山西省汾阳市汾阳中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学(文) 试题 含答案

1 高二数学（文科）考试

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．本卷命题范围；必修1~必修5，选修1-1.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知点

，，则直线的倾斜角为（ ） A ．30? B ．45? C ．120? D ．135?

2. cos 20cos10sin160sin10-=（ ）

A

．2- B ．12- C ．

2 D ．12

3. 已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ）

A ．a ∥b

B ．a ⊥b

C ．a ∥(a b -)

D ．a ⊥( a b -) 4.已知角A 、B 是△ABC 的内角，则“A<B”是“sinA <sinB ”的（ ）

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5. 已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线的斜率为34，焦距为10，则双曲线C 的方程为（ ） A. 2213218x y -= B. 22134x y -= C. 221916x y -= D. 22

1169

x y -= 6.已知等差数列{}n a 的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为（ ） AB

2 A ．100 B ．120 C ．390 D ．540 7. 已知曲线1y x x =+上一点52,2A ?? ???

，则点A 处的切线方程为（ ） A.4340x y -+=

B.3440x y -+=

C.4330x y ++=

D.3440x y ++= 8. 已知191,0,0=+>>y

x y x ，则使不等式m y x ≥+恒成立的实数m 取值范围（ ） A ． B ．

C ．

D ． 9. 函数()()2sin (0,)f x wx w x R ?=+>∈ 的部分图象如图所示，则该函数图象的一个对称中心是（ ）

A ．,03π?? ???

B ．2,03π??- ???

C ．4,03π??- ???

D ．4,03π??

??? 10. 设m ，n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）．

A. [13,13]-+

B. (),1313,??-∞-++∞?

? C. [222,222]-+ D. ()

,222222,??-∞-++∞?? 11. 设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点P ，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 12,F F 22221(0)x y a b a b +=>>2a x c

=1PF 2F 1,12??????

3,13??????2,12???????2,13??????

3 12. 已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且

(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<x f x e 的解集为（ ）

A. (0,)+∞

B. (,0)-∞

C.4(,)-∞e

D.4(,)+∞e

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．命题“”的否定是________.

14．某学院为了调查本校学生2020年9月

“健康使用手机”（健康使用手机指每天使用

手机不超过3小时）的天数情况，随机抽取

了80名本校学生作为样本，统计他们在30

天内“健康使用手机”的天数，将所得数据分

成以下六组：[]0,5，(]

5,10，…，(]25,30，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.根据频率分布直方图，可计算出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为______

15. 若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______

16.给出下列命题：

（1）直线()2y k x =-与线段AB 相交，其中()1,1A ，()4,2B ，则k 的取值范围是

[?1,1]

（2）点1,0P 关于直线210x y -+=的对称点为0P ，则0P 的坐标为76,55??- ??

?； 2,230x R x x ?∈-+>

4 （3）圆22:4C x y +=上恰有3

个点到直线:0l x y -+=的距离为1；

（4）直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆恰好与直线

1x =-相切.

其中正确的命题有_________.（把所有正确的命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. （本题满分10分）

设命题p ：方程22

1327

x y a a +=-+表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q ：实数a 使曲线222

426120x y x y a a +---++=表示一个圆.

（1）若命题p 为真命题，求实数a 取值范围；

（2）若命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围.

18．（本题满分12分)

已知锐角ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c

，若cos cos sin b C c B A +=. （1）求A ；

5 （2）若53ABC S ?=，21a =

，求△ABC 的周长.

19. （本题满分12分) 如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA 是四棱锥P ABCD -的高，且2PA =，E 是侧棱PA 上的中点.

（1）求三棱锥C-PBD 的体积；

（2）求异面直线EB 与PC 所成的角；

20.（本题满分12分)

数列).13(2

1}{321-=++++n n n a a a a a 满足： （1）求}{n a 的通项公式；

（2）若数列.T }{,3

}{n 项和的前求满足：n b a b n b a n n n n =

21．（本题满分12分） 已知点(1,2)在抛物线22(0)y px p =>上．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，1(0)2

E -，

，设EA 斜率为1k ，EB 斜率为2k ，判断12

11k k +是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由． 22.（本题满分12分）

已知函数()21ln f x x ax x =-++-.

6 （1）若()f x 在1x =处取到极值，求函数()f x 的单调区间；

（2）若()0f x ≥在()1,2恒成立，求a 的范围.

7 高二数学（文科）考试答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

CCDCD ABDCD B A

12. 【答案】A

【解析】因为为偶函数，所以，，

构造函数，，所以函数是R 上的减函数.

根据题意：，因为 所以，解之得，. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13． 14 . 54 15. 193

π 16.（2）（3）（4） 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17.（本题满分10分）

解：（1）由题意()()3270a a -+<，解得732

a -<<. 即a 的范围是7

,32??- ???

. ……3分 （2）命题q ：实数a 使曲线222

426120x y x y a a +---++=表示一个圆， (1)y f x =+(1x)(x 1)f f -=+(0)(2)f f =(x)(x)x f h e ='''2(x)e (x)e (x)(x)(x)0x x x x f f f f h e e

--==<(x)h (x)(x)e 1(x)1x x f f h e <?<?<0(0)(0)1f h e

==(x)h(0)h <0

x >2000,230x R x x ?∈-+≤

8

()()

22

22167x y a a -+-=--表示圆.

则需2670a a -->，解得7a >或1a <-， ……5分 ∵命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假

∴73217a a ?-<<???-≤≤?得13a -≤<或73

2

17a a a a ?

≤-≥???<->?

或或得72a ≤-或7a > …… 9分 ∴a 的取值范围为[)()7,1,37,2?

?-∞-?-?+∞ ??

?

. …… 10分

18．（本题满分12分）

解：（1）依据题设条件的特点，由正弦定理，

得2

sin cos cos sin 3

B C B C A +=

， 有(

)2

sin B C A +=

， ……3分 从而(

)2sin sin 3B C A A +==

，解得sin 2

A =

， A 为锐角，因此，3

A π

=

； ……6分 （2）S △ABC =1

2bc sin A =5√3，故20bc =， ……8分 由余弦定理2222cos 21a b c bc A =+-=，

得()2

22212b c bc b c bc bc =+-=+--， ……10分

9 ()22132132081b c bc ∴+=+=+?=，9b c ∴+=， ……11分 故ABC ?的周长为921a b c ++=+． ……12分 19．（本题满分12分）

（1）又因为PA 是四棱锥P ABCD -的高，所以PA 是三棱锥P BCD -的高， 所以11111123323

C PB

D P BCD BCD V V S PA --==??=????=△ ……5分 （2）连结AC 交BD 于O ，连结O

E ，

因为四边形ABCD 是正方形，所以O 是AC 的中点，

又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ，

所以BEO ∠（或补角）为异面直线EB 与PC 所成的

角 .……9分

因为1AB AD ==，112

EA PA ==，可得2EB ED BD ===， 所以BDE ?为等边三角形，所以3

BED π∠=， 又因为O 的中点，所以6BEO π

∠=，

即异面直线EB 与PC 所成的角

6

π. ……12分

20. （本题满分12分） 解：（1）1231(31)2

n n a a a a ++++=-，① 当2n ≥时，-1123-11(31)2n n a a a a +++

+=-，②

10 ①－②得，13n n a -=，

当1n =时，11a =，符合上式.

所以13n n a -= ……6分

（2）因为3n n a b n a =，所以1

33n n a b n -=，

即1n n a b n =-，b n =n?1

3n?1，

n T 23

n-1

1111=0+1+2+3++n-1)3333????（）（）（（），①

23

n-1n 1

111

1

=1+2++n-2)+n-1)33333n T ????（）（）（（）（（），② …… 8分

①－②得，

23n-1

n

211111=++++n-1)333333n T ?（）（）（）－（（）

1

1

1

=)223n n +－(， ……11分

所以13

21

443n n n T -+=-? ……12分

21．（本题满分12分）

解：（1）由题221(0)p p =?>，即1p =，所以抛物线的方程为22y x =.

……4分

（2）12

1

1k k +是定值为0，证明如下： ……5分

11 设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为12

x my =+， ……6分 由2122x my y x ?=+???=?

，得2210y my --=， ……7分

所以122y y m +=，121y y =-， ……8分 因为1

2

1212,,1122y y k k x x ==++ 1112x my =+，2212x my =+， ……9分 所以1212121212

11111111222222=x x my my k k y y y y ++++++++=+ 1212121122()=2+201

y y m m m m y y y y +=++=+=-，得证． ……12分 22.（本题满分12分）

解析：（1）因为()21ln f x x ax x =-++-，所以()()120f x x a x x

=-+->'. 因为()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，即210a -+-=，

解得3a =. …… 2分 ∴()()1230f x x x x

=-+->'， 令()0f x '>，即1230x x -+->，解得112

x <<. 所以()f x 的单调递增区间为1,12??

???. ……4分 令()0f x '<，即1230x x -+-<，解得102

x <<或1x >，

12

所以()f x 的单调递减区间为10,2?? ???

，()1,+∞.

综上，()f x 的单调递减区间为10,2?? ???，()1,+∞，单调递增区间为1,12??

???

……6分 （2）()0f x ≥在()1,2恒成立，2ln 1

x x a x

+-?≥在()1,2恒成立，

即2max

ln 1x x a x ??+-≥???? ……7分 设()2ln 1x x h x x +-= ()22

ln 2x x h x x

'-+=， ……8分 设()2

ln 2g x x x =-+

则(

)2121202

x g x x x x x -=-=>?>'，

∴()g x

在0,2??

? ???

上单调递减，在2??+∞ ? ???

单调递增，

∴(

)min 5

ln 022g x g ?==+>

??

，∴()0h x '>恒成立 ……10分 ∴()h x 在()1,2上单调递增，∴()()max 3ln 2

22

h x h +→=

， ∴3ln 22a +≥

. 即a 的取值范围为3ln 2,2+??

+∞??

??

. ……12分

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