最新人教版高中数学选修1-1《生活中的优化问题举例》示范教案

1．4 生活中的优化问题举例

教材分析

本节内容是导数知识的应用，是利用前面所学的导数知识来解决生产生活中的实际问题．要使问题解决达到最优化，首先要建立合适的函数关系，并确定函数的定义域，然后通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决．在这个过程中，可以利用导数分析函数单调性、极值和最值，从而得出像利润最大、用料最省、效率最高等优化问题的结论．因此，导数是解决生活中优化问题的一个有力工具．

课时分配 1课时．

教学目标 1．知识与技能目标

会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力．

2．过程与方法目标

在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养．

3．情感、态度与价值观

在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性．

重点难点

重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题．

教学过程

引入新课

提出问题1：将一根长为1米的铁丝弯成一个矩形，怎么弯才能使矩形的面积最大？ 活动设计：学生讨论，主动发言，教师评论，提醒学生说明理由．

学情预测：由于该问题可操作性强，学生积极性应该很高，可以猜想，也可以计算． 活动成果：弯成正方形时，面积最大．可以用二次函数或平均值不等式来证明．

提出问题2：一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别为多少？

活动设计：继续讨论，像问题1一样需要学生说明理由． 学情预测：除了猜想、证明外，不少学生尝试计算．

l

活动成果：两个小正方形边长都是时，其面积和最小．

8

教师提问：对于以上两个问题，都是对实际问题中的最优化设计，你对实际生活中的最优化设计有什么办法？能联系导数知识进行说明吗？

学情预测：学生会用导数知识重新审视问题1、2，思考之后，部分学生可以答出一些理由．

设计意图

通过几个比较简单的问题，一是激发学生的学习兴趣，二是引出用代数(函数)的方法解决问题．两个问题都可以用二次函数、不等式等知识解决，同样应用导数也能解决，为应用导数知识解决实际问题做铺垫．

探究新知

提出问题：如图，在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

活动设计：以小组为单位，研究实施方案，教师巡视、指导．

学情预测：由于问题相对复杂，学生在猜想无果时，会尝试用函数知识解决． 活动成果：

60－x

解法一：设箱底边长为x cm，则箱高h＝(cm)，得箱子容积

2

60x2－x33x2

V(x)＝xh＝(0

22

2

3x2

令V′(x)＝60x－＝0，解得x1＝0(舍去)，x2＝40，

2

并求得V(40)＝16 000. 由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积都很小．经检验可知，16 000是最大值．

答：当箱底边长为40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3. 解法二：设箱高为x cm，则箱底边长为(60－2x) cm，则箱子容积 V(x)＝(60－2x)2·x(0

由题意可知，当x过小或过大时，箱子容积都很小，所以最大值出现在极值点处． 60x2－x3

事实上，可导函数V(x)＝xh＝、V(x)＝(60－2x)2·x在各自的定义域中都只有

2

2

一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不

必考虑端点的函数值．

设计意图

对于比较复杂的实际问题，单靠猜想——证明的方法显然不行，这样就更提高了学生用导数知识解决问题的主动性，从而引出本节课的课题，并初步形成解题思路和解题步骤．

求实际应用题的最大(最小)值的一般方法是：

(1)分析问题中各量之间的关系，把实际问题转化为数学问题，建立函数关系式； (2)确定函数的定义域，并求出极值点；

(3)比较各极值与定义域端点函数值的大小，结合实际，确定最值或最值点． 理解新知

例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

活动设计：学生自行设计图形，分组讨论、交流协作．

学情预测：对于圆柱体的体积公式，学生可能会遗忘，需要教师提示． 解：设圆柱的高为h，底面半径为R，容积为V，则表面积S＝2πRh＋2πR2.

V

由V＝πR2h，得h＝2. πR

V2V

则S(R)＝2πR2＋2πR2＝＋2πR2.

πRR

3V2V

令S′(R)＝－2＋4πR＝0，解得R＝，

R2π34V3VVV

从而h＝2＝＝＝2，即h＝2R.

πRπ2π3V2

π??

2π

因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．

答：当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．

点评：实际应用问题的最优化，可以转化为函数在指定范围内的最大值问题．因此，恰当设变量，准确构建函数关系式(明确定义域)，并用导数法(其他方法也可)求出函数最值是这类问题的基本解题步骤．

例2学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

活动设计：两名学生板演，其他学生独立完成，最后教师讲评． 学情预测：如何设变量，准确列出函数表达式，明确函数定义域，多数学生还不够规范． 128

解：设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为

x128512

S(x)＝(x＋4)(＋2)－128＝2x＋＋8，x>0.

xx512

求导数，得S′(x)＝2－2.

x

512128128

令S′(x)＝2－2＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．所以版心的宽为＝＝8(dm)．

xx16当x∈(0,16)时，S′(x)<0；当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.

因此，x＝16是函数S(x)的极小值，也是最小值点．所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小．

答：当版心高为16 dm，宽为8 dm时，海报四周空白面积最小． 运用新知

例3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响．

(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.

问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

43r322

y＝f(r)＝0.2×πr－0.8πr＝0.8π(－r)，0

33

令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0，解得r＝2(r＝0舍去)．

当r∈(0,2)时，f′(r)<0；当r∈(2,6)时，f′(r)>0.

因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高； 半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．

(1)半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

(2)半径为6 cm时，利润最大．

点评：通过对解答过程的分析，我们可以发现：

当r＝3时，f(3)＝0，即瓶子的半径为3 cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才为正值．

当r∈(0,2)时，f′(r)<0，f(r)为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2 cm时，瓶子的半径越大，利润越小，当半径为2 cm时，利润最小．

巩固练习

一条水渠的断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得四周l＝AB＋BC＋CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.

13

解：由梯形的面积公式，得S＝(AD＋BC)h，其中AD＝2DE＋BC，DE＝h，BC＝b，

23231233

∴AD＝h＋b.∴S＝(h＋2b)h＝(h＋b)h. ①

3233∵CD＝

h22

＝h，AB＝CD，∴l＝h×2＋b. ② cos30°33S3

由①，得b＝－h，代入②，

h343S3S∴l＝h＋－h＝3h＋，

3h3h

SSSS

l′＝3－2＝0.∴h＝.当h<时，l′<0；h>时，l′>0.

h444

333∴h＝S4

4

时，l取最小值，此时b＝23·S.

3

点评：1.解决优化问题的方法是：

首先要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，创造在闭区间内求函数最值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决．在这个过程中，导数是一个有力的工具．

2．利用导数解决优化问题的基本思路：

变练演编

变式1：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使圆柱形饮料罐的容积最大？

2

变式2：某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1 200＋x3(万元)，又知产品单价的平

75方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，问产量定为多少时总利润最大？

变式3：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0qrv.html