意义及理由，整体把握高中数学课程。

阅读有关的数学专业书籍，不断深化对函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等的认识和理解，提高自己的数学修养。

7、为什么需要整体把握高中数学课程？

我国数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统，新世纪的高中相互学课程应发扬这种传统。与此同时，随着时代的发展，特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”。

在研制标准的过程中，我们深切地感到，整体的把握高中数学课程应成为“双基”的主要组成部分，应该是我们打好基础的重要组成部分。函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线，它们彼此之间又有着密切的联系，是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想，从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。这些主线可以把高中数学知识编织在一起，构成了一张无形的网，把整个高中数学课程的知识融会贯通。我们应该不断加深对这个网的认识，从不同的角度认识高中数学课程，从局部到整体，从整体到局部，整体的把握高中数学课程。只要我们不断地梳理和完善这张网，我们就能在高中数学的教学中任意驰骋、游刃有余。

整体把握高中数学课程，有助于削枝强干，掌握通性通法；有助于开阔视野，抓住本质；有助于发现数学课程的内在联系；有助于形成好的学习习惯和学习能力。

8、如何整体地把握高中数学课程？

我们建议老师从以下几个方面入手，整体把握高中数学课程。 （1）高中数学课程的结构框图

要整体把握高中数学课程，首先应该了解一下整个高中课程的框架和结构，对高中课程有一个比较全面的了解。

高中课程由三部分组成。

第一部分是必修课程，由五个模块组成。每个模块要学习36个课时，这是每个学生都要学习的内容。 第二部分是选修1、2系列课程，这部分内容可以选择。简单地说，对于希望在人文社科方面发展的学生，可以选择选修1系列课程，有两个模块，72个课时；对于希望适合在理工等方面发展的学生，可以选择选修2系列课程，有三个模块，108个课时。

第三部分是选修3、4系列课程。这部分内容，学生可以根据自己的兴趣和需求选择，其功能将在后面介绍。

为了对高中数学课程的整体结构有个直观的了解，可以参考以下框图。

从数学课程内容来说，理解选择性是非常重要的，理解了选择性才能搞清楚课程结构。

（2）高中数学课程的内容框图

这里对内容先作粗略介绍，由简到繁，由粗到细，一步一步细化。用框图的形式对内容给予简单的描述是一种好方法，教师和学生可以不断地修改和完善这个框图，形成自己对数学课程的认识。如果能把这样的框图印在自己的头脑中就更好了。我们在中学时，遇到了一些好老师，他们要求我们对学过的东西有个整体认识。把东西放在头脑中，这样一个好的方法，使得提出、思考数学问题的机会大大增加了，提高学习数学的效率。

必修内容体系的框图：

必修与选修1系列内容体系的框图：

必修与选修2系列内容体系的框图：

必修内容、选修系列1、2的内容及其之间的关系，可以从上述框图中看得很清楚。

选修3系列的内容体系：

选修3由六个专题组成：数学史选讲，球面上的几何，对称与群，欧拉公式与闭曲面分类，信息安全与密码，三等分角与数域扩充。

选修3的内容是以前的高中没有正式开设的，一些学校以选课的形式开设过，对学生来说，必修、选修1、

2与以往没有太大的区别，选修3就内容来说也并不难，但是，需要认真深入地体会其中蕴涵的思想。

数学史选讲是要告诉学生数学发展的一个基本的脉络，选择数学历史发展中一些重要的事件、成果作为线索，介绍一些伟大的数学家的贡献和奋斗人生。

对球面上的几何，顾名思义，讨论“球面上图形的性质”，我们学过平面几何，这两种几何有什么相同，有什么不同？球面上的几何有什么用处？球面上的几何专题讨论这些问题。

“对称”是日常生活中常用的词，特别在生活中有很多“对称的”很漂亮的图形，这些对称图形不相同，如何对它们加以区别？这些对称图形中蕴涵什么数学？“对称”有什么用处？“对称与群”专题将讨论这些问题。

欧拉是最伟大的数学家之一，他的成就非常丰富，多面体的欧拉公式就是其中之一。四面体、长方体等都是多面体，欧拉发现了：这些图形的“面数减去棱数再加上顶点数等于2”，并且他给出了很好的证明。这是很有趣的，它反映了这些图形——曲面的性质。那么，是否还有其他图形也有这样的性质？是否所有多面体的曲面都有这样的性质？等等。“欧拉定理与闭曲面分类”这个专题将回答这些问题。

在“信息时代”，传送信息时保密的需求越来越大。在“信息安全与密码”中，将告诉学生一些基本的数学原理，学生可以通过操作，进一步了解和熟悉常用的信息安全保密的方法。

“用尺规可以三等分角吗？”这是学生都想了解的一个问题。在“三等分角与数域扩充”这个专题中，将引导学生一步一步地解决这个问题。学生会发现，解决这样问题与做习题不大一样，其中蕴涵着一种思考方法，不论是否专门学习数学，这种思考问题的方法都是很有用的。

我们希望学生喜欢这些选题，选几个学一下，会对数学有一些新的感觉。中国一些著名数学家，像华罗庚、段学复、熊庆来等，曾引导年轻一代人学习这些内容，对当时年轻人发展起了很大作用。

选修4系列的内容体系：

选修4包括十个专题，可以分为三类，

一类是与中学数学内容密切联系的，例如，几何证明选讲，不等式选讲，坐标系与参数方程。 一类是中小学数学课程内容拓展的，例如，矩阵与变换，数列与差分，初等数论初步。

另一类是数学应用方面的选题，例如，风险决策，优选法与实验设计，统筹法与图论初步，开关电路与布尔代数。

这样的分类并不严格，仅仅是提供思考的背景。选修4与选修3一样，就内容来说并不难，但是，需要认真深入地体会其中蕴涵的思想，这些思想在今后学习和工作中会有很大用处。

在后面的内容中，我们还将进一步地介绍这些选题的内容定位等。

（3）高中数学课程内容的主线

整体地把握高中数学课程，是理解高中数学课程的基点。我们希望老师思考一些问题，例如：是否有贯穿高中数学课程的“主线”？或说基本脉络。这些“主线”是什么？根据我们在研制高中数学课程标准过程中的思考，我们感到“主线”还是有的。在这里，我们提供一些建议，供老师们参考。

在高中数学课程中，函数思想，运算思想，几何思想（把握图形的能力），算法思想，统计和随机思想，等等，这些都是贯穿在高中数学课程始终的东西，构成高中数学的基本脉络。另一方面，这些思想之间联系密切。它们像一张无形的网，把高中数学课程的所有内容有机地联系起来，抓住了这张网，就可以更好地掌握数学课程，了解实质，提高学习的效率，当然，也会提高解题能力，考试能力。学生学习高中课程应该这样，以后，在大学学习、在工作中学习，也应该这样。著名数学家华罗庚先生常常说“既要能把书读厚，又能把书读薄”。读厚，就是要把每一逻辑关系，每一个细节搞清楚，想清楚；读薄，就是能抓住课程的主线，基本脉络，抓住课程的内在联系，形成整体认识。现在，中学教师非常重视细节，这是好的传统，希望保持，整体是另一方面，也必须重视，在一定程度上，更为重要。

在后面，我们还将分析为什么它们是“主线”。

（4）高中数学课程内容的顺序

学习数学课程的内容，总是有前有后。什么在前，什么在后，我们必须清楚。

首先，必修课程在选修1、2之前开设，选修3、4和必修课程是可以同时开设的。在必修中，必修1又是所有必修课程的基础，先开设必修1，才能开设其他必修课，不同学校可以根据自己的实际情况确定必修2、必修3、必修4、必修5的开设顺序。选修3、4的开设会因校而异，我们希望学校能有计划、有组织地多开设一些选修课，学生可以根据自己的兴趣，学校的实际，加以选择，选择能力对一个人来说是非常重要的，教师应引导学生有意识地锻炼自己的选择能力，在后面，我们还将专门讨论如何选择课程。

9、为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一？

为什么把必修1作为其它必修课程的基础？最主要的原因是突出函数的作用和意义。

20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分地综合。”

函数思想是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一。为了更好的理解高中数学课程，需要弄清中、小学数学课程中函数思想的发展脉络。

（1）在义务教育阶段，特别是在小学时期，数、量、图、数据（一批数）是引导儿童进入数学的源泉。在开始阶段，数和量常常是交织在一起，通常我们总说数量，数是用来刻画量的大小的一种工具，对于学生来说，我们更需要强调它们之间的联系。以重量、时间、长度、面积、路程等量为背景，对我们理解数的概念、数的表示、数的运算等是十分重要的。

在日常生活中，有两种量——常量和变量。在义务教育阶段，首先，帮助学生理解常量，或者理解数量，理解数量的大小，理解数量的加、减、乘、除，等等。

有些量是已知的，有一些是未知的，渗透未知量的概念，这是对量认识的一个飞跃，在小学阶段，经历了一个很长的过程。例如，在引入减法时，我们常常会使用这样的例子，5加多少等于9，即5+？=9。现在，在小学5、6年级，初步地形成方程的概念，这是对量认识飞跃的一个标志，对方程的认识也是一个很长的过程，把对方程的认识纳入到函数体系，这是克莱因思想的组成部分，是非常重要的。在近代数学中，用算子理论认识微分方程，这两者本质上是一样的。

从常量到变量，这是认识函数思想的另一个飞跃。这件事在小学就开始做了。通过大量的事实，帮助学生了解在日常生活中存在各种变量，例如，时间，路程、速度、加速度、温度、湿度等等。有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，速度和湿度就没有依赖关系。有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化，又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些变量之间都有着密切的依赖关系。这样的例子比比皆是。

通过大量的实例，就建立起了反映变量之间相互依赖关系的概念——函数关系。虽然这样的描述并不是十分严格，但是这是认识函数关系的重要视角。有人认为这是对函数的初步认识，这种说法不完全，变量与变量的依赖关系，从一个方面，揭示了函数的本质。函数是一个变量与另一个变量之间的一座桥，学习了映射，会对“桥”有更深入的理解。

（2）在高中阶段，学习的知识更加丰富了。我们利用更丰富的实例引导学生认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高中数学中，函数模型应该占有很重要的地位。我们在任何一个生活情景中，例如，邮局、加油站、机场等等，都会发现许多描述规律的函数关系。在其他学科，如物理、化学、生物、地理、社会、经济等学科中，描述规律的函数关系比比皆是。参看以下实例。

例如，人们早就发现了放射性物质的衰减（衰变）现象．在考古工作中，常用碳14（14C）的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：

C(t)＝C0e?rt．

其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t（年）后尚存的质量，e是一个无理数常数，约等于2.72.

为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期，碳 1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurbi王朝字样的木炭，当的衰减速度为4.09个/每克每分钟，而新砍伐烧成的木炭中碳每克每分钟．我们可以估算出Hammurbi王朝所在年代． 事实上，因为碳14C的半衰期是5730年．所以建立方程

1＝e－5730r． 214

14

C的半衰期大

约是5730年，由此可确定系数r．人们又知道，放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的．

时测定，其碳14C分子的衰减速度为6.68个/

C

解得 r＝0.000121，由此可知碳14C的衰减规律服从指数型函数

C(t)＝C0e－0.000121t．

设发现Hammurbi王朝木炭的时间（1950年）为Hammurbi王朝时期后的t0年．因为放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以

C(t0)4.09． ?C06.68于是 e?0.000121t0?4.09． 6.68两边取常用对数，得 －0.000121t0＝ln4.09－ln6.68 ．

得t0＝4054 (年)．即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年．

（3）在此基础上，进一步抽象概括出函数的严格数学定义。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，形象的说，在直角坐标系中，函数图像就像一座桥梁把变量x和y联系起来了。

（4）知道了函数的定义之后，再去研究它的性质。

我们先让学生认识一些具体函数的模型，例如，分段函数，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三

角函数。结合这些函数，我们引入了刻画函数变化的单调性、周期性、奇偶性等基本的性质。

单调性是中学阶段函数最基本的性质之一。一旦我们弄清了一个函数的单调性，就能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况。例如，简单的幂函数y=x3，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻画出函数y=x3的图形的基本形状以及它的变化。

周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。我们生活在一个周期变化的世界里。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。

奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数的性质，但是它不是最基本的性质。奇偶性反应的是函数图形的对称性质，可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律。

（5）在高中数学课程中，通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射的定义，函数是两个实数集合之间的一种对应关系，而映射是两个集合之间的一种对应关系。映射能够帮助我们更好的理解两类物体之间的“桥梁关系”。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。在运用函数（映射）的思想解决问题的过程中，会不断加深对于函数桥梁作用的理解。

（6）函数的思想在其他部分数学内容的学习中发挥着重要作用。

y 当我们用函数的观点来看待方程的时候，由函数y=f(x)所决定的方程是

y=f(x)=0，求方程的解就变成了思考函数图形与x轴的相交关 A 14 系，变成了考虑函数的局部性质。能否运用函数整体的性质去讨论方程的求解问题呢？在高中课程中我们介绍了二分法求解方程。这种二分法解方程体现了这样一种思想：用函数的整体性

C 6 质讨论函数的局部性质。具体来说，在[a,b]上，给定一个连续函数，若f(a)与f(b)的

符号不相同，那么函数图像会从（a, f(a)）点出发穿过x轴到达（b, f(b)）点。这样的性质就能帮助我们运用二分法近似的求出方程的解。

?4 0 4 x 例如，判断方程x2?x?6=0的根的存在性。

我们可以考察函数f(x)＝x2?x?6，其图象为抛物线，如图。 容易看出，f(0) = ?6＜0，f (4) = 6＞0，f(?4) =14＞0， 由于函数f(x)的图象是连续曲线，因此点B(0, ?6)与点

?6 B C(4, 6)之间的那部分曲

线必然穿过x轴，即在区间(0, 4)内必有一点x1，使f(x1)＝0；同样，在区间(?4, 0)内也必有一点x2，使f(x2)＝0。所以，方程x2?x?6=0有两个实根。我们可以用学过的解方程的方法来验证这个结论。

用函数的观点来讨论不等式的问题会有很大的“好处” 。不等式是高中必修课程中一个重要的内容，例如，一元二次不等式，简单的线性规划问题，用函数的观点看待这些问题，有助于更好的理解这些知识本身。

在高中课程中，函数与数列、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量、函数与选修3、4中的大部分专题内容都有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，更加深了对于函数思想的认识。

（7）在大学的数学中，函数（映射）的思想依然发挥着重要的作用。例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等。这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程。值得一提的是，在对其他课程的学习中，函数（映射）思想仍然起到了重要的作用，例如，群结构中的同态、同构；度量结构中的保距；拓扑结构中的连续、同胚；序结构中的保序、同构；等等。这些都是极其重要的映射。

综上所述，函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度链接起了高中数学课程的许多内容。有了这条主线就可以把数学的知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些。

我们学习数学是“线性序”，但数学本身不是“线性的”。我们可以从一个知识出发，推出后面的知识，同样我们也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。如果我们对这个网有了深刻的认识，可以从不同的角度从局部到整体，再从整体到局部，把所学的知识有机地联系起来。

为了在高中数学课程中贯穿这一主线，在教学时，应把握以下几点。

（1）对函数的研究一定不能停留在抽象的讨论。教师应该帮助学生在头脑中建立起几个重要的模型，并把这些留在头脑中。

学生应该在头脑中留下几个具体的实际模型，比如，分段函数，以及基本的函数模型，比如，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，不断地加深对于函数的定义、性质以及函数研究方法的理解。再通过这些模型，理解函数与其他数学知识之间的联系，例如，指数函数的性质：a α+β=aα?aβ 。不严格地说，它把定义域中的加法运算变成了函数值的乘积运算。所以当a>1时，指数函数增长得很快的原因就在于此。

（2）函数的教学一定要突出函数图形的地位。不管是用解析式、图表法还是图像法去刻画一个具体函数时，我们都要让学生在脑子里形成一个图形。只有把握住图形才能把握住一个函数的整体情况，这样的学习习惯有助于提高运用几何思想、把握图形的能力。所以，我们常常说学习函数要体现数形结合。

（3）函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此，对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。可以在教学中渗透数学建模的思想。

例如，心电图就是一种时间和心跳频率的函数关系。

例如，股市行情图也是反映了一种函数关系。

（4）在学习与函数知识有关内容时，理解函数思想。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。

10、为什么“运算思想”是高中数学课程的主线之一？

（1）运算思想是数学中最重要的思想之一。代数问题就是运用运算法则可以解决的问题。学生进入学校的第一课，就要学习认识数，进行数的计算。我们做过对数学理解的调查，“数学就是算”，这是最多的回答，“运算”是数学教育最深入人心的内容和思想。对运算思想来说，运算对象和运算规律是最基本的东西。在中小学的数学教育，有三次大的飞跃需要给与特别的关注。数和数的运算是中小学数学课程的最基本的内容；字母代替数，代数式的运算是一次重大的飞跃，它奠定了表示各种数学规律的基础，运用运算规律进行恒等变形构成学习、理解数学的基本技能；引入向量和有关向量的各种运算，这是又一次飞跃，形成了一个新的运算体系，其中的运算比实数要丰富得多。向量不仅是代数对象，也是几何的对象，从而向量成为联系代数和几何的一座“天然的桥梁”，这为我们开辟了数学的一个新的天地。“运算”不仅自成体系，更重要的是它渗透到数学的每一个“角落”。

（2）从自然数、整数、有理数、实数、复数，构成了一个数系扩充的链。实际的需求是数系扩充的动力之一，保持运算的封闭和保持基本运算法则成立是数系扩充的另一个动力。

（3）字母代替数，字母构成的代数式，以及它们所保持的运算法则等，是呈现高中课程内容的基本载体。灵活的运用这些运算法则进行恒等变形，是掌握高中课程内容的基本技能。

（4）向量进入中学，这是中学课程的一个重大的变化，向量是一个重要的运算对象，向量的加法、向量的减法是向量自身的运算，向量的数乘是两种运算对象的运算，向量与向量的数量积是一种新的运算形式，它们蕴含着一些运算的规律。从代数上来说，向量极大的丰富了运算规律，使得我们对运算的认识提高到一个新的水平。（V , R, + ,·）构成了代数的新的运算模型，它是线性空间最生动的范例。(V， R，+，.，║║)构成了代数与拓扑密切联系的模型，它是泛函分析中线性赋范空间最生动的范例。还要特别指出的是，尽管向量的内涵很丰富，但是，作为数学研究对象来说，它还是简单、易懂并且容易掌握的。用向量解决几何问题，充分体现了运算的作用。运算在研究其他数学问题中也发挥重要的作用。

（5）在高中课程中，有两部分内容集中的介绍了运算：一部分是向量，包括平面向量和空间向量；另一部分是数系的扩充与复数。

（6）在高中课程的其他内容中，也渗透了一些其他的运算对象和运算规律，例如，在指数、对数、三角函数等内容的学习中，蕴含着一些新的运算法则。掌握这些特殊的运算规律，是理解相关的数学概念的基础。

（7）高中数学课程中，有各种各样的恒等变形。这些恒等变形就是运用各种运算法则进行的。全面地梳理高中课程中的运算对象和运算法则是非常有意义的，比较不同运算对象、不同的运算法则，发现、思考它们之间的联系。例如，在不等式等的学习中，无论是证明，还是求解，都是在运用各种运算法则进行恒等变形，通过恒等变形把我们不会解的问题变成我们会解的问题。

11、为什么“几何思想（把握图形）”是高中数学课程主线之一？

（1）在这次数学课程标准研制过程中，几何是我们花费心思最多的内容之一。在数学课程中，几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。几何思想主要体现在把握图形的能力。把握图形的能力包括空间想象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力。借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。

（2）几何课程的设计分为两部分，一部分是几何本身；另一部分是运用几何思想、把握图形的能力去思考其他的数学问题。重视几何内容本身是共识，但是，在学习其他数学内容时，如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学，没有引起足够的重视。最近，我们听了很多课，最令我们感到遗憾的，教师不太喜欢“画图”，讲解析几何也不画图，在思考一些问题时，学生常常容易“漏掉”一些解。如果教师在解决问题时，引导学生画个图，则就会一目了然。当代著名数学Atya说过‘代数是有序逻辑，几何是直观逻辑。’这是非常有道理的。逻辑推理是数学特别关注的，所有数学都应该关注，几何也不例外，但是，我们必须重视培养学生把握图形的能力，包括空间想象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力。“图”可以帮助思考，把抽象地东西变得直观，把难的变得容易。

（3）在高中数学课程中，几何内容分为立体几何和解析几何。立体几何分为必修课程中的“立体几何初步”和选修2-1中的“空间向量与立体几何”。解析几何分为必修课程中的“解析几何初步”和选修1-1和选修2-1中的“圆锥曲线”。每一部分的定位我们将在必修、选修课程的定位中给予详细的说明。

（4）我们应该把几何思想（把握图形的能力）渗透到高中数学学习的各个方面。例如，在函数的学习中，一定要突出函数图形的地位。又如，在思考数学问题的时，能画图尽量画图，目的是把抽象的东西直观的表示出来，把本质的东西显现出来。在数学学习时，应该帮助学生养成一种用直观的图形语言，刻画、思考问题习惯。

12、为什么“算法思想”是高中数学课程的主线之一？

（1） 算法思想是贯穿高中课程的一条主线。算法思想就是指按照一定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。在数学中，完成每一件工作，例如，计算一个函数值，求解一个方程，证明一个结果，等等，我们都需要有一个清晰的思路，一步一步地去完成，这就是算法的思想，程序化的思想。以前，我们没有给出算法这个名词，但是，我们一直在利用算法的思想。尤其在计算机普及的时代，程序化越来越为人们普遍接受，提高设计“算法的能力”变得很必要了。

（2） 在高中数学课程的设计中，算法分为两部分，一部分是介绍算法的基本思想和基本知识。另一部分是把算法思想渗透到高中课程的其他内容中。

（3）在高中数学课程中，我们通过以下几个步骤，介绍算法的基本思想和基本知识。 用自然语言描述算法； 用框图语言描述算法；

用基本语句（伪代码）描述算法。

有条件的地方可以使用程序语言描述算法，并上机操作。

（4） 算法思想可以很好的培养学生的逻辑推理能力。给出一个算法，实际上是给出了一种实现的方法，就是一种构造型的证明或论证。在实验的过程中，算法课程学生是欢迎的，提高了学生的逻辑思维能力。并且，很容易把这样的思维习惯迁移到日常生活中，这正是数学教育所期待的。

对于算法的教学，应注意以下几点：

（1） 突出算法思想，强调解决问题的通性通法，而不去关注问题的特殊技巧。

（2）通过学生熟悉的实例和数学中的实例进行教学，即案例教学；引导学生动手实践，在做中学习、体会、理解算法的基本思想。

例如，在电视台的某个娱乐节目中，要求参与者快速猜出物品价格。主持人出示某件物品，参与者每次估算出一个价格，主持人只能回答高了、低了或者正确。下面是主持人和参与者的一段对话：

参与者：800元！ 主持人：高了！ 参与者：400元！ 主持人：低了！ 参与者：600元！ 主持人：低了！ ??

如果你是参与者，你接下来会怎么猜？ 分析：

如果我们用P表示商品的价格.

由主持人的第一个判断， P在0至800元之间； 由主持人的第二个判断， P在400至800元之间； 由主持人的第三个判断， P在600至800元之间；

根据参与者的猜测，我们知道，首先参与者需要确定商品价格的范围，数学上一般可以用区间来表示，然后报出区间中点，根据主持人的判断，将价格区间缩小一半。

因此，我们知道下一步参与者要猜的数应是700元，根据主持人的判断继续报价。

实际上，我们可以把上述过程概括如下：

（1）报出首次价格；

（2）根据主持人的判断确定价格区间。

①报价小于商品价格，则继续报出较高价格，如果报出商品准确价格，游戏结束；否则，某次价格P1会大于实际价格P，从而确定商品的价格区间为(P‘,P1)，其中P‘是P1之前报出的价格;

②如果报价大于商品价格，并记报价为P1,则商品的价格区间为(0, P1); ③如果报价等于商品价格，则游戏结束。

（3）如果游戏没有结束，并设得到的价格区间为（T1,T2）报出价格区间的中点T3； （4）根据主持人的判断确定价格区间

①如果P> T3，则商品价格区间为（T3，T2）； ②如果P< T3，则商品的价格区间为(T2, T3); ③如果P＝T3，则游戏结束。

按照上述方法，继续判断，直到游戏结束。像这样的一系列步骤通常称为解决这个问题的一个算法。

13、为什么“统计思想”和“随机思想”函数是高中数学课程的主线之一？

（1）随机思想是认识随机现象和统计规律的重要思想，统计思想主要体现在把握数据的能力，养成会用数据“说事”，收集数据，整理数据，分析数据，从数据中提取信息，并利用这些信息说明问题，在这个过程中，形成对数据的敏感，养成会用数据“说事”的习惯。随机思想渗透在统计的过程中，这两部分内容联系非常紧密。在中小学阶段，统计的分量要更大一些。在高中阶段，随机思想和统计思想的介绍分为两部分，在必修中，设计了概率初步和统计初步的内容；在选修1-2和选修2-2中，设计了统计案例；在选修2-3中，设计了对于概率的进一步理解的内容，主要有随机变量和一些离散的随机变量模型。

（2） 必修的统计课程，我们希望学生对统计有一个初步的认识。希望学生通过案例体会统计的全过程：收集数据、利用图表整理和分析数据、求出数据的数字特征、进行统计推断。在这个过程中，进一步体会随机思想和统计的重要性。

（3）必修的概率课程，我们希望学生能够通过对日常生活中的随机现象，对概率的概念有一个较好的认识，例如，降水概率、彩票的中奖率等等随机现象。通过古典概型和随机模拟了解概率的意义和初步的应用。

（4）在选修2-3中，我们希望学生认识到分布列是描述随机现象的规律。通过一些典型的分布列，例如二项分布、超几何分布等，进一步体会概率在研究随机现象中的作用。

（5） 在选修1-2和2-2中，介绍了几种常见的统计案例。

（6）随机思想与传统的数学思想有比较大的不同。有的方法看起来不难，但是理解起来还是有困难的，建议教师通过大量的具体案例来帮助学生理解。在统计课程中，案例教学是基本的教学模式，通过对案例的学习体会数据处理的过程和思想。

以上对这几种基本思想作了一个初步分析，它们彼此之间的联系是值得思考的另一个重要问题。例如，

“运算思想”与“几何思想”的联系，就是解析几何的基本思想。在教学过程，应该不断地加以补充、完善。

第四单元 高中数学课程内容的定位——针对实验中出现的问题

高中数学新课程在内容方面也有较大的变化，一方面，新增加了一些内容，例如，必修课程中的算法初步、函数模型及其应用、三视图，选修系列1、2课程中的统计案例、推理与证明、框图，选修系列3、4课程的大部分专题等。另一方面，对原有内容作了新的处理，例如，对于函数，采用由特殊到一般的处理方式，通过对具体函数特征的分析，抽象概括出一般函数概念，在概括出一般映射的概念。再如，对于几何内容分层设置，必修部分的立体几何初步主要以直观几何为主，选修2中的立体几何用向量处理等等。还突出了贯穿于高中数学课程中的几条主线，强调了数学知识的来龙去脉。

在高中数学新课程实验过程中，老师们感到对《标准》中一些内容的定位与变化难以把握。本单元将通过问题的形式，分析《标准》中的一些内容在设计思路和顺序上的变化，新增内容的定位以及对一些知识在要求上的变化等。旨在帮助老师正确把握高中数学课程内容的定位，明确其中一些内容在要求和顺序上的变化。

单元学习目标

? 正确把握高中数学课程中各部分内容的定位

? 明确高中数学课程的一些内容在设计思路和处理方式上的变化 ? 加深对贯穿于整个高中数学课程始终的一些重要思想的理解

重要概念

课程定位 课程主线 整体设计

学习建议

学习《普通高中数学课程标准（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）解读》中有关课程定位和要求的内容，体会高中数学课程各部分内容的定位和总体要求以及在设计思路和处理方式上的变化。

高中数学课程中的一些新增内容，特别是选修系列3，4中的一些内容，老师们感到不熟悉，以前没有学习过。我们建议老师们制定自己的专业进修计划，通过阅读有关的数学专业书籍，学习这些内容，不断提高自己的数学修养。

必修课程的定位

14、为什么“集合初步”定位在语言表述工具？

在义务教育阶段中的课程中，学生已经熟悉什么是正整数，它是指由1、2、3、…、n、…组成的一个群体，自然数比正整数多了一个零，整数包括正整数、零、负整数，等等，它们都是一群数，或者说是数的群体。某某学校的高一一班和高一二班是不同的两个群体。为了方便，需要建立一种统一、规范的语言来表述这些不同的群体。在高中数学课程开始阶段，设置了“集合初步”的内容，介绍了一些规范的表述方式，如，集合，子集合，补集，集合的并，集合的交，等等。用这样一些规范的语言来表述学过的和将要学习的数学内容，会给我们带来很大方便，当然，也可以用这些集合语言表述生活中的一些事情。

“集合初步”和“集合论初步”是不同的，“集合论”是一个重要的数学分支，它以“基数”和“序数”为基本研究对象，只有专门研究数学某些方向的人才需要学习“集合论”。“集合初步”只是提供一种表述数学的语言。当然，在“集合初步”中，会渗透一些集合论的思想，但是，这部分内容的基本定位是提供一种语言表述的工具。这种语言将会贯穿在整个高中数学学习中。

在中学“集合初步”的教学中，老师拓展了很多东西，例如，补充一元二次不等式，这是不必要的。集

合的语言可以帮助表述一元二次不等式的解集，而不是用一元二次不等式理解集合。举一个比较极端的例子，对于大于4的偶数，是否能证明不能表示为两个素数之和的偶数集为空集？这是著名的哥德巴赫猜想，它不是集合讨论的内容。

15、 哪些函数模型应该留在学生头脑中？

我们知道仅仅了解函数的定义，并不能很好地理解函数，理解函数一种重要办法，就是在头脑中“留住一批函数”的模型。帮助学生留住哪些函数模型？如何让学生把这些模型留在头脑中，并能帮助思考问题？这是每位教师应该思考的问题。对于好的数学工作者，每一个抽象的数学概念，在他们在头脑中都会有一批具体的“模型”。这是很好的学习数学习惯。

简单的幂函数，如，一次的、二次的幂函数，等等；指数函数；对数函数；一些三角函数；等等。这些都是基本的、重要的。简单的分段函数，也是基本的。还应该有一些有实际背景的函数，等等。

怎样使这些函数在学生头脑中扎下根？教师应该有一个全面的设计，思考一下，高一上学期做什么，下学期做什么，高二上学期做什么，…高三下学期做什么。

16、如何理解函数与函数解析表达式？为什么淡化求函数的定义域和值域？

判断、确定一个函数和描述一个函数是不同的。例如，看到在街道上一辆急速行驶的汽车，我们知道，汽车的行驶速度是时间的函数，尽管我们无法给出这个函数的表达形式。判断、确定一个函数是一件很重要的事情，反映数学与实际的联系，是一种数学应用的能力。在中学阶段，判断、确定一个函数主要不是依赖数学，而是依赖其它学科的知识和素养，以及日常生活的经验。在进一步的学习中，讨论隐函数和其它形式的函数存在时，会涉及到一些数学理论。

在中学阶段，描述函数有三种形式：图像法，列表法，解析式法。在教学中，常常容易忽视图像法和图表法。实际上，用图像来表示函数，了解了一个函数的图像，在一定程度上，就是了解了这个函数的基本变化情况，这种定性的认识对解决函数问题，包括解题，都是非常重要的。在中学阶段，讨论的用解析式表示的函数并不复杂，、简单的幂函数，例如，y=ax+b, y=ax2+bx+c, y=ax-1, y=x,等等；指数函数；对数函数；三角函数。这些函数的定义域和值域都是十分明显的，我们应该把主要精力放在掌握这些函数的图像、性质和一些基本的变化。

以前，常常把讨论函数解析式的定义域问题作为讨论函数的主要问题，解析式的定义域问题本质上是讨论有意义的范围，绝大多数情况是人为制造的，没有实际的意义，对于理解函数，也没有意义。

在学习了解不等式，可以适当地做一些确定解析式定义域的问题。 函数是高中数学的基础，理解函数是重中之重，千万不要舍本求末。

17、为什么“幂函数（整数指数幂）”，“指数函数”，“对数函数”，“三角函数”是基本的初等函数？

基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，这些函数是最基本的，也是最重要的。 （1） 线性函数y=ax+b可以看作最简单的幂函数，它把x轴变成了一条直线；它是函数关系中最常见的，也是最简单的；在很多情况下，在研究比较复杂的函数时，我们常常用它在一点附近来近似表示复杂的函数，“以直代曲”是微分的基本思想；在统计相关分析中，线性函数即线性关系是最基本的。 （2）整数指数幂函数

整数指数幂函数y=xn也是简单的函数，也是好的函数。所谓好，是指它具有任意阶导数，非常的光滑。它们还有一个极为重要的性质，对于任意一个“好的函数”，都可以用整数幂函数的代数和来近似地表示，在高等数学中，称为泰勒公式，这是高等数学最重要的结果，它就是建立在整数指数幂函数的基础上的。 （3）指数函数、对数函数

指数函数、对数函数本身都是重要的函数，在刻画自然规律时，它们是用的最多的函数，也是最基本的函数；同时，它们是好函数，它们具有任意阶导数。

对数函数（底数大于1）、整数指数幂函数、指数函数（底数大于1），这三类函数都是随着自变量的增加而增加，但是，它们增长的速度是不同的，对数函数最慢，整数幂函数快一些，指数函数最快，在实际中，我们常常分别称为：对数增长，多项式增长，指数增长。这些是刻画增长的最基本的模式。 （4）三角函数

周期现象是现实世界最基本的现象，三角函数是刻画周期现象最基本的模型，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。很多现实生活中的周期现象都可以直接用这些三角函数表示。三角函数也是最基本的周期函数，通过三角函数可以帮助我们更好地理解周期函数；三角函数也都是好的函数，具有任意阶导数；三角函数的代数和可以用来表示更多的函数，构成三角级数的理论，它是数学中分析学的基本内容，它还是重要的一个数学分支——调和分析、小波分析的基础，小波分析是图像压缩技术的基础，具有极为广泛的应用。

在向量的学习中，我们引入了“基”的概念，向量i=（1，0）和j=（0，1）就是标准正交基，平面上任意一个向量都可以唯一地用标准正交基表示。如前面所说，对某些函数类，整数指数幂函数和三角函数就能起到“基”的作用。

综上所述，整数指数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数都是最基本的函数，高中数学的最重要的任务之一就是学习和掌握这些基本初等函数。

18、如何认识函数和映射？

首先，从数学上表述它们的定义。

函数：给定两个实数集合A、B，对集合A的任一元素a，在集合B中存在唯一元素b与之对应，我们称这个对应关系f为集合A到集合B的一个函数关系，简称函数,记作：f: A?B。

映射：给定两个集合A、B，对集合A的任一元素a，在集合B中存在唯一元素b与之对应，我们称这个对应关系T，为集合A到集合B的一个映射关系，简称映射, 记作：T: A?B。

不难看出，函数和映射的差别仅仅在于：函数是连接两个实数集合的关系，映射是连接两个一般集合的关系。函数和映射在本质上是一致的，都是反映两类事物之间的联系。如果这两类事物相同，我们还有另一个熟悉的名字——变换，来反映这种关系。例如，平移，轴对称，中心旋转，等等，它们都是给定直角坐标系的平面到自身的变换。在数学中，不仅关注一个集合内部的结构，例如，实数集合内的顺序、运算、距离、等等，也关心集合与集合间的联系，例如，指数函数，它把实数的和变为同底幂的积，即，ax+y=axay。

关于函数和映射的教学，有两种顺序，一种是先讲映射，再讲函数；一种是先讲函数，再讲映射。从一般到具体，从具体到一般，这是认识数学知识的两个视角，前者强调“演绎推理”，后者强调“归纳推理”，或抽象概括。两者都不可偏废。

19、如何理解指数函数形成的逻辑关系？

指数函数是高中阶段最重要的函数模型。有两方面内容必须很好地掌握：一个是指数，包括定义、恒等性质与不等性质；另一个是指数函数，包括定义域与值域、特殊点、单调性及增长速度。这些都是基本的。

作为高中数学教师，不仅应知其然，还应该知其所以然。在这些定义和性质中，有怎样的逻辑关系？哪些是人为定义的？为什么要做这样的定义？ 哪些是用中学学过的知识可以证明的？哪些是不能证明的？哪些是高中阶段要求的？哪些是不要求的？等等。这些问题需要理清楚。

下面，我们把对指数和指数函数的认识过程作一个梳理，为教师认识这部分内容提供参考，特别需要强调的很多东西是不需要给学生讲的。

（1）对于指数的概念，首先，给出的是以正整数为指数幂的定义，即

an?a?a?a，n为正整数。

我们都知道，如果a是无理数时，an?a?a?a的含义是需要定义的，在高中阶段是不必深究的。 如果我们用函数来理解这个定义，就是自变量取正整数时，指数函数是有意义的。

（2）引入正整数指数幂后，指数有两类性质。一类是恒等性质，一类是不等性质。它们分别是：

恒等性质：1）am?n?am?an ；

2）am??n?amn ；

3）?ab?n?anbn；

an?a?4）???n ?b?0?；

b?b??m?n(m?n)?a?5）am?an??1(m?n)。

?1?an?m(m?n)?其中m、n为正整数。

n不等性质： 1）对于a?1，有an?1，n为正整数；

2）对于0?a?1，有0?an?1，n为正整数； 3）当n?m且a?1时，有an?am，m、n为正整数； 4）当n?m且0?a?1时，有an?am，m、n为正整数。

以上性质都是最基本的，是需要掌握的。对于不等性质，可以放到引入指数函数之后，讨论指数函数性质时，再作介绍。

其中，恒等性质可以由定义直接证明。

对于不等性质，在高中阶段也是可以证明的，但要涉及到许多其它的内容。例如：在证明不等性质1）时，要用到数学归纳法或二项式定理。因此，在学习指数及指数函数时，不要求对上述不等性质的证明。 如果希望介绍这些证明，可以放到选修2某些内容之后，作为例题或习题。

对上述恒等性质5），认识这个结果是不困难的。这个结果主要是为拓展指数概念做准备。 于是，很自然地就产生了以下定义。

（3）定义：a0?1（a?0）。 （4）定义：a?n?1（a?0）。 na有了这些定义，对于整数n，an（a?0）就是有意义的了。用函数的语言来说，指数函数的定义域可以从前面的正整数拓展到整数。

（5）根据上述定义，我们很自然地会提出这样的问题：前面给出的那些恒等性质和不等性质是否还正确。在高中阶段，运用高中学到的知识是可以严格证明以下恒等性质和不等性质在整数范围内仍然成立。

恒等性质：am?n?am?an ，am??n?amn ，(ab)n?anbn ，其中a?0,b?0，m、n为整数。

不等性质： 1）对于a?1，有an?1，n为整数；

2）对于0?a?1，有an?1，n为整数；

3）当n?m且a?1时，有an?am，m、n为整数； 4）当n?m且0?a?1时，有an?am，m、n为整数。

需要强调的是，这些结果不要求学生给出证明，对于优秀的学生来说，这些问题是提高数学素养的很好的练习。但是，这些结果是要求学生理解和使用的。

（6）前面我们已经给出了指数是整数的情况，那么，指数是有理数时应当怎样处理呢？

在初中我们已经知道，对于b?a，则b?a规定有理数指数幂中，底数a?0。

21?a2。若a?0，在实数范围内b是没有意义的。因此，我们

有理指数幂的引入需要考虑以下问题：给定a?0及整数m、n，是否存在唯一的b，使得bn?am成立？ 我们要告诉学生，在正实数的范围内，存在唯一的b满足上述条件。为了与整数幂的表示一致，我们引入记号：b?a（a?0）。这样，我们给出了有理数指数幂的定义。至此，指数函数在有理数的范围有意义了，即，把指数函数的定义域从前面的整数拓展到有理数。

特别需要指出的是：有理指数幂大于零是定义中给出的。

这个定义的合理性需要用到：幂函数y?xn是连续函数。在这里简单地介绍一下。

当a?0时，am?0。当x?0时，y?xn是严格递增的连续函数，所以，存在唯一的b?0，满足bn?am。

这样，就证明了存在唯一的b?0，使得bn?am成立。

为了保证有理指数幂定义得合理，还需证明以下几个结果：

mna?(a)?(a)?a

上述过程，就保证了有理指数幂的定义是合理的。 （7）有了有理指数幂的定义，是否可以证明：在有理数范围内，（5）中的恒等性质和不等性质仍然成立？ 高中阶段，我们可以给出严格证明，但这些不要求学生去证明。

（8）如何定义无理指数幂呢？

当a?0，?是一个无理数时，如果a?表示一个确定的实数，这样就可以将有理数指数幂扩充到无理数

指数幂了。我们仅给一个例子来说明这一点。

在学习无理数定义时，我们知道，对于无理数2的确定，我们需要讨论以下问题：如何求出b使得

b2?2。

mnn1m1mnknkm我们可以找到两个数列：1.4?1.41?1.414??b。由于，1.5?1.4?0.1，

1.42?1.41?0.01，1.415?1.414?0.001?，则由闭区间套定理，存在一个数位于这两个数列之间，我们记为2。

即1.4?1.41?1.414???2???1.415?1.42?1.5。

由前面介绍的性质，我们也可以得到两列有理数指数幂：a1.4a1.42>a1.415??。这里a1.5?a1.4?a1.4(a?1)，a1.42?a1.41?a1.41(a10?1)，a1.415?a1.414?a1.414(a10?1)?。因此，我们只要可以证明

23110111n1na10?1?0，即a10?1，则由闭区间套定理，就存在一个实数，我们记为aa1.4

2???a1.415?a1.42?a1.5。

那么，是否有a10?1呢？这是一个重要的极限，数学系的学生需要学会证明这个极限。 综上所述，对于无理数?，我们可以定义a?（a?0）。

这样，我们就清楚了，无理指数幂的定义在高中阶段是无法严格讲述的，一般大学课程也不讲，但要

求会用。

（9）至此，就可以给出指数函数y?ax（a?0且a?1）的一般定义了，其定义域为全体实数，指数函数的值是正实数。

（10）可以证明，指数函数关于（5）中的恒等性质和不等性质仍然成立，从而给出指数函数的单调性。

n

（11）在指数定义的基础上，我们就可以对对数及对数函数加以定义了。

对于指数函数的定义，我们是按照数的自然发展的顺序给出的，此体系并不是唯一的，还可以用其他方法给出。

我们之所以详细地叙述了指数函数定义的过程，是希望教师理解：数学在不同的阶段有不同的处理方式，在不同阶段对严格有不同的要求。在数学课程与教学中，自然、合理地处理数学问题是主要的原则。

20、在函数研究中，为什么单调性是最基本的性质？

“函数”贯穿在中小学课程的始终，在大学数学课程中，它仍然是主角。在不同的时期，有不同的定位，有不同的要求。在高中阶段，希望学生认识到，函数是刻画自然规律的模型，并且在头脑中留下一些具体的函数模型；希望学生理解用集合语言表述的函数的定义；理解函数图像与函数的关系，等等。

如何理解函数性质？在高中阶段，主要讨论函数的“变化”，所谓“变化”就是自变量增加（减少）时，函数是增加还是减少。增加减少不是局部性质，总是与自变量在某个区间有关，单调性反映了函数的变化，单调性是体现函数变化的最基本的性质。

高中数学课程中，对于函数这个性质的理解分成两个阶段。

第一阶段，安排在必修1中。要求理解单调性的图形直观，理解单调性的定义，通过大量的具体函数，理解单调性在研究函数中的作用。单调性与函数图形有密切联系，了解了单调性就可以基本上决定函数的形状，反过来，掌握了函数的图形，也就很好地了解了函数的单调性，这是掌握函数的最基本的东西；单调性与不等式联系密切，不等式定义了单调性，反之，具体函数单调性反映了一些不等关系。在教学中，把握这一部分一定要有“度”，基本上应围绕简单的幂函数。对数、指数函数单调性的证明也不作一般要求，严格证明还是有难度的。

第二阶段，安排在选修系列1、2课程的导数及其应用中。导数是描述函数变化率的概念，导数概念可以帮助我们对“函数的变化”有进一步了解。在这一部分内容中，要求学生理解导数与单调性的联系：在一个区间，函数在每一点的导数大于零，则函数是递增的，函数每一点的导数小于零，则函数是递减的；反之，也可以用单调性判断导数的符号。在一个区间，递增函数如果有导函数，每一点的导数大于或等于零，递减函数如果有导函数，每一点的导数小于或等于零。这些结论的证明要用到拉格朗日中值定理，在高中是不要求的。在高中阶段，对严格单调性和单调性的区别不必深究，否则，会因小失大。对于一些对数学有兴趣的同学，教师可以引导学生读一些参考书。

奇偶性反映了函数图形的对称性质，偶函数图形是关于y轴对称的，奇函数图形是关于原点对称的。对于一般函数的奇偶性，我们不做深入地讨论，只对基本的具体函数讨论其奇偶性，例如，简单幂函数的奇偶性。

21、如何理解高中数学课程中反函数的定位？

在高中阶段，不要求建立函数的完整体系，这些对于高中学生来说是比较困难的。例如，高中数学标准不要求建立一般的反函数的概念。关于反函数，要求通过指数函数和对数函数的关系引入反函数的概念，对反函数有一个初步的了解，可以结合指数函数的单调性，说明反函数的意义。

反函数概念的实质是一一对应的思想，在数学上，一一对应是很重要的，很多数学的基本概念都是在一一对应的基础上建立的。例如，两个代数结构（群、环、域等）同构，两个拓扑空间同胚，两个序结构同构，两个度量空间等距，等等。在数学上，刻画两个“对象”相同都离不开一一对应。

教师应该对一一对应有很好的理解。两个集合A与B之间存在一一对应，要满足三个条件，（1）存在着从A到B的映射f；（2）不同自变量的元素，它们的像也不相同；（3）集合B中的每一个元素都有原像。条件（2）称作单射，条件（3）称作满射。对很多重要的数学概念理解，常常不是一步到位，需要有一个积累、认识的过程。在历史上，康托建立集合论，一一对应就是他的基本思想之一，曾经引起了激烈的争论。在高中阶段，可以结合具体的实例，说明一一对应的思想。

22、为什么要引入用二分法求解方程？

在数学学习中，从研究已知量到认识未知量是一个变化，承认未知量，并通过等量关系建立方程，又是一个很大的变化。认识方程，学会建立方程，这是方程理论的基础。求解方程是方程理论的另一部分，在传统数学教育中，求解方程是通过运算规律用系数表示解的过程。配方降幂、加减消元、代入消元等都是求解方程最基本的方法，将来我们还会学习其他求解方程的思想方法。实际上，用这样的方法，只能解非常少的有意义的方程，例如，一元二次方程，二元一次方程组，等等。对于一些高次方程，可以通过变形——变量替换变成上述方程，从而可以“求解”。用这种方法研究方程，意义不大。两位年青天才的数学家阿贝尔和伽罗华把研究高次方程引向了正确的轨道，建立了“群论”，成为了近代数学的重要基础。

方程理论的另一个重要发展是与函数的联系，把方程看作函数的局部性质，求与x轴相交的自变量的值。这种观念可以帮助我们思考，是否能通过函数的性质求解方程？二分法为我们打开了眼界，二分法依赖以下结果：区间上的一个连续函数y=f(x)，如果自变量a与b的函数值符号相反，则存在一个位于a与b之间的值，使得它的函数值等于0。对这个结果不必深究，在大学中，除了数学系的学生要学会证明之外，其它专业的学生都仅仅承认这个结果，使用这个结果。二分法不难，它的重要意义之一在于打开了求解方程的思路，反映了数学中非常重要的思想。在微分方程的基础上发展的“算子理论”，就是这一思想的延拓。

二分法的另一个重要意义在于它引入了“近似”的概念。在实际中，离不开近似，近似孕育着极限的思想，它可以达到我们要求的任何精度。这种思想可以用于确定函数值等等。在中小学课程中，极限的思想是逐步渗透的，例如，确定圆的面积时，学生就会用内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，这些思想很容易迁移到求其它面积和体积问题。测量的近似是极限思想又一次体现，这样不断地积累，逐步地形成极限的概念和定义。这是一个比较长的归纳抽象的过程。

这里我们希望老师认真思考，在数学中，什么是重要的？重要的东西不在于难，不在于“技巧”，在于它是否蕴含重要的思想，在数学发展、在实际应用方面是否有用。

23、如何理解函数的应用？

在高中阶段，函数是在实际中应用最多的内容之一，它是反映现实生活和其它学科规律的基本的数学模型。能在情境中识别函数是很重要的本领，识别函数除了数学概念清晰之外，主要依赖对实际问题的领悟，对其它学科的认识。识别数学模型、发现内在规律是一个基本的数学能力，现在还有一些人对此缺乏正确的认识。我们曾做过这样的调查，在地质学方面的论文中，会出现大量的数学的公式、概念等等，地质学并不是用数学多的学科。

函数应用可以初步体现数学建模的思想，关于数学建模下面还要专题介绍。在数学和应用数学专业的教学规范中，数学建模与数学分析、高等代数、解析几何一样，已成为必修的基础课。

数学应用进入中学，有几个重要作用。通过应用使学生对数学有一个比较全面的认识和感受。中小学阶段的感受是很重要的，对绝大部分学生，将来在工作和生活中仅仅是用数学，直接使用的数学公式和结果并不多，使用的主要是数学中蕴含的思想。例如，在讨论问题时，有较好数学素养的人希望明确讨论问题的前提，对这些前提大家要尽量一致，当讨论过程中需要修改前提时，也尽量达到基本一致，这样会使讨论的效率提高。这样的思维是数学特有的，我们总是要从很多实际问题中发现规律，例如，“数量”和“空间形式”方面的规律，形成确定的定义和大家都认可的“公理”，在这样的基础上，发现新的结论，被大家认可的——给出证明的结论又会成为探索新结果的前提，这是数学中最基本的思维方法，也是最有用的思想。

以上是数学应用的一个层面，还有一些比较具体的应用思想，例如，函数思想是其中极为重要的一个。变量刻画了一种事物的变化，两个变量反映两种事物的变化，它们之间是否有关系？这是实际中关心的问题。我们会经常遇到这样的情况，一个变量的变化会引起另一个变量的变化，前一个变量称为自变量，后一个称为因变量，例如，在物体运动的过程中，时间是一个量，物体离开初始位置的距离是一个量，随着时间的变化，物体的距离也在变化，也可以说，物体的距离是随时间变化而变化，当时间为t秒时，物体的距离一定是唯一的值s米，物体的距离是时间的函数。函数建立起了时间和距离之间的一座“桥”。不难看出，函数抽象定义的“要点”都可以从这样实例中体现，例如，研究物体的运动总在一定的时间范围里，如，从0秒到60秒，这就是定义域，距离也在一定的范围中，即值域；对每一个时间，一定只有唯一的距离与之对应，否则就不是一个物体的运动了。从这个例子还可以了解，识别和承认一个函数存在与把这个函数用某种形式表示出来，这两件事还是有一些区别的，识别函数不一定就能很好地表示它，“存在”和“求出”在数学上是非常

不同的。极限存在与求出极限，导数存在与求出导数，存在隐函数与表示出这个函数，等等，它们是不同的。举这些例子的目的是希望重视识别函数的能力，这是函数应用的重要组成部分，在今后的工作和学习中是很有用，也是很重要的。

在教学中，我们希望教师能设置一些情景，或者请学生到某些情境中，例如，邮电局，火车站，飞机场，加油站，商店，等等；也可以在其它学科中，例如，物理，化学，生物，地理，甚至历史，社会，语文，等等；发现和识别一些函数关系，并利用它们讨论一些问题。这些实践和应用能帮助学生理解函数是建立两类事物数量变化联系的基本工具，学会或有意识用学习过的函数近似地刻画问题。

应用问题的另一个作用是改变对传统中小学数学习题的看法，这是现在中学数学工作者不太适应的。应用问题与传统中小学数学习题的区别主要反映在两方面。

一方面应用问题提供了丰富的背景，这些背景将会随着时间不断的变化，很难用固定的模式进行分类。传统中小学数学习题的求解分类不适用于应用问题，极端地说一个问题要作一种思考，要理解问题的背景，仅仅依靠数学知识是不够的，需要在平时积累实际的经验，积累其它学科的知识，这在一定程度上反映学生的综合素质。

另一个方面，在传统中小学数学习题中，条件和结论之间是“可丁可卯”的，就是说完成（证明、求解）结论的条件是恰好的，不多不少，每一个条件都起作用。这样的问题对于数学学习来说是非常必要的，这样的问题可以帮助我们理解数学的概念，掌握数学技能，体会数学思想，等等。但是，讨论数学问题或应用数学解决实际或其它学科问题，并不是像解习题，很多时候结论是在探索过程中逐渐形成的，有时会给一些猜想，在探索过程中会做不断地修改。什么条件（结论）能发挥作用，什么条件需要改进，都需要进行思考。应用问题提供了一种体验解决实际问题（包括数学问题）过程的载体。有背景的数学问题也会进入中小学课程，例如，课程标准提出进行数学探究，这些都会逐渐在中小学教学中发挥影响。

应用问题要求学生有很好的阅读理解的能力。数学阅读能力是一个基本能力。把有关数学的东西读懂，知道它是什么意思，要解决什么问题，什么是对解决这个问题有用的条件，这个问题与学过的内容有什么关系，等等，是非常重要的，这些都是学习数学，应用数学最重要的东西。实际上对提高解决传统的数学习题也是十分有益的。培养数学阅读能力，不能一蹴而就，需要较长时间的培养。希望教师认真思考如何从初一、高一开始培养。现在，很多教师急功近利，把题型教学变成唯一的教学方式。这方面，学校和某些教育行政部门有不可推卸的责任，每个月，甚至每个星期都进行“排队”或“选拔”考试，试图以此提高教学质量，甚至与“政绩”挂钩，这是违反认知规律的，非常不利于提高学生的素质。希望教育行政部门能认真对待，采取措施，改变这种情况。

应用问题进入高考，起了很好的作用。但是，最近一段又在后退，出应用问题是有难度的，包括背景的公平性，评分等也有难度。不能因此而后退，应该组织队伍，在应用问题命题方面有所突破。

数学应用是课程标准的一个基本要求，虽然，在中学阶段的应用问题都是经过加工形成的。函数应用首先出现在必修1的内容中，这仅仅是开始，必修3中的算法，必修4中的三角函数，必修5中的不等式与线性规划，选修1、2中的导数及其应用、随机变量等等，都有函数的应用。实际上，函数与函数的应用贯穿在高中课程的始终。对此教师应予以充分的重视，在设计课程讲授时，需要有一个整体的考虑。

24、高中学习几何学的目的是什么？

（1）几何学主要是研究空间形式的，比如，各种不同的几何体的差异，特点等。学习几何学的一个基本目标是培养学生把握图形的能力，培养空间想象能力。

几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过对图形的把握，可以发展空间想象能力。这种能力是非常重要的，无论是数学本身、数学学习本身，还是在其他方面，都是一种基本能力。搞艺术的人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的感觉。

英国著名数学家M.阿蒂亚曾说过，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即‘洞察’与‘严格’，两者在真正的数学研究中起着本质的作用。即，几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。这表明，几何学不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，它渗透到数学的所有分支。因此，培养学生的几何直观能力、把握图形的能力就成为高中学习几何的主要目的。

（2）实现这些目标的途径是：直观感知，操作确认，思辩论证，度量计算。

在中学阶段，几何仍然是培养学生推理论证能力的重要载体，但是，我们还应该认识到几何更本质的作用。

高中数学课程中，更加关注通过对整体图形的把握去培养和发展空间想象能力；关注在空间想象能力培养中人的认识规律，概括了人们认识和探索几何图形的位置关系和有关性质的规律，建议通过“直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算”等学习过程，培养和发展空间想象能力，这对几何课程的学习应该是有帮助的。例如，在立体几何的学习中，建议从对空间几何体的整体观察入手，认识整体图形，再以长方体为载体，直观认识空间点、线、面的位置关系，抽象出有关概念，用数学语言表述有关性质与判定。事实上，相关研究表明，个体的认识是先从对整体的认识开始的。大家知道，在立体几何的学习中，异面直线和异面直线之间的距离是比较难理解的两个概念，如果先讲平行平面，那么，异面直线就是两个平行平面中的两条不平行的直线，而异面直线之间的距离问题，也会因为平行平面间距离的确定性而变得容易理解了。在生活中，我们在做事的时候也一样，你首先要有一个整体的安排，你才能把握各个方面在其中的作用和地位。

（3）把握图形和空间想象能力不仅仅是几何课程的任务，而是整个数学课程的基本任务，因此，在其他的数学内容学习中，也要强调通过直观，通过图形来认识相关内容的数学本质。

25、如何理解几何课程的整体设计思想？

几何课程的设计分为两部分。一部分是将“把握图形”的能力作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终。另一部分是设计了专门的几何内容。

将“把握图形”的能力作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终，是设计几何课程的基本思想。

例如，在函数有关内容的学习中，强调函数图形的作用是贯穿始终的，要求把函数思想的认识、函数性质的理解、函数的应用与函数图形的掌握有机地联系起来。

又如，讨论统计问题时，描述和表示数据是反映统计规律的重要手段，图形和图表是呈现统计规律的基本方式。高中数学课程，介绍了直方图、扇形土、茎叶图，等等。实际上，并不限于这些图形，我们还可以选择其它的图形，选择的原则只有一个，根据具体问题，直观地反映统计数据的规律，尽量一目了然。

在讨论线性规划问题时，有两个关键环节，一个是对可行域（目标函数的定义域）的理解，另一个认识目标函数的变化趋势。平面区域图形非常清晰地表达了可行域（目标函数的定义域）的特征，等高线直观地给出了目标函数的变化趋势。

框图（包括算法框图）虽然是几何研究的对象，但是，它利用最简单的图形直观地反映了完成一项工作的逻辑关系和顺序，这正是几何给我们的一种帮助。

我们可以举出很多这样的实例，它们属于其它的数学领域，但是在研究的过程中，“几何思想”发挥了重要作用。实际上，越抽象的数学，越需要直观图形的支持。在高层次的思考中，有人说“抽象思维”和“形象思维”是密不可分的，“形象思维”在数学上的体现就是“用图形说话”，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是基本的数学素质。如果仅仅把几何理解为培养形式推理的载体，这就小看了几何的作用。

几何内容的设计，包括三大部分。一部分在必修课程中，一部分在选修2课程中，一部分在选修3、4的课程中。

必修课程的几何内容由三块内容组成，立体几何初步，解析几何初步，平面向量。立体几何初步放在必修部分，其重点是在于培养学生的空间想象能力，定性地把握图形；我们通过三视图、直观图、长方体为载体，去认识基本的图形的点、线、面的基本关系和基本性质；立体几何初步的重点放在定性地理解图形的性质、位置关系，帮助学生建立起空间想象能力、直观能力。比较严格地论证和定量的分析图形放在选修2中。

在教学中，三视图，直观图是定性认识、把握图形的一个很好的载体，要把握好“度”，无论三视图还是直观图都会有很难的题目。以长方体为载体认识点线面位置关系，可以通过具体的模型过渡到抽象定义，可以从自然语言过渡到数学语言，逐步习惯用图形的语言进行表达和思考。多角度地认识图形，从整体到局部，从局部到整体，从外到里，从里到外，特别是从整体到局部，长方体是非常好的载体。不严格地说，高中立体几何都可以体现在长方体中。老师可以设计一些可操作的案例，比如，切萝卜、切土豆等，这些操作可以帮助一些学生建立空间直观。在条件允许的情况，可以利用信息技术，帮助学生建立空间直观，利用信息技术制作图形，既可以建立空间直观，也可以提高逻辑推理，制作一个图形，就是设计一个算法，让学生操作。希望教师能把这部分内容当作培养学生兴趣的一个载体，创造一些办法，让立体几何变得有趣一些。

解析几何初步的重点是帮助学生理解解析几何的基本思想，“坐标系”是解析几何思想的主要组成部分，“数轴”是学习“坐标系”思想的第一个概念，它可以帮助我们刻画直线上的点的位置，把直线上的点与数之间建立起联系。当我们在直线上确定了原点和单位长度，直线上的点与实数之间就建立起一一对应的关系。“直角坐标系”是在数轴的基础上形成的概念，它可以帮助我们用“数对”表示平面上的点，建立起“点”与“数对”之间的一一对应关系，形成一座代数与几何之间的桥梁。解析几何的另一个主要思想是建立方程

与曲线之间的联系，在解析几何初步中，我们是以直线与圆为载体，帮助学生理解：在直角坐标系中，每一条直线可以用形如ax+by=c的方程表示，满足方程ax+by=c的解组成的图像是一条直线，对于圆也有同样的性质。这些内容可以帮助学生初步形成如下的观念：可以用“方程”表示“曲线”，反之，“曲线”是“方程”的图像。在此基础上，可以用代数的方法讨论几何的问题，可以用几何图形表示代数的性质。

在解析几何的教学中，有两点值得注意，一个是不能忽视“可以用几何图形表示代数的性质”这一环节，能画图，一定画图，头脑中有图形的观念，对于思考解析几何问题是非常重要的。另一个方面，在解析几何教学中，可以适当地与“函数”作一个呼应。y=ax+b是一个函数，同时，它又是一个二元一次方程，它们都反映了变量x与变量y之间的关系，它们的图像都是直线。实际上，每一个函数y=f(x)，都可以看作一个二元方程y-f(x)=0，这是问题的一个方面。另一方面，x2+y2=4是一个二元方程，它的图像是圆，它也反映了变量y与x之间的关系。但是，在这里y与x之间不是函数关系，因为，对于x=1，y=3与y=-3都满足方程。其实，对于每一个x都有两个y满足方程 x2+y2=4，y与x之间不能构成函数关系。但是，从另一个角度看，方程x2+y2=4又可以看作二元函数z= x2+y2-4的局部性质。函数、方程都是刻画规律的数学模型，需要结合不同的内容不断地加深对它们的理解。

平面向量是几何的一个基本内容。它既是代数的对象，也是几何的对象。在代数的内容中，也会介绍向量。需要说明的是，很多内容究竟是属于代数还是属于几何，仅仅是看我们强调的方面。

在向量教学中，需要注意以下几个方面：它是代数对象，代数的基本特征就是运算。向量作为一个新的运算对象，蕴含非常丰富的的运算。不仅包括向量与向量的运算，还包括向量与数的运算，分配律是反映不同运算联系的法则，是需要特别注意的；向量是几何对象，这一点常常容易被忽视。点、直线、平面等都可以用向量表示，这是非常重要的。在选修2中的空间向量与立体几何的学习中，这是思考问题的基点，在大学数学学习中也会发挥更大的作用。对于每一个代数运算规律，都需要仔细解读它们的几何意义，这是掌握向量和利用向量的基础；向量是连接几何和代数的一座天然“桥梁”，它进一步地体现了解析几何的思想。向量是体会数形结合思想的重要载体，在将来的学习中，这座“桥”会发挥出更大的作用；向量与物理的联系是必须重视的。矢量是向量的背景，力、位移、速度、转动惯量等等都是认识向量的基础。在目前的中学数学教学中，数学和物理越离越远，更多的责任在数学教学。多提供一些有物理背景的数学问题，这应该成为数学教育工作者认真思考的问题，在考试特别是高考应该有所体现。

在选修1、2中，都延续了解析几何的内容，设计了“圆锥曲线”。圆锥曲线一直是中学课程一个重要内容，有两个背景支持着圆锥曲线的地位。一个背景是，在我们生活的宇宙中，物体的运动轨迹大多可以用圆锥曲线近似的表示；另一个背景是光学性质，几乎所有的光学仪器都是圆锥曲线（面）的应用。这些都是圆锥曲线不可替代的理由。在数学上，研究圆锥曲线有两种方法，综合几何的方法和解析几何的方法。我们选择解析几何的方法。圆锥曲线（面）又称作二次曲线，它是体现解析几何本质的最好载体。二次曲线的代数表示是二元二次方程，如何利用方程的系数确定曲线的形状，揭示这个规律成为数学的经典内容。在大学数学系的课程中，以这个内容为核心的解析几何是最基础的课程。

在高中阶段，主要介绍了三类圆锥曲线的标准方程，强调从几何性质到建立方程的过程。例如，从几何来说，椭圆是到两个定点距离之和为定长的点的集合。我们从直角坐标系的选择，到椭圆标准方程的建立；从对标准代数方程的分析，得到一系列椭圆的几何性质，等。全面地展示了解析几何研究问题的过程。在高中，对圆锥曲线的讨论是初步的，主要目的是进一步理解解析几何的思想。

在选修2中，设计了空间向量与立体几何的内容。希望在“理工和经济”方面发展的学生需要学习这部分内容。这部分内容的定位是“定量地”思考立体几何问题。“定量”包含两个含义。一方面，比较严格地讨论基本图形的位置关系，即反映点与点、直线与直线、直线与平面、平面与平面等的一些性质；另一方面，从距离、角定量地讨论基本图形的关系。我们知道讨论立体几何问题有两种基本思路。一个是综合几何的方法，一个是向量的方法。在这里，特别强调使用向量的方法，这种方法将来应用的面更大一些。这是高中数学课程的一个变化。综合几何的方法也是很重要的，在 “几何论证选讲” 专题中，能更好地体现综合几何的方法。

在选修1、2几何内容中，突出了利用解析结合的思想讨论几何问题。这样，在高中阶段，学生就初步地了解了讨论几何问题的两种方法：综合几何方法，解析几何的方法。

选修3课程有两个专题与几何有直接的关系，它们是“球面几何”与“欧拉公式与闭曲面分类”。选修4中，与几何有直接关系的有以下专题：“几何论证选讲”，“坐标系与参数方程”，“矩阵与变换”，“统筹与图论初步”等。在其它一些专题中，例如，在“对称与群”中，对称性主要是通过图形展示的。正如前面反复强调的，几何直观，空间想象，把握图形，运用图形语言等等都是贯穿在任何数学课程的基本思想。

26、如何处理立体几何的证明？

与以往高中数学课程中的立体几何内容相比，《标准》中立体几何内容的变化主要表现在几何定位的变化，几何内容处理方式的变化以及几何内容的分层设计等方面。《标准》中的立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象与几何直觉的能力、逻辑推理能力等。在处理方式上，与以往点、线、面、体，从局部到整体展开几何内容的方式不同，《标准》按照整体到局部的方式展开几何内容，并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程。立体几何内容分层设计，在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质。对于进一步的论证与度量则放在选修系列2中用向量处理。在处理立体几何的证明问题时，老师应从以下几个方面把握。

（1）立体几何中的证明始终是高中数学中的难点。

标准对立体几何内容是分层设计的。因此，立体几何中的证明也要分层，不能一步到位。

在立体几何初步中，首先，以长方体作为载体，给出了点、直线、平面的位置关系，以及一些基本的概念。通过直观感知、操作确认，归纳出了四个判定定理和四个性质定理，还有一个从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理。本部分明确给出的定理共有九个。 四个判定定理：

① 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ② 如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。 ③ 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 ④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理：

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 四个性质定理：

① 一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。 ② 两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。 ③ 垂直于同一平面的两条直线平行。

④ 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。

（2）立体几何初步这部分，我们希望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时，要充分发挥几何直观的作用，而不是形式上的推导。例如，平行于同一平面的二直线平行的证明方法，有的老师就是采用了一种很直观的证明方法（如下图所示）。

直线a、b垂直于同一平面?，只有两种情况，直线a、b共面或者异面。如果是共面则直接转化为平面几何的问题，结论易证。如果是异面，则过B点作直线c与直线a平行，可得，直线c与直线a共面，且直线c也垂直于平面?。因为直线b和直线c相交于点B，所以直线b和直线c也在同一个平面内。又因为过B点有两条直线b和c都垂直于平面?，这与公理矛盾。所以原命题得证。

反证法使学生比较难理解的方法，老师可以通过上述这种直观的方法，来帮助学生理解这个定理的证明。 （3）要把握好立体几何初步中证明的“度”。

在立体几何初步部分，标准只要求用综合几何的方法证明四个性质定理和运用已获得的证明结论证明一些空间关系的简单命题。对于一些复杂的证明问题，则在选修2系列中用向量的方法来处理。

27、tan?是刻画直线斜率的唯一方式吗？

如何在平面直角坐标系中描述直线？这是解析几何遇到的第一个问题。从几何上说，一条直线或者与x轴平行，或者与x轴相交。与x轴平行的直线的代数特征很简单，这条直线上点的纵坐标是个常数，即y=a。如何用代数方法刻画与x轴相交的直线？实际上，主要是如何用代数的方法刻画其与x轴正向交角（倾斜角）的大小或直线的斜率？

在高中阶段，一般有三种方式来表示直线的斜率。 （1）用正切函数

传统上，我们都是用倾斜角的正切来刻画倾斜角的大小，由于倾斜角是大于等于00小于1800，倾斜角与其正切是一一对应的（900除外）；当然，也可以用倾斜角的余弦，倾斜角与其余弦是一一对应的，但是，用余弦表示直线要复杂一些，一般都使用倾斜角的正切。

按照这种顺序来处理教材时，需要先引入00到1800的正切函数的概念。

（2）用向量

我们知道，一点M（a，b）和一个向量α=（λ，μ）可以唯一地确定一条过这个点M与向量α平行的直

线。设X（x，y）为直线上的任意点，则向量MX与向量α共线，即 MX=kα 。向量α的方向就刻画了直线的斜率。

（3）用导数的思想

假设一条与x轴相交于点A(x,0)，我们可以用导数（变化率）的思想刻画斜率。如图，让x 向正方向增加一个单位1，y的改变量△y = k 就是直线的斜率。

我们知道，学习数学知识有一定的顺序，可以用导数思想定义斜率，再给出直线的方程；也可以先引入三角函数，再用正切引入直线的方程，等等。每一种顺序都是可以自圆其说，都是合理的。但是，必须注意同一个数学概念，特别是重要的数学概念或结论，常常会有几种等价的描述。例如，倾斜角的斜率就可以有几种不同的描述，它们从不同的角度反映了斜率的本质。这种认识数学的思想在数学学习中是非常重要的。在常用逻辑用语中，我们引入了充分必要条件的概念，其意义在于能从不同的角度看待同一个问题。

虽然，可以用不同的方式描述斜率，但是，在最初介绍斜率概念时，可以选择一种，不必把几种处理方式都讲出来，例如，可以用导数的思想来讲；在学到三角函数的思想时，可以再强调正切与直线斜率的关系；在学到向量的时候，再讲一下直线的向量方程；学习导数及其应用时候，可以有一次强调导数的思想与切线斜率的关系。对于一些重要的数学概念，常常需要反复理解，逐步深入，不可能一次到位。

28、如何理解“形数结合”的思想在高中数学课程中的作用？

在中学数学教学中，数学教育工作者总结了很多很好的经验，“数形结合”思想是其中之一。 下面我们谈一下对这个思想的初步理解。 （1）对“数形结合”的认识

“数”是泛指“数”所蕴含的数学，例如，代数式，运算，以及符号语言等等；“形”是泛指“图形”所蕴含的数学，例如，图形的直观，图形的运动，图形的位置关系，图形的性质，等等。

“数”又可以理解为规律，用符号语言表达的规律；“形”也可以理解为直观，用图形语言表达的规律。需要把符号语言和图形语言结合起来，把形式和直观结合起来。把“数形结合”当作认识数学概念、讨论数学问题的一种习惯。

（2）“数形结合”的一些天然载体

在高中数学课程中，有很多数学内容本身就是集“数、形”于一身，例如，向量，函数，解析几何，等等。对这些数学的内容，既需要从“数”的角度去理解，还需要从“形”的角度去理解它们；不仅要学会用它的“形”特征去理解它的“数”特征，也要学会用它的“数”特征去理解它的“形”特征。前面，我们在谈到向量、函数、解析几何等内容时，已经作了分析。但是，在实际教学中，常常强调一个方面，忽视另一个方面，例如，在解析几何的教学中，很多教师没有画图的习惯，仅仅是从代数上作分析，把解析几何讲成单纯代数的变形，而忽视了几何的作用。讲解析几何不能没有几何。。

29、‘统计’学科是研究什么的？必修部分的统计有哪些内容？

目前中学已经开设了统计课，从内容上看并不困难，但教师讲起来却不得法。问题在于教师只关心个别的知识点，而缺乏对统计这一学科的整体把握。不清楚统计这学科是干什么的。

统计学最关心的是：我们的数据能提供哪些信息。也就是说，这些数据能告诉我们一些什么。具体地说，面对一个实际问题，我们关心（1）如何抽取数据。（2）如何从数据中提取信息。（3）所得结论的可靠性。

只有把握了总的目标才能讲好每一个概念和方法。

教材中关于‘统计’的部分给出了总体，样本的概念，介绍了随机抽样，分层抽样，系统抽样的方法。结合初中的内容讲解了统计图表的制作和样本的数字特征：平均数，中位数，众数，极差，方差，标准差等（其中只有茎叶图和标准差是新增的内容）。还讲了分布的估计和回归分析。

在‘统计’教学中不应该单纯地讲授图表的制作，数字特征的计算，机械地套用公式。而应该从提取信息的角度比较各种方法的优劣，了解它们的适用范围。让学生体会用统计方法处理问题的全过程(抽样、整理数据、提取数字特征、给出统计结论、对结论的讨论)。

30、 如何理解‘抽样’？

抽样讲的是如何搜集数据。由于我们希望得到的数据能正确反映实际的状况，所以采用随机地抽样。这是关键所在。应该让学生很好地理解这一点。比如要了解某地区18岁男孩的身高。若这些男孩中一米九以上的有千分之一，随机抽样使每个男孩被等可能抽到，因此，抽到一米九以上的可能性也是千分之一。若这些男孩中一米六到一米八的占百分之七十，那么抽到男孩身高在一米六到一米八之间的可能性也有百分之七十。随机抽样能使得样本中不同身高的百分比和总体中的百分比近似相同。换句话说，随机抽样的样本能很好地反映总体的状况。如果不把这一点说清楚，只单纯地介绍三种抽样的具体操作方法就讲偏了。在抽样的过程中，还应该注意样本的随机性，这是建立随机思想的重要载体。

另外，我们关注三种抽样方法的差别和不同的适用范围。例如，系统抽样通常比简单随机抽样简单。在田野上考察害虫的个数，通常就是从任一地点出发，每隔相同的距离测量害虫的个数。但如果考察马路上的车流量，每隔几天记录一次，若选择不当，例如，每七天测一次，恰选在了星期日。就会造成错误的结果。同样在分层抽样中，如果分的不当，同一组内个体相差太大，结果也会有偏差。在给中学生讲授抽样时，应讲清这些，而不是单纯地讲方法。从统计上说，理解这些比抽样方法本身更重要。

作为教师应该清楚不同的抽样方法得到的是不同的数学模型（样本的分布不同）。在数学上处理起来有难易的差别。最常用的假定是：样本是独立同分布的(粗略地说,独立是指每次抽样和前面的抽取无关，不能因为这次抽到一个男孩身高较高，下次就故意去找一个身材较矮的。同分布是指，若第一次抽到一米九以上的可能性是千分之一，那末第二次抽到一米九以上的可能性也是千分之一，等等)。即假定抽样是有放回的，这是实际问题的一个近似。还应该让学生关注的是：实际问题中的样本是否是随机的。例如，一些心理学实验是由志愿人员完成的，可能缺乏代表性。一些数据只来自某个学校或某个医院，并非随机抽样等等。作为基础教育，让学生认识到，由于缺乏随机性，报刊杂志等提供的数据以及由此产生的结论可能产生误导。这是十分重要的。

31、 如何理解整理数据和画统计图表？

我们抽取到的数据是杂乱无章的。从这些数据中能得到什么信息？对数据进行整理和画统计图表，其目的是为了能从数据中得到信息。教师在讲授时不应只让学生掌握方法(方法都不困难，但有的教师把这部分内容讲成了如何画图表。)，而应侧重于说明如此整理数据后(或某一统计图表)，能告诉我们何种信息。还要让学生理解不同的整理方法，不同的图表的特点。例如，把学生的学习成绩从小到大排列，并把相同分数的归为一类。这样可列成一个表或画出一个散点图。从该表(图)我们很容易得到如下信息：学生的最高分，最低分是多少，不及格的有几个人，得到任一分数，例如85分，的学生人数，等等。但是，当我们处理的数据是连

续变量，例如某种产品的重量，这种方法就不方便了。当数据很多时该方法也不方便。这时人们常用直方图或只给出某一范围内的数据个数。例如，得分在80分到89分之间的学生人数，等等。这是更常用的方法。但它是以丢失一部分信息为代价的，即由直方图人们无法恢复原来的数据。当然丢失的数据可能对我要处理的问题没用。在这部分教学中应从得到信息的角度出发，分析各种方法和图表的优劣，并鼓励学生自己给出新的方法。事实上，人们仍在不断地创造新的方法，如新的高中课程标准中介绍的茎叶图。

32、 如何把握‘ 数据的数字特征’的教学？

除了对数据进行整理外,人们还用这些数据生成一些新的数，用它们来反映这组数据的特性，给出我们需要的信息。比如平均数，中位数，极差，标准差等。有的老师把这部分内容讲成了数据的加减乘除和它们的简便算法，这是不对的。应该清楚的是，这些数字特征的作用和意义。比如平均数，它反映了‘中心’位置这一重要信息。在许多情形下，人们关心平均数胜于关心所有的数据。对农作物常常只关心平均亩产量，而不太关心具体的某一亩的产量。不关心某一具体男孩的身高，而关心18岁男孩的平均身高，等等。应该注意的是，平均数尽管比具体的某一数据重要，但它显然不能和数据整体来相比。平均数是由全体数据确定的；反过来，仅仅知道平均数是无法决定这组数据的。教师应该让学生认识到这些数字特征反映信息时的优劣，即它们的不同适用范围。例如，在一些比赛中常常会出现‘去掉一个最高分,去掉一个最低分’再求平均的做法。这个方法的好处是，可以防止个别偏差大的数据造成的影响。但其代价是，损失了两个数据。而我们知道数据越多，平均数反映的信息越准确。因此，到底采取哪一种方法应根据具体情况而定。也许应该‘去掉两个最高分，去掉两个最低分’或者去掉三个四个最高分最低分，这样一直下去最终就变成了选取中位数。学生应能比较平均数和中位数的优劣，极差和方差的优劣等等。

33、 如何理解‘结果的随机性’？

统计中‘总体’,‘样本’的概念，直观上不难理解。但要深究起来并不简单。比如在检查某厂的产品时，我们说的‘总体’通常并不仅仅是厂中堆放的所有产品，还包括按同样方法过去生产出的所有产品，以及将来按同样方法生产出来的产品。因此，‘总体’在统计中被定义为一个分布。‘样本’也一样不好理解。在中学教学中教师不应该，也不必要引导学生去探究这些概念的确切定义。只需给出直观的说明。重要的是要让学生认识到，样本是总体的一部分。因此，由样本得到的平均数、方差等等，都不是总体的平均数、方差等等。这个区别十分重要，要让学生认识到样本的随机性。也就是说，两个人用同样的方法处理同一个问题时，他们抽样的结果一般是不同的(同一个人做两次，抽样的结果也不会完全一样)。因此，由不同样本得到的结果也不会相同。换句话说，结果有随机性。下结论可能会犯错误。要让学生认识到，尽管结果可能犯错误，但统计的推断还是有意义的。作为教师应该清楚，样本随机性产生的误差是可以估计的。也可以估计由此犯错误的概率。这和样本抽取不当以及故意制造误导产生的错误是完全不同的。

34、 如何把握‘线性相关性’的教学？

在统计中，回归分析和相关分析是应用非常广的。在教学中，重要的是，要让学生理解这里讨论的相关关系和过去学的函数关系的区别。

在现实中，有许多相互关联的变量并不是函数关系。例如，人的身高和体重之间的关系、农作物的施肥量和产量的关系等。不难看出，身高相同的人体重不一定相同，施肥量相同产量也不一定一样。它们显然不是函数关系。这些问题的特点是，其中的量有些是随机的。相关分析主要是分析这些量关系强弱，而回归分析是求这些关系的近似函数表示。回归分析中最重要的是线性回归，即求两个变量的近似线性函数关系。

另外，应要求学生自己探索回归直线的求法。在统计中，重要的是寻找好的方法，而不是套用公式计算。从历史上看，欧拉等许多大数学家都曾为寻找这一直线而努力，最后，由勒让德提出了最小二乘法。套用公式计算回归系数，对学生来说都不困难。但更应该让学生关注方程的意义和合理性。例如，在标准的选修课中中才讲相关系数（回归分析在选修1、2中，还要讨论），但可以适当提示回归系数计算的‘不合理性’：如果在圆上取一组点，仍可套用公式得到回归直线方程，这样的直线显然是没意义的。

35、建立回归方程应注意什么？

建立回归方程应注意以下几点：

（1）讨论的问题要有意义，回归方程的选择要符合实际需要。

（2）拟合都是在一定范围内进行的，即在我们处理的数据的范围内。不能把我们得到的回归方程任意扩大范围。比如，我们处理人的身高和体重，其身高在1.6—1.9米。它们的关系可以近似是一条直线，但是超出这个范围，例如身高2米以上，就可能就是一条曲线。

（3）由最小二乘法的解法，不难看出，x关于y的回归方程，与y关于x的回归方程不是互为反函数的关系。这在中学无需讨论，但教师应该有所了解。

（4）得到了回归方程y?a?bx后，可以用它来作预报和控制。预报是指给定x的值代入回归方程，得到y的预报值。控制是指，要求y达到某一确定的值，利用回归方程确定x的值。

例如， 始祖鸟是一种已经灭绝的动物。在一次考古活动中，科学家发现了始祖鸟的化石标本共6个，其中5个同时保有股骨（一种股骨）和肱骨（上臂的骨头）。科学家检查了这5个标本股骨和肱骨的长度，得到下表的数据：

编 号 股骨x/cm 肱骨y/cm

1 38 41

2 56 63

3 59 70

4 64 72

5 74 84

(1) 求出肱骨y对股骨x的线性回归方程；

(2) 还有1个化石标本不完整，它只有股骨，而肱骨不见了。现测得股骨的长度为50cm，请预测它的肱骨长度。

解：（1）从下面的散点图可以看出，上表中的两个变量呈现出近似的线性关系，我们可以建立肱骨y对股骨x的线性回归方程。

90807060504030201000?20406080

?291330由此可得：x?=58.2，y?=66。进而可以求得

5520040?5?58.2?66?1.197217633?5?58.220040?5?58.2?66a?66??58.2??3.660217633?5?58.2

b?于是，y对于x的线性回归方程为： y??3.660?1.197x.

回归直线的斜率b=1.197的意思是，对于这些始祖鸟的化石标本来说，股骨的长度每增加1cm，肱骨的长

度平均增加1.197cm。

（2）由上面最小二乘法得到的线性回归方程可知，当股骨的长度为50cm时，肱骨长度的估计值为： -3.660+1.197×50=56.19?56（cm）.

36、 为何在‘统计’的教学中强调案例教学？

与传统的数学教学不同的是，新课程标准要求通过大量的实际案例来讲授这些概念，用案例来讲授统计。希望学生通过实际问题的解决来理解统计的思想，而不是死背公式和概念。要求学生掌握解决统计问题的全过程。教材应提供丰富的案例。这是整个中学统计教学的一个指导思想。

之所以如此，是因为统计与其他数学的差别。其他数学更强调演绎推理，而统计是根据具体东西概括出来的，所以更强调归纳的过程。在中学阶段，学习统计不从定义定理出发，而是从具体的实例出发，这有助于帮助学生了解和掌握解决一个统计问题的全过程：提出统计问题，收集信息、整理信息，从中提取信息，并说明问题。

案例教学是统计教学的一种基本模式，学生通过具体案例，了解基本统计概念，统计的基本思想，掌握运用统计思想解决问题的方法，并在解决问题的过程中进一步加深理解统计思想。

在后面选修1和选修2的统计中，我们全部采用案例教学的方法。

开发好的统计案例是一项重要的工作。一个好的统计案例应有如下特点：一是问题来自学生的实际或是学生容易理解的现实问题；二是体现要教授的统计思想；三是能引起学生的兴趣并适合学生的认知水平；四是便于使用信息技术。当然，我们不应求全责备。

37、 高中课程必修部分对概率是如何定位的？为什么在排列、组合前讲概率？

在自然科学和社会科学以及当前市场经济中，人们碰到了越来越多的随机现象。对随机现象有一个较清楚的认识，成为每一个公民文化素质的基本要求。这正是高中开设概率课程的基本目的。

但是，过去中学的概率课，把重点放在用排列组合计算古典概率上，而忽略了对概率本身的理解。排列组合的题目可以很难，学习的重点变成了如何计数，而不是如何理解随机现象。学生学完后，并不能很好地认识周围发生的随机现象，如天气预报，彩票中奖等。在现在的标准中，更强调对随机现象的认识。

不仅在中学，大学的统计概率课程也在做调整。在本科教育中，不论是数学还是非数学专业中，有两个大的趋势，一个是统计的比重会大大加强；另一个，在概率课程中，减小古典概型的比重，淡化在古典概型中计数（排列、组合）的难度，强化对随机思想的理解。

38、如何理解概率的定义？

首先应该明确在数学上概率是用公理化的形式定义的。各种教科书中出现的‘概率统计定义’,‘古典概率定义’,‘几何概率定义’都是一些描述性的说法。教师不应该过分地去揣摩，探究那里的用语，而应理解其实质。概率的概念笼统说并不难，但若深入到理论或哲学中去讨论，问题就有一大堆，不是中学(甚至也不是大学)数学课程需要讨论的。

在这里，谈谈对数学上‘定义’的一些看法。我们不想谈数学中给出定义的必要性，它的作用和意义。每一个数学老师对此都清楚。我们想谈的是相反的一面，也是我们认为有些问题的地方，即过分地追求定义，过分地探究书中的词语，而忽略了对整体精神的把握。

对任何一个概念的定义，都需要用到一些词语。而严格说，这些词语仍需要定义。定义这些词语又需要用到另外一些词语。因此，这是一个无限上推、无法完成的任务，除非在某一处停下来。换句话说，必须有一些不加定义的词语，以此为出发点来讨论问题。提出这一点，是希望人们不要迷信定义。有人以为凡是没定义的都是不严格的，只有给出了定义才严格。这种看法是不全面的。其次，有些定义即使有，对许多人来说也是不必要的。大多数科学家并不需要了解实数的理论(实数的严格定义)，大多数数学家也不需要掌握用皮亚诺公理给出的自然数定义。严格表述尽管重要，但数学中最重要的活力来自于它的问题，思想，来自人们的探索，猜想，分析。

概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比，称为这个事件在这n次试验中出现的频率。当试验次数n很大时，频率将‘稳定’在一个常数附近。n越大，频率偏离这个常数大的可能性越小。这个常数称为该事件的概率。

我们要清楚上述定义只是描述性的。事实上它有循环定义之嫌。因为定义中出现了‘可能性’。这指的就是概率.(类似地在古典概率定义中通常出现‘等可能性’)。你可以设法避免这类词出现，但其本质的意义无法避免。有些人去探讨‘试验’等词的定义。事实上，‘做一次试验’并不难理解。如，扔一个硬币，摸三个红球，取十个产品，等等。个别复杂的试验也不难向学生解释。把‘做一次试验’定义为‘条件实现一次’，反而更难让人理解。什么叫‘条件’？什么叫‘实现’？这显然是不恰当的。何况‘试验’根本不是数学中的名词。

对这个定义应该从整体上把握，重要的是掌握以下几点：

（1）我们所讨论的现象是可以做‘重复试验’的.。并非所有不确定现象都是概率论研究的对象。例如，本 拉登是否还活着，某某人今天脸色不好是否不高兴，等等。这类问题没有重复试验的意义，属于人们的主观猜测与愿望。尽管人们有时也说：‘十有八九他不高兴’,‘我认为拉登活着的可能性只有百分之十’。这被称为主观概率。对主观概率的研究并非没有意义，但这不是概率论研究的对象。概率论描述的是可以重复试验的模型。另外，结果的随机性不同于结果未知。比如，至今人们还不知道哥德巴赫猜想是否成立，但这没有任何随机性。‘重复试验’是指条件相同下的试验，严格说在现实中两次试验条件完全相同是不可能的，这里给出的是数学模型，至于现实中哪些问题能用这个数学模型来近似描述，这是另一个问题。

（2）频率和概率的关系。频率是随机的，是这n次试验中的频率。换另外n次试验一般说频率将不同，而概率是一个客观存在的常数。

（3）概率反映的是‘多次试验’中频率的稳定性，学生往往错误地把‘概率等于二分之一’理解为‘两次试验中出现一次’。应给予纠正。

（4）出现频率偏离概率较大的情形是可能的，这是随机现象的特性。在概率的教学中，对一些学生容易产生误解的地方，有人建议用试验的办法帮助学生理解，这当然是很好的。例如，在讨论抽签与抽取顺序无关时，就可以用试验模拟。但必须注意到频率偏离概率大的情形。例如，扔一百个均匀硬币，一面出现41个，另一面出现59个，是不奇怪的。对此教师应有充分的认识。

39、如何理解事件的互斥和独立？

在中学概率的教学中，事件的互斥(互不相容)，互逆(对立)，独立，常常被重点讨论。就实质来说，互斥，互逆都不是概率论的概念。它们的定义和概率无关。由于它们不是重点，在“标准”中没有明确给出互斥，互逆的概念。（但在概率加法公式中要用到。）

这里最重要的概念是事件的独立性。独立的概念在选修1和选修2中才出现。并不需要在这里系统讲授。但是，独立的概念其直观意义并不难理解。教师结合学生日常生活中特别容易产生误解的问题，可以给予说明。例如，在买彩票时，有人说过去中奖的号码里某一数码，比如‘5’出现最多,‘5’是幸运号码，应该买‘5’这个号码。也有人说某一数码，比如‘7’, 在过去出现最少，由于每个数出现的机会是一样的，因此，下次‘7’出现的机会就大了，应该买‘7’这个号码。这些说法很迷惑人。但是，如果能认识到每次抽奖都是独立的（严格说，每次抽奖都应该用一套新的球，和以前用过的球无关，除非能保证用过的那套球没有任何磨损，使得每个球抽到的机会仍相同。例如，可以设想有一系列口袋，每个口袋中都放有36个均匀的球。每次开奖选择一个口袋从中摸球，这个口袋用过后就不再用了。那么学生应该不难理解，每次摸奖时数‘5’,‘7’出现的可能性和以前口袋中摸出的球的状况无关。），那么不难看出上述的说法都是错误的。类似地，把一个均匀硬币连续扔十次,‘第一,三,五,七,九次是国徽面向上，第二,四,六,八,十次是国徽面向下’这一事件，和‘十次都是国徽面向下’相比，.有些人总认为前一个事件国徽面向上、向下各出现五次，其发生的概率大。但如果认识到，每次扔硬币都是独立的，就知道它们的概率都相同。教师应通过这样一些具体问题的讨论让学生加深对随机思想的理解。

对公民的随机思想和统计思想的教育，在我国过去是比较缺乏的。一般人中常会有许多错误的认识。有些在心理上是根深蒂固的。即使学了一些概率统计知识，也不会一下就解决问题。例如，在前面讲到的摸奖问题中，当一个人买彩票时，尽管他知道了每个数出现的机会相同，但既然总要选一些数，他在心理上还会愿意选取数‘5’，‘7’。又比如他学过概率课后，知道抽签与顺序无关。但在实际生活中，碰到抽签的事，他还是拼命地抢，争取先抽到。因此，培养学生的随机意识是一个长期的过程。在我们的教学中要特别强调这一点，而不要把概率统计讲成单纯的计算。

40、如何理解古典概率模型？

需要明确的是古典概率是一类数学模型，并非是现实生活的确切描述。扔一个硬币，可以看成只有两个结果：‘国徽面向上’和‘国徽面向下’。每个结果出现的可能性相同，从而符合古典概率的模型。但现实情况是，硬币可能卡在一个缝中，每一面既不向上也不向下。另外, 硬币是否均匀，也只能是近似的。又比如，把两个球放入两个盒中，每盒放球数不限。当球、盒都可以分辨时，有四种结果；当球不可分辨而盒可以分辨时，有三种结果；当球、盒都不可分辨时，只有两种结果。如果认为出现的结果是等可能的，就得到三种不同的古典概率模型。它们没有对错的问题。这和现实状况无关。正如欧氏几何与非欧几何没有对错的问题一样。至于现实中的一个具体问题适合用哪一个模型来描述，这是另外一个问题。(在人们的日常生活中，通常采用球盒都可分辨有四个等可能结果的模型。但对电子和光子在空间的分布，这个模型却不合适，应采用另一种模型。)

同一个现实对象可以用不同的模型来描述。例如物理上，地球有时被看成是一个质点(在研究天体运动时)，有时被看成椭球(飞机的航程)，有时被看成平面(人在地面行走时)。在这里同样如此。同一个问题可以用不同的古典概率模型来解决。比如，扔一个均匀的骰子，求‘出现偶数点’的概率。可以认为试验有六个结果，其中有三个结果的发生出现偶数点。因此，该事件的概率是六分之三。但也可以认为试验只有两个结果(比如可以想象把三个偶数点的面涂成黑色，把三个奇数点的面涂成红色)。因此，该事件的概率是二分之一。两个不同的模型解决了同一个问题。后一个模型更简单。但用它无法求出‘扔出三点’的概率。两个模型各有优劣。有些人对此不太清楚。比如，从五个黑球四个白球中任取三个，求‘取到两个黑球,一个白球’的概率。对此题我们既可以有顺序地抽取，也可以在抽取时不考虑顺序。两个不同的模型都能解决这一问题。有人认为后一种作法是错误的，这是不对的。完全可以用不同的模型。但如果要求的结果和顺序有关，比如，求‘第二次取到黑球’的概率，则后一个模型就不能用了。

在古典概率的问题中，关键是要给出正确的模型。一题多解体现的恰是多个模型。而不应该在排列组合上玩花样，作难题。习题应给出数值解，让学生能看到概率的大小，根据实际问题体会其意义。

41、如何把握几何概率与随机模拟的教学？

在高中课程的教学中，应对模拟的思想给予特别的关注。这个思想十分重要。典型的例子是用几何概率来计算平面图形的面积。它很直观地给出了随机模拟的思想。事实上，许多不能用数学公式描述的问题，都可以通过模拟来实现。例如，可以让学生在超市收银台前，记录每分钟到达的人数。从而得到到达0个人的频率、到达1个人的频率、??。再记录每个人被服务的时间。得到服务不足1分钟的频率、服务不足2分钟的频率、??。然后，可以通过模拟再现收银台前顾客来到的状况。这对超市管理十分有用。

教师应该清楚，随机模拟应用的范围十分广泛，绝不仅仅限于计算几何图形的面积或体积。把一个实际问题转化为一个可以模拟的问题是一个非常重要的意识，对于学生以后走向社会是一个重要的本领。在解决实际问题时，通常是用离散的量模拟连续变化的量，这些思想都很重要。

在教学中，可以选择不同的工具进行随机模拟，比如，通过随机数表，通过计算器等。

教师应该清楚，为了使模拟的效果比较理想，模拟的次数要很多。有许多问题，如果教师只让学生做一定量的试验，结果往往会不够理想。这是随机现象本质所决定的。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0s58.html