矩阵分解

矩阵分解

在矩阵运算中，把矩阵分解成形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究和应用中，具有重要的意义。一方面，矩阵分解能够明显反映出原矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，令一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效地数值计算方法和理论分析根据。常见的矩阵分解方法有：三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解。下面将主要从这四个方面进行分别介绍。

一、三角分解

定义： 设A?Cnn?n，如果存在下三角矩阵L?Cnn?n和上三角矩阵R?Cnn?n，使得

A?LR （1） 则成A可以作三角分解。

A可以作三角分解的充分必要条件是A的k阶顺序主子式。 ?k?detAk?0(k?1,2,?n?1)，而Ak为A的k阶顺序主子式（证明略）

如果A可以分解成A?LR，其中L是对角元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵），R是上三角矩阵，则称之为A的Doolittle分解；L是下三角矩阵，R为对角元素为1的上三角矩阵，则称之为A的Crout分解。

如果A可以分解为A?LDR，其中L为单位下三角矩阵，D为对角

矩阵，R为单位上三角矩阵，则称之为A的LDR分解。设A?Cnn?n，则A有唯一LDR分解的充分必要条件是?k?0(k?1,2,?,n?1)。此时对角矩阵D?diag(d1,d2,?,dn)的元素满足

d1??1,dk?证明从略。

假设A?Cn?n是Hermite正定矩阵，则存在下三角矩阵G?Cn?n，使得A?GGH,则称之为A的Cholesky分解。

综合分析：方阵的三角分解存在的充要条件是：A的k阶顺序主子式?k?detAk?0(k?1,2,?n?1)，但是方阵的三角分解不是唯一的，比如A可以表示成A?LR?(LD)(D?1R),其中，D为对角元素均不为0的对角矩阵。为了规范化才有了Doolittle分解和Crout分解形式。矩阵的LDR分解建立在普通LR分解的基础上。而Cholesky分解则是A为Hermite正定矩阵时的一种特殊形式。

二、QR分解

定义：设A?Cn?n，如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵R，使得 A?QR （3） 则称之为A的QR分解或酉-三角分解。当A?Rn?n时，称之为A的正交-三角分解。

值得注意的是，任意A?Cn?n都可以作QR分解。当A?Cnn?n（即A为满秩矩阵）时，A可以得到唯一A=QR分解形式，其中，Q是n阶酉矩阵，R?Cnn?n是具有正对角元的上三角矩阵。

?k?k?1（2） (k?2,3,?,n)

矩阵的QR分解通常有三种方法，即Householder变换，Givens变换和Schimidt正交化。

三、满秩分解

定义：设A?Crm?n(r?0)。如果存在F?Crm?r（列满秩）和G?Crr?n（行满秩），使得

A?FG （4） 其中，矩阵的满秩分解总是存在的。而矩阵的满秩分解并不是唯一的（同三角分解）。

四、奇异值分解

定义：设A?Crm?n(r?0)，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得 UHAV??（5）

其中，??diag(?1,?2,?,?r)，而?i(i?1,2,?,r)为A的非零奇异值。将上式改写为

A?U?则称之为A的奇异值分解。

矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型（酉等价的具体形式为：设A,B?Cm?n，若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得UHAV?B,则称A与B酉等价）。

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