2018高考数学压轴卷广东省揭阳市第三中学2017届高三下学期第11周

2016-2017年第二学期高三理科数学第11周周一练习

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求.

2（1）已知集合A?x|x?x?0,B?x|y?lg?2x?1?，则A?B?（ ）

????（A）?0,? （B）?0,1? （C）?,1? （D）?（2）若复数z??1??2??1??2??1?,??? ?2?1?3i（i为虚数单位），则z?1=（ ） 1?i（A）3 （B）2 （C）2 （D）5 （3）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，

那么输入的x为（ ） （A）

1 （B）?1或1 （C）1 （D）?1 9x2y2（4）已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左，右焦点分别为F1,F2，双

ab曲线上一点P满足PF2?x轴．若F则该双曲线的离心率为（ ） 1F2?12,PF2?5，（A）3 （B）

31213 （C） （D） 2512|x|

（5）下列函数中，与函数y＝－3的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )

123

（A）y＝1－x （B）y＝log2|x| （C）y＝－ （D）y＝x－1

x（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三

视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）

（A）136? （B）34? （C）25? （D）18? （7）?x?1?5?x?2?的展开式中x2的系数为（ ）

（A）25 （B）5 （C）?15 （D）?20

?x?4y??3?xy（8）设z?4?2，变量x，y满足条件?3x?5y?25，则z的最小值为（ ）

?x?1?（A）2 （B）4 （C）8 （D）16

（9）已知f(x)?sin(?x??)(??0,?????0)的最小正周期是?，将f(x)图象向左平移

?个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1)，则f(x)?sin(?x??)（ ） 3????（A）在区间[?,]上单调递减 （B）在区间[?,]上单调递增

6363????（C）在区间[?,]上单调递减 （D）在区间[?,]上单调递增

3636（10）已知过抛物线y2?4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若

????????AF?3FB，则直线l的斜率为（ ）

（A）2 （B）

1 2（C）

3 （D）3 2（11）三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1?AB?AC?1，AB?AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足A1P??A1B1，直线PN与平面ABC所成角?的正切值取最大值时?的值为（ ） （A）

12325 （B） （C） （D） 2225（12）设曲线f?x???ex?x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线

g?x??3ax?2cosx上某点处的切线l2，使得l1?l2，则实数a的取值范围为（ ）

（A）??1,2?

（B）?3,???

（C）???21?,? 33??（D）??,?

33?12???二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

???????????????????????? CA?3CE，则AD?BE? ． （13）在边长为1的正三角形ABC中，设BC?2BD ，（14）已知???0,??2????，则cos?? ． ,cos???????233????（15）我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不

容异”。“势”即是高，“幂”是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t取?0,3?上的任意值时，直线

3yy?ty?t被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积1O12图14x6图2为 ___________．

（16）已知?ABC中，AC?2,BC?6,?ACB?使?BDC??6，若线段BA的延长线上存在点D，

?4，则CD?____________．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

?已知等差数列?an?满足?a1?a2???a2?a3?????an?an?1??2n?n?1?n?N.

??（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求数列??an?的前n项和Sn. n?1??2?（18）（本小题满分12分）

某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在?70,85?内，记为B等；分数在?60,70?内，记为C等；60分以下，记为D等.同时认定A,B,C为合格，D为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在?50,100?内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照?50,60?,?60,70?,?70,80?,?80,90?,?90,100?的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C,D的所有数据茎叶图如图2所示.

（Ⅰ）求图1中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；

（Ⅱ）在选取的样本中，从甲，乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用

X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期

望．

（19）（本小题满分12分）

如图所示，四棱锥P?ABCD的底面是梯形，且AB//CD，AB?面PAD，E是PB中点，CD?PD?AD?1AB． 2（Ⅰ）求证：CE?平面PAB； （Ⅱ）若CE?3，AB?4，

求直线CE与平面PDC所成角的大小．

（20）（本小题满分12分）

x2y2已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的一个焦点为F?3,0?，其左顶点A在圆

abO:x2?y2?12上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线l:x?my?3?m?0?交椭圆C于M,N两点，设点N关于x轴的对称点为

，且直线N1M与x轴的交于点P，试问?PMN的面N1（点N1与点M不重合）

积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ex?ax?b(a,b?R)在x?ln2处的切线方程为y?x?2ln2. （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若k为整数，当x?0时，(k?x)f?(x)?x?1恒成立，求k的最大值（其中f?(x)为f(x)的导函数）．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??x?1?tcos?（t为参数），以原点O为

?y?tsin???极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??22cos???（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；

（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A,B两点，若点P的直角坐标为?1,0?，

试求当??

（23）（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f?x??x?x?1.

（Ⅰ）若?x?R，恒有f?x???成立，求实数?的取值范围； （Ⅱ）若?m?R，使得m?2m?f?t??0成立，求实数t的取值范围.

2???.

4??4时，PA?PB的值.

数学（理科）参考答案与评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 B 7 C 8 C 9 B 10 D 11 A 12 D 1．【解析】?A??0,1?,B??,??? ,A?B??,1?,故选C．

222．【解析】z??1????1???1?3i?1?3i??1?i????1?2i，所以z?1=2 ,故选B． 1?i?1?i??1?i?2??x?0?x?0??x?1x?0x??13．【解析】程序框图表示y??x，所以?，解得：，，?x2???x?1?0?3?2?0?3?2x?0解集为空，所以x??1，故选D.

PF1?12?5?13，那么2a?13?5?8，故e?4【解析】在RT?PF1F2中，22123?． 825【解析】函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项A符合要求，故应选A.

6．【解析】画出满足条件的四棱锥，底面是边长为3的正方形，顶点在底面的射影为点B，高为4，根据垂直关系可得AD?AE，DC?EC，DE为直角三角形?ADE和?CDE和

?BDE的公共斜边，所以取DE中点O，O为四棱锥外接圆的圆心，

DE2?AB2?BE2?AD2?32?42?32?34，DE?2R?34，那么四棱锥外接球

的表面积为S?4?R?34?，故选B.

5557．【解析】(x?1)(x?2)?x(x?1)?2(x?1)，含有x项的构成为?20x?5x??15x，

22222故选C．

?x?4y??3?x?18．【解析】作出不等式组对应的平面区域，由?解得?，设A?1,1?，由图可

x?1y?1??知，直线2x?y?m经过点A时，m取最小值，同时z?4?2?2xy2x?y取得最小值，所以

zmin?22?1?1?23?8. 故选C．

9．【解析】??2, f(x)?sin(2x??)平移得到的函数是y?sin(2x???2?)，其图象过3（0，1），∴sin(??选B．

?2??)=1，因为?????0，∴ ???，f(x)?sin(2x?)，故

63610．【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，则?y1?3y2，又?y2y1??1，

313?A(,3),B(,?)，?k?3?选D．

412311．【解析】过P作PM?AB于M,连接MN，则tan??PM1?，故当MN最小时tan?MNMN???最大。此时MN?AB,M为AB中点,1 212．【解析】f'(x)??ex?1,g'(x)?3a?2sinx，在f(x)上取点(x1,y1)，在g(x)上取点

(x2,y2)，要l1?l2，需3a?2sinx2?1，?3a?2sinx2??3a?2,3a?2?，x1e?1112???0,1???a???，，，故选D． ???0,1?3a?2,3a?2xe?133二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

915?2113．? 14． 15． 16．3

426????????????????????1????????BC13．【解析】因为BC?2BD，所以D为的中点即AD?AB?AC，∵CA?3CE，

2????????????????1????????????1∴BE?BC?CE?BC?CA，∴AD?BE??．

43??14．【解析】因为??(0,)，所以???2?????5?(,)，所以sin(??)?，所以cos?＝33633??????215315?2＝ cos[(??)?]?cos(??)cos?sin(??)sin?????3333333232615．【解析】类比祖暅原理，可得两个图形的面积相等，梯形面积为S?所以图1的面积为

1?1?2??3?9， 229. 216．【解析】因为线段BA的延长线上存在点D，使?BDC?2220?4，?ACB?30，

0所以AB?AC?BC?2?AC?BC?cos30?2，即AB?所以?B??ACB?30，

02，所以AB?AC，

?BCD中，根据正弦定理

BCCD??sin?Dsin?B622?CD?CD?3. 12

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（本小题满分12分）

?a1?a2?4,解（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，由已知得? ??2分

(a?a)?(a?a)?12,23?12?a1?a2?4,?a1?(a1?d)?4,?a1?1,即?所以?解得? ??4分

a?a?8,(a?d)?(a?2d)?8,d?2,3?2??11所以an?2n?1． ??6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

352n?32n?1an2n?1S?1???…??n?1，① ?，所以n21222n?222n?12n?111352n?32n?1Sn??2?3?……?n?1?n，② ??8分 22222211112n?12n?3①?②得：Sn?1?1??2?…?n?2?n?3? ??10分 n2222224n?6所以Sn?6?． ??12分 n218．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）由题意，可知10x?0.012?10?0.056?10?0.018?10?0.010?10?1，

∴x?0.004．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴甲学校的合格率为1?10?0.004?0.96．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 而乙学校的合格率为1?2?0.96．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 50∴甲、乙两校的合格率均为96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）样本中甲校C等级的学生人数为0.012?10?50?6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

而乙校C等级的学生人数为4．

∴随机抽取3人中，甲校学生人数X的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分

123C6CC413∴P?X?0??3?,P?X?1??34?,

C1030C1010213C6C41C61P?X?2??3?,P?X?3??3?

C102C106∴X的分布列为

X P 0 1 2 3 1 303 101 21 6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

数学期望EX?1?3119?2??3??．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 1026519．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：取AP的中点F，连结DF,EF，如图所示．

因为PD?AD，所以DF?AP． ·················· 1分 因为AB?平面PAD，DF?平面PAD，所以AB?DF．

又因为AP?AB?A，所以DF?平面PAB． ············· 3分 因为点E是PB中点，所以EF//AB，且EF?又因为AB//CD，且CD?AB． ·········· 4分 2AB，所以EF//CD，且EF?CD， 2所以四边形EFDC为平行四边形，所以CE//DF，

所以CE?平面PAB． ······················· 6分 （Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结OG，则OG//AB，

因为AB?平面PAD，AD?平面PAD，

所以AB?AD，所以OG?AD． ·················· 7分 因为EC?3，由（Ⅰ）知，DF?3, 又因为AB?4，所以AD?2，

所以AP?2AF?2AD2?DF2?222?3?2, 所以?APD为正三角形，所以PO?AD， 因为AB?平面PAD，PO?平面PAD， 所以AB?PO．

又因为AD?AB?A，所以PO?平面ABCD．············· 8分

????????????故OA,OG,OP两两垂直，可以点O为原点，分别以OA,OG,OP的方向为x,y,z轴的正方向，

建立空间直角坐标系O?xyz，如图所示． 13P(0,0,3)，C(?1,2,0),D(?1,0,0)，E(,2,)，

22????????????33EC?(?,0,?)， ····· 9分 所以PD?(?1,0,?3)，PC?(?1,2,?3)，

22设平面PDC的法向量n?(x,y,z)，

???????n?PD?0,??x?3z?0,则???? 所以? ?n?PC?0,?????x?2y?3z?0,取z?1，则n?(?3,0,1)， ····················· 10分 设EC与平面PDC所成的角为?， ????则sin??|cos?n,EC?|?|33?2|?1， ················· 11分 2ππ因为??[0,]，所以??，

62所以EC与平面PDC所成角的大小为20．（本小题满分12分）

π． ··············· 12分 6解：（Ⅰ）∵椭圆C的左顶点A在圆x2?y2?12上，∴a?23

222又∵椭圆的一个焦点为F(3,0)，∴c?3 ∴b?a?c?3

x2y2??1 ??????４分 ∴椭圆C的方程为

123?x?my?3,?（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，则直线与椭圆C方程联立?x2y2

?1,???123化简并整理得(m?4)y?6my?3?0，

226m3yy??， ??????５分 12m2?4m2?4y?y2由题设知N1(x2,?y2) ∴直线N1M的方程为y?y1?1(x?x1)

x1?x2∴y1?y2??令y?0得x?x1?y1(x1?x2)x1y2?x2y1(my1?3)y2?(my2?3)y1 ??y1?y2y1?y2y1?y2?6m2m?4?3?4 ∴点P(4,0) ??????７分 ??6mm2?4S?PMN?11|PF|?|y1?y2|??1?(y1?y2)2?4y1y2 22

1?6m2?3m2?1?()?4(2)?23 ??????９分 222m2?4m?4(m?4)?23m2?1?

（当且仅当m?1?219?62m?1?2312(m2?1)9?62m?1?231?16?69即m??2时等号成立）

m2?1∴?PMN的面积存在最大值，最大值为1. ??????12分

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f??x??e?a，由已知得f??ln2??1，故exln2?a?1，解得a??1

又f?ln2???ln2，得eln2?ln2?b??ln2，解得b??2 ??????2分

f?x??ex?x?2 ，所以f??x??ex?1

当x?0时，f??x??0；当x?0时，f??x??0

所以f?x?的单调区间递增区间为?0，递减区间为???,0? ????4分 ??? ，

（Ⅱ）法一.由已知?k?x?f??x??x?1，及f??x??e?1整理得

xxex?1k?x，当x?0时恒成立 e?1xex?1ex?ex?x?2?令g?x??x ????????????6分 ?x?0?，g??x??2xe?1?e?1?当x?0时，e?0,e?1?0 ；由（Ⅰ）知f?x??ex?x?2在?0， ???上为增函数，

xx又f?1??e?3?0,f?2??e2?4?0 ??????????????8分 所以存在x0??1,2? 使得f?x0??ex0?x0?2=0，此时ex0=x0+2 当x??0,x0?时，g??x??0 ；当x??x0,???时，g??x??0 所以g?x?min?g?x0??x0ex0?1?ex0?1?2?x0?1??2,3? ???????10分 故整数k的最大值为2. ??????12分

x法二.由已知?k?x?f??x??x?1，及f??x??e?1整理得，?k?x?ex?k?1?0

令g?x???k?x?ex?k?1?x?0? ，g??x???k?1?x?ex

g??x?=0得， x=k?1 ?????????6分

当k?1时，因为x?0，所以g??x??0，g?x?在?0，+??上为减函数，

g?x??g?0???1?0 ?????????8分

当k?1时，x?(0,k?1),g'(x)?0，g(x)为增函数。x?(k?1,??)时g'(x)?0,

g(x)为减函数。?g(x)max?g(k?1)?ek?1?k?1

由已知 ek?1??k?1??0

????????10分

令h?k??ek?1??k?1??k?1?，h??k??ek?1?1?0，h?k?在k??1,???上为增函数. 又h?2?=e?3?0,h?3??e2?4?0，故整数k的最大值为2 ?????12分

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