必修一第三章根的分布

一元二次方程根的分布

结论：设二次函数f(x)在区间(m,n)(m?n)上递增（或递减），

且f(m)与f(n)异号，则方程f(x)?0在(m,n)内有唯一实根。 （如图1）

例1：设x2?x?m?0在区间(?1,3)有两个不等实数根，求m的范围？

解：令f(x)?x2?x?m

?f(?1)?0?1111?因为f(x)在(?1,)递减，在(,3)递增。 则?f()?0??2?m?

224?2??f(3)?0点评：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，两个不等2均在区间(m,n)内，由例1知： ①f(m)?0,f(n)?0 ②对称轴x??b在区间(m,n)内 2ab4ac?b2)??0?b2?4ac?0???0 ③f(?2a4a对a?0情形，类似解决。

2练习：若关于x的方程x?ax?1?0两个不等根均在(0,4)内，

则a的范围： 2?a?17 42推论：：设二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)中f(m)与f(n)异号

(m?n)，则方程f(x)?0在(m,n)内有唯一实根。 （如图2）

2例2：若关于x的方程x?x?a?0两实根分别在在(?2,0),(0,3)内，

则a的范围？

?f(?2)?0?解：?f(0)?0??6?m?0

?f(3)?0?2练习：若关于x的方程x?x?a?0两实根满足：x1?2?x2则a的范围： a??2

例3：设关于x的方程ax?4ax?3?0的两个不等实数根都在区间(?1,??)，求a范围？

2???03?解：当a?0时，由草图知?f(?1)?0?a?

4?x?2??1????03?当a?0时，由草图知?f(?1)?0?a??

5?x?2??1?综上所述：a??或a?2353 4例4：设关于x的方程x?2ax?3a?0在(0,3)有唯一实数根，求a范围？ 解：设f(x)?x2?2ax?3a （1）若??0，即a?0或a??3 当a?0时，两根x1?x2?0?(0,3) 当a??3时，两根x1?x2?3?(0,3) （2）若??0，即a?0或a??3 ①????0?0?a?1

?f(0)f(3)?0???0???0??②?f(0)?0?无解 ③?f(3)?0?无解 ?f(3)?0?f(0)?0??综上所述：0?a?1 二：综合运用

1、若方程x2?x?m?0在实数R上有解，则m的范围m?1 412、若方程x2?x?m?0在区间(?1,3)上有两个不等解，则m的范围(?2,)

423、关于x的方程x?2x?m?0在(0,??)有两个不等的实根，求m的范围？ 24、关于x的方程x?x?a?0的两实根满足x1?0,1?x2?4，则a的范围：

5、关于x的方程2kx?2x?3k?2?0的两个根x1,x2满足x1?1?x2,求实数k的范围? k?0或k??4

26、 求实数k的范围, 关于x的二次方程7x2?(k?3)x?k2?k?2?0有两个实根,他们分

别在区间(0,1)和(1,2)内. k?2或k??1

7、 若关于x的一元二次方程ax2?2x?1?0(a?0)有一正根和一负根，则a的范围 a?0 8、已知函数f(x)?mx2?(m?3)x?1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m的取值范围? m?1

2?9．已知A?(x/x?(p?2)x?1?0,p?R若A?R??，则p的范围p?0

??10、关于x的一元二次方程x?x?a?0在(?2,2)内至少有一个实根，则a的范围？

2?6?a?1 4

三：函数与方程

21．已知函数f(x)?x?2(p?2)x?p，若在?使得f(c)?0，?0,1?内至少存在一个实数c，

则p的范围是C

A(1,4) B(1,??) C(0,??) D(0,1) 法一，若p?1检验

?f(0)?0?c?0,1法二，反面使得??，有f(c)?0即?f(1)?0

?2．若方程x?(5?a)x?a?8?0在x?(1,??)上有解，求a的范围

2x2?5x?8解：法1 由x?(5?a)x?a?8?0得a?

x?12x2?5x?84?x?1??3 设f(x)?x?1x?1 因为x?1,x?1?0 故x?1?即f(x)?1 故a?1

法2 设f(x)?x?(5?a)x?a?8

244?3?2(x?1)??3?1 x?1x?1?5?a?1?或f(1)?0 则a?1 则?2????0点评：a?f(x)在A内有解，a的范围为f(x)在A上的值域。 3.方程2?x?x2?3的实数解的个数为 2

点评：方程f(x)?g(x)的解的个数问题转化为两曲线交点问题。 4.函数f(x)?kx?2x在(0,1)上有零点，则k的范围(2.??)

25..设关于x的一元二次方程ax?x?1?0的两个实根x1,x2.且x1?x2

(1)求(1?x1)?(1?x2)的值

（2）当a??1时，求x1?x2的取值范围。 (3)当a?0时，求证: x1??2?x2??1

2 （1）解：由已知方程ax?x?1?0有两个不等实根x1,x2

则a?0 有x1?x2?? （2）由

11,x1?x2? 故(1?x1)?(1?x2)?1 aa x1?x2?(x1?x2)2?4x1?x2 ?又a??1，那么?1?141??(?2)2?4 2aaa1?0 a则x1?x2最大值为5， 故x1?x2的取值范围为(0,5?

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