工科数学分析-数集和确界原理

§1.2 数集和确界原理

授课章节：第一章 实数集与函数---§1.2数集和确界原理 教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念；

(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.

教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主.

教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课. 一、 区间与邻域

(一) 区间（用来表示变量的变化范围）

设a,b R且a b.

有限区间区间 ，其中

无限区间

. 开区间: x R|a x b (a,b)

有限区间 闭区间: x R|a x b [a,b].

闭开区间: x R|a x b [a,b)

半开半闭区间

开闭区间: x R|a x b (a,b]

x R|x a [a, ).

x R|x a ( ,a].

无限区间 x R|x a (a, ).

x R|x a ( ,a).

x R| x R.

(二) 邻域

联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？

1、a的 邻域：设a R, 0，满足不等式|x a| 的全体实数x的集合称为点a的 邻域，记作U(a; )，或简记为U(a)，即

U(a; ) x|x a| (a ,a ).

2、点a的空心 邻域

U(a; ) x0 |x a| (a ,a) (a,a ) U(a).

o

o

3、a的 右邻域和点a的空心 右邻域

U (a; ) [a,a ) U (a) xa x a ;U (a; ) (a,a ) U (a) xa x a .

4、点a的 左邻域和点a的空心 左邻域

U (a; ) (a ,a] U (a) xa x a ;U(a; ) (a ,a) U (a) xa x a .

0

5、 邻域， 邻域， 邻域

U( ) x|x| M , （其中

M为充分大的正数）；

U( ) xx M , U( ) xx M

二、有界集与无界集

什么是“界”？

定义1（上、下界）： 设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得一切x S都有

x M(x L)，则称

S为有上（下）界的数集.数M(L)称为S的上界（下界）；若数集S既有上

界，又有下界，则称S为有界集.

闭区间、(a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 E y y sinx, x ( , ) 也是有界数集. 若数集S不是有界集，则称S为无界集.

( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , )等都是无界数集,

集合 E y y

1

, x ( 0 , 1 ) 也是无界数集. x

注：1）上（下）界若存在，不唯一；

2）上（下）界与S的关系如何？看下例： 例1 讨论数集N n|n为正整数 的有界性.

分析：有界或无界 上界、下界？下界显然有，如取L 1；上界似乎无，但需要证明.

解：任取n0 N ，显然有n0 1，所以N 有下界1；但N 无上界.证明如下：假设N 有上界M,则M>0，按定义，对任意n0 N ，都有n0 M，这是不可能的，如取n0 [M] 1,则n0 N ，且n0 M.

综上所述知：N 是有下界无上界的数集，因而是无界集.

例2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.

问题：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个). 三、 确界与确界原理 1、定义

定义2（上确界） 设S是R中的一个数集，若数 满足：(1) 对一切x S,有x （即 是S的上界）; (2) 对任何 ，存在x0 S，使得x0 （即 是S的上界中最小的一个），则称数 为数集S的上确界，记作 supS.

定义2'（上确界的等价定义）设E是R中的一个数集，若数M满足： 1） M是E上界， 2） 0, x E使得x 则称数M为数集E的上确界。

定义3（下确界） 设S是R中的一个数集，若数 满足：（1）对一切x S,有x （即 是S的下界）；（2）对任何 ，存在x0 S，使得x0 （即 是S的下界中最大的一个），则称数 为数集S的下确界，记作 infS.

定义3'（下确界的等价定义）设S是R中的一个数集，若数 满足： 1） 是S下界；

2） ＞0，x0 S,有x0＜ . 则称数 为数集S的下确界。 上确界与下确界统称为确界.

注： 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.

命题 设数集A有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.

M

.

证明 设 supA， supA且 ，则不妨设

supA x A有x

supA 对 ， x0 A使 x0，矛盾.

例 supR 0 ，sup

n 1

， 1inf n Zn 1n 1n Z 2

n

E 5,0,3,9,11 则有infE 5.

开区间 a,b 与闭区间 a,b 有相同的上确界b与下确界a.

例3 设S和A是非空数集，且有S A. 则有 supS supA, infS infA.. 例4 设A和B是非空数集. 若对 x A和 y B,都有x y, 则有

supA infB.

证明 y B, y是A的上界, supA y. supA是B的下界,

supA infB.

例5 A和B为非空数集, S A B. 试证明: infS min infA , infB . 证明 x S,有x A或x B, 由infA和infB分别是A和B的下界,有

x infA

或x infB. x min infA , infB .

即min infA , infB 是数集S的下界,

infS min infA , infB . 又S A, S的下界就是A的下界,infS是S的下界,

infS

是A的下界, infS infA; 同理有infS infB.

于是有infS min infA , infB . 综上, 有 infS min infA , infB .

1、集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例3⑵为例做解释. 2、确界与最值的关系: 设 E为数集.

（1）E的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.

（2） 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. （3） 若maxE存在, 必有 maxE supE. 对下确界有类似的结论.

3、确界原理:

定理1(确界原理) 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界.

这里我们给一个可以接受的说明.E R，E非空， x E，我们可以找到一个整数p，使得p不是E上界，而p 1是E的上界.然后我们遍查p.1,p.2, ,p.9和p 1，我们可以找到一个q0，0 q0 9，使得p.q0不是E上界，p.(q0 1)是E上界，如果再找第二位小数q1， ,如此下去，最后得到p.q0q1q2 ，它是一个实数，即为E的上确界.

证明 （书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S中的元素都为非负数，则存在非负整数n，使得 1） x S，有x n； 2）存在x1 S，有x n 1；

把区间(n,n 1]１０等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在n1，使得

1） S，有；x n.n1； 2）存在x2 S，使得x2 n.n1 再对开区间

(n.n1,n.n1

10

110

．

]

１０等分，同理存在n2，使得

1）对任何x S，有x n.n1n2；

x n.n1n2

2）存在x2，使2

110

2

继续重复此步骤，知对任何k 1,2, ，存在nk使得

1）对任何x S

，

x n.n1n2 nk

110

k

；

2）存在xk S，xk n.n1n2 nk．

因此得到 n.n1n2 nk ．以下证明 infS．

1) 对任意x S，x ；

2) 对任何 ，存在x S使 x ． 作业： P9 1（2），（3）； 2； 4（1）、（3）；6

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