第60讲 空间直线、平面垂直位置关系的证明-高中数学常见题型解法归纳反馈训练

【知识要点】

一、空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明

空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明一般有两种方法.

方法一（几何法）：线线垂直?线面垂直?面面垂直，它体现的主要是一个转化的思想.

方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性. 其中向量,a b 是直线,a b 的方向向量，且111222(,,),(,,)a x y z b x y z == 向量,m n 是平面,αβ的法向量，且333444(,,),(,,)m x y z n x y z ==

1200(,1212z z a b a b a b x x y y a b a b +⊥?⊥?=?+= 直线直线其中分别为直线，的方向向量）

,,31313(1x y y z z a a m x a a m λλλαα===⊥??

直线平面其中为直线的方向向量,为平面的法向量）3400(3434z z m n m n x x y y m αβαβ+⊥?⊥?=?+=

平面平面其中,n 分别为平面，的法向量）

二、空间的几何元素的位置关系从低到高有三个层次：线线关系、线面关系和面面关系.

三、空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.如果要证明线线垂直，只能首先转化成证明线面垂直；如果要证明线面垂直，可以首先转化成证明线线垂直或者面面垂直；如果要证明面面垂直，只能首先转化成证明线面垂直.

【方法讲评】

【例1】【2017北京，文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．

（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；

（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．

（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE =，

所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以

由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E BCD -的体积【点评】（1）本题的第1问证明PA ⊥BD ，转化成证明PA ⊥平面ABC ，第2问证明平面BDE ⊥平面PAC 转化成证明BD ⊥平面PAC .（2）空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.转化成哪一条线垂直哪一条线，哪一条线垂直哪一个平面，哪一个平面垂直哪一个平面，这取决于你的观察和分析，主要关注已知条件中的有垂直关系的线和面.

【例2】如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点． （Ⅰ）证明； （Ⅱ）证明平面；（Ⅲ）求二面角

的大小．

（Ⅲ） A

C D P

E A C

D P

E

M

【点评】（1）证明的关键是证明CD垂直AE所在的平面PCD.(2)证明平面的

PC CD

关键是证明PD垂直平面内的两条相交直线,.

【反馈检测1】【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值.

【例3】如图，已知正方体1AC 棱长为2，E 、F 、G 分别是1CC 、BC 和CD 的中点.

（1）证明：1A G ⊥面EFD ；（2）求二面角E DF C --的余弦值.

(2)由

(1)知1

(2,1,2)AG =-- 为面EFD 的法向量 ∵CE ⊥面CFD ，(0,0,1)CE = 为面CFD 的法向量

设1A G 与CE 夹角为θ，则由图可知二面角E DF C --的平面角为πθ-

∴二面角E DF C --的余弦值为【点评】本题由于是正方体，所以方便建立空间直角坐标系，所以选择向量的方法比较直接. 当然，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0rwi.html