三角函数解答题 20051122083651319

三角函数解答题

15．（广东卷）

化简f(x) 6k 16k 1

2x) 2x) 2sin( 2x)(x R,k Z),333

并求函数f(x)的值域和最小正周期. 15．解：

f(x) cos(2k

2x) cos(2k 2x) 23 2x) 333

2 2x) 23 2x)

33

2

4cos2x

所以函数f(x)的值域为 4,4 ，最小正周期T （15）（北京卷） 已知tan（I）tan(

2

=2，求

4

)的值； （错误！未找到引用源。）

6sin cos

的值．

3sin 2cos

解：（I）∵ tan

2 2 4; =2, ∴ tan

1 4231 tan22

4

1tan tan

1 tan 1=所以tan( ) ； 41 tan tan1 tan 1 47

43

4

, 所以3

2tan

（错误！未找到引用源。）由(错误！未找到引用源。), tanα=－

46( ) 1

76si n c os6tan 1== .

3si n 2c os3tan 23( ) 26

3

（15）（北京卷） 已知tan=2，求

2

6sin cos

（I）tan( )的值； （错误！未找到引用源。）的值．

43sin 2cos

解：（I）∵ tan

2 2 4; =2, ∴ tan

1 4231 tan22

2tan

4 1

1 tan 1=所以tan( ) ； 41 tan tan1 tan 1 7

43

tan tan

（错误！未找到引用源。）由(错误！未找到引用源。), tanα=－

4

, 所以3

46( ) 1

76si n c os6tan 1== .

3si n 2c os3tan 23( 4) 26

3

（17）（全国卷Ⅰ）

设函数f(x) sin(2x ) ( 0),y f(x)图像的一条对称轴是直线x （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求函数y f(x)的单调增区间； （Ⅲ）画出函数y f(x)在区间[0, ]上的图像。

17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ） x

8

。

8

是函数y f(x)的图像的对称轴， sin(2

8

) 1,

4

k

2

,k Z. 0,

3 . 4

3 3 ,因此y sin(2x ). 44 3

由题意得 2k 2x 2k ,k Z.

2423 5

所以函数y sin(2x )的单调增区间为[k ,k ],k Z.

4883

（Ⅲ）由y sin(2x )

知

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

[0, ]上图像是 故函数y f(x)在区间

（17）（全国卷Ⅱ）已知 为第二象限的角，sin

35

， 为第一象限的角，求cos ．513

atn(2 ) 的值．

(17) （全国卷Ⅲ）

已知函数f(x) 2sin2

x sin2x,x [0,2 ].求使f(x)为正值的x的集合. 解：∵f(x) 1 cos2x sin2x………………………………………………2分

1x

4

)…………………………………………………4分

f(x) 0 2sinx(

4

)s0

in(x2

4

)…………6分

4

2k 2x

4

5

4

2k …………………………8分 k x

3

4

k …………………………………………10分 又x [0,2 ]. ∴x (0,3 7

4) ( ,4

)………………………12分

15．(浙江卷)已知函数f(x)＝－sin2

x＋sinxcosx．

(Ⅰ) 求f(25 6

)的值； (Ⅱ) 设 ∈(0， )，f( 1

2)＝4－2，求sin 的值．

解

：

(

Ⅰ

sin

25 125 25 256 2,cos6

f(6) 2 25 25

6 sin6cos6

0 (Ⅱ

) f(x)

2cos2x 2

1

2

sin2x f( 2) 2cos 112sin 2 4

2

16sin2 4sin 11 0 解得sin

1 35

8

(0, ) sin 0 sina

1 38

15．(浙江卷)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x．

)

(Ⅰ) 求f(

)的值；(Ⅱ) 设 ∈(0， )，f()

＝，求sin 的值．

242

解：(Ⅰ) f(x) sin2x cos2x

f() sin cos 1

422

(Ⅱ) f() sin cos

22 2

1 sin( ) ,cos( )

4242

sin sin (

) 442 6

2

1 3 8

(0, ) sin 0 sina

18．（江西卷）

已知向量 (2cos,

x2x2

x x

)), (2 ), )),令f(x) . 42424x2

求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.

x x ) ) ) 42424

xx1 tantan 1

xxx ) 222221 tan1 tan

22

xxx 2sincos 2cos2 1

222 sinx cosx

18．解：f(x) 22cos

x2

=2sin(x

4

).

4

42

所以f(x)2，最小正周期为2 ,f(x)在[0,]上单调增加，[,]上单调减少.

16．（湖南卷）

已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小. 16

．

解

法

一

由

sinA(sinB cosB) sinC 0得

sinAsinB sinAcosB sin(A B) 0.

所以

sAsiB sinAcinB sonAciBs conAsoBs 0i.sn即

sinB(sinA cosA) 0.

因为B (0, ),所以sinB 0，从而cosA sinA.

3. 从而B C . 44

3

由sinB cos2C 0得sinB cos2( B) 0.

4

由A (0, ),知A

即sinB sin2B 0.亦即sinB 2sinBcosB 0. 由此得cosB

1 5 5 ,B ,C .所以A ,B ,C . 23124312

3

解法二：由sinB cos2C 0得sinB cos2C 2C).

2

3 3

由0 B、c ，所以B 或2C B . 2C或B 2C .即B 2C

2222

由sinA(sinB cosB) sinC 0得 sinAsinB sinAcosB sin(A B) 0. 所以sinAsinB sinAcosB sinAcosB cosAsinB 0. 即sinB(sinA cosA) 0. 由A (0, ),知A

因为sinB 0，所以cosA sinA.

33

不合要求. .从而B C ，知B+2C=

4241 5 5

再由2C B ，得B ,C . 所以A ,B ,C .

42312312

1 cos2xxx

17．（重庆卷）若函数f(x) asincos( )的最大值为2，试确定常

224 x)

2

数a的值.

2cos2xxx

解:f(x) asincos

4cosx221a

cosx sinx22

1a21

17．（重庆卷） sin(x ),其中角 满足sin

244 a

1a2

由已知有 4.

44

解之得,a .

若函数f(x)

1 cos2x2sin( x)

2

sinx a2sin(x

4

)的最大值为2 3，试确定常数a的

值.

17．解：f(x)

1 2cos2x 12 x)

2

sinx a2sin(x

4

)

2cos2x sinx a2sin(x ) sinx cosx a2sin(x ) 2cosx44 2sin(x

4

) a2sin(x

4

) (2 a2)sin(x

4

)

因为f(x)的最大值为2 3,sin(x 所以a ,17．（福建卷）

已知

4

)的最大值为1，则2 a2 2 3,

2

x 0,sinx cosx

1

. 5

（I）求sinx－cosx的值；

3sin2

（Ⅱ）求

xxxx 2sincos cos2的值.

tanx cotx

17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知

识，以及推理和运算能力.满分12分.

11,平方得sin2x 2sinxcosx cos2x , 525

2449

即 2sinxcosx . (sinx cosx)2 1 2sinxcosx .

2525

7

又 x 0, sinx 0,cosx 0,sinx cosx 0, 故 sinx cosx .

25

xxxxx3sin2 sincos cos22sin2 sinx 1

（Ⅱ）

sinxcosxtanx cotx

cosxsinx

解法一：（Ⅰ）由sinx cosx

sinxcosx(2 cosx sinx)

121108 ( ) (2 )

255125

1

sinx cosx ,

解法二：（Ⅰ）联立方程 5

sin2 cos2x 1.

由①得sinx

①②

1

cosx,将其代入②，整理得25cos2x 5cosx 12 0, 5

cosx 或cosx

3

54.5

3

sinx , 5

x 0,

42 cosx .

5

故

7

sinx cosx .

5xxxx3sin2 sincos cos2

（Ⅱ）

tanx cotxx

2sin2 sinx 1

sinxcosx

cosxsinx

sinxcosx(2 cosx sinx)

3443108 ( ) (2 )

5555125

sin2x 2sin2x

17. （福建卷）（Ⅱ）求的值.

1 tanx

sin2x 2sinx2sinx(cosx sinx)2sinxcosx(cosx sinx)

sinx1 tanxcosx sinx1

cosx

2

241

255 24. 71755

（17）（山东卷）已知向量

m (cos ,sin )和n (2 sin ,cos ), ( ,2 ),

求

82

， 5

2

)的值. 8

解法一：

m n (cos sin 2,cos sin )

m n

(co s sin 2)2 (co s sin )2 4 22(co s sin )

4 4cos( ) 2 cos( )

44

82 7，得cos( ) 5425

又cos(

) 2cos2( ) 1 428

16

)

825

5 9

2 , co ) 0

828828

4

co )

285

所以cos2( 解法二：

2

2 2 m n (m n)2 m2 2m n n2 m n 2m n

22

(co2s sin )2 ((2 sin )2 co2s )2 2[co s(2 sin ) sin cos ]

4 22(cos sin ) 4[1 cos(

)] 8cos2( )

428

82 4

，得 ) 5285

5 9 ) 0 828828

4

co )

285 2 ,

（17）（天津卷） 已知sin(

727

) ,cos2 ,求sin 及tan( ). 410253

解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

72 2 sin( ) (sin cos ) 1042

即sin cos

7

① 5

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

77

cos2 cos2 sin2 (cos sin )(cos sin ) (cos sin )255

1

故cos sin ②

5343

由①式和②式得 sin ,cos .因此，tan ，由两角和的正切公

554

式

3

tan 43 3 48 25. tan( ) 41 3tan 1134 33

1

4

解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得

7

cos2 1 2sin2 25

93

解得sin2 ,即sin

255

由sin(

727) ,可得sin cos 4105

77

cos 0,且cos sin 0， 55

3

故 在第二象限，于是sin .

5

74

从而cos sin

55

由于sin 以下同解法一.

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