理论力学 第十二章 动能定理

第十三章 动能定理

力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率· 功率方程· 机械效率

引言

前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。

在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。

13.1力的功13.1.1 常力的功 设物体在常力F作用下沿直线走过路程s,如图， 则力所作的功W定义为

W F cos s F s功是代数量。它表示力在一段路程上的累积作用效应， 因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：J (焦耳), 1J=1 N· m。

13.1 力的功13.1.2 变力的功 设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。 力F在微小弧段上所作的功称为力的元功, 记为dW, 于是有

δW F cos d s力在全路程上作 的功等于元功之和 M M1

ds dr

M'

F

M2

W F cos ds0

s

上式称为自然法表示的功的计算公式。

13.1 力的功上两式可写成矢量点乘积形式

δW F dr

W

M2

M1

F dr

称为矢径法表示的功的计算公式。在直角坐标系中 F Fx i Fy j Fz k , d r dx i dy j dz k

δW Fx dx Fy dy Fz dz

W

M2

M1

( Fx dx Fy dy Fz dz )

上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功 的解析表达式。

13.1 力的功13.1.3 常见力的功 1) 重力的功设质点的质量为m,在重力 作用下从M1运动到M2。建立如图 坐标，则 z M1 z1 O M mg M2 z2 y

Fx 0, Fy 0, Fz mg代入功的解析表达式得

x

W12 ( mg )dz mg ( z1 z2 )z1

z2

常见力的功对于质点系，其重力所作的功为

W12 mi g ( zi1 zi 2 ) ( mi zi1 mi zi 2 ) g ( MzC1 MzC 2 ) g Mg ( zC1 zC 2 )由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而与 重心走过的路径无关。

常见力的功2) 弹力的功 物体受到弹性力 的作用, 作用点的轨 迹 为 图 示 曲 线 A1A2, 在弹簧的弹性极限内, 弹性力的大小与其变 形量 d 成正比。设弹 簧原长为l0 , 则弹性 力为A1 r1 l0 r r0 O r2 A2 Fd

A0A dr

F k (r l0 )r0W12 F dr = k (r l0 )r0 drA1 A1 A2 A2

常见力的功因为

r 1 1 2 r0 dr dr d(r r ) dr dr r 2r 2r于是

W12 或

r2

r1

1 (r1 l0 )

2 (r2 l0 ) 2 k (r l0 )dr k 2

1 2 2 W12 k (d 1 d 2 ) 2

弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。

常见力的功3) 定轴转动刚体上作用力的功设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb,当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为z F

Ft F cos

Fb O1 Fn r O

ds RdjR为力作用点A到轴的垂距。力F的元 功为

A

Ft

δW F dr = Ft d s Ft Rdj M z dj力F在刚体从角j1转到j2所作的功为

W12 M z djj1

j2

Mz可视为作用在刚体上的力偶

例1 如图所示滑块重P=9.8 N,弹 簧刚度系数k=0.5 N/cm,滑块在A 位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N, 滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置A运动到位置B,求 作用于滑块上所有力的功的和。解：滑块在任一瞬时受力如图。由于 P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们 所作的功为零。所以只需计算T 与F的功。 先计算T 的功： 在运动过程中，T 的大小不变，但 方向在变，因此T 的元功为

T A B20 cm15 cm

P F N

T

a

δWT T cos a d xcosa (20 x) (20 x) 2 15 2

因此T在整个过程中所作的功为

WT T cos a d x 200 0

20

20

20 x (20 x) 152 2

d x 200 N cmT

再计算F的功： 由题意：

AB20 cm

2.5 d1 5cm 0.5 d 2 5 20 25cm因此F在整个过程中所作的功为

15 cm

1 1 2 2 WF k (d1 d 2 ) 0.5(52 252 ) 150 N cm 2 2因此所有力的功为

W WT WF 200 150 50 N cm

13.2 质点和质点系的动能1. 质点的动能 设质点的质量为m,速度为v,则质点的动能为

1 2 T mv 2动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。

2. 质点系的动能 质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动 能，即

1 2 T mi vi 2

13.2 质点和质点系的动能刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动 形式不同时，其动能的表达式也不同。 (1) 平动刚体的动能

1 1 2 1 2 2 T mi vi vC mi MvC 2 2 2(2) 定轴转动刚体的动能

1 1 2 2 2 T mi vi mi ri 2 2 1 2 1 2 2 mi ri J z 2 2

13.2 质点和质点系的动能(3) 平面运动刚体的动能 1 T J P 2 2 2 因为JP=JC + md 所以 C

P

1 1 1 2 2 2 T ( J C md ) J C m(d ) 2 2 2 2 因为d· =vC ,于是得

1 2 1 2 T mvC J C 2 2平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕 质心转动的动能的和。

牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:

C

vC

1 2 1 T mvC I C 2 2 21 I C mR 2 , vC R 2

3 2 T mvC 4均质圆环在地面上作纯滚动时的动能见 P183。

例2 均质细杆长为l

,质量为m,上端B靠在光滑的墙上，下 端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相 连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v,杆与水平线的 夹角 =45o,求该瞬时系统的动能。 I B 解： T总 TA TAB C

3 TA Mv 2 4I 为AB杆的瞬心

v A

v IA1 2 l 1 2 I I ml m ml 12 2 32

v l sin

TAB

1 mv 2 1 1 2 I I AB mv 2 T总 9M 4m v 2 2 6sin 2 3 12

例3 长为l,重为P的均质杆OA由球铰链 O固定，并以等角速度 绕铅直线转动， 如图所示，如杆与铅直线的交角为 a , 求杆的动能。解：取出微段dr到球铰的距离为r,该微段的速度是

O

aC PO1

r

微段的动能

vr O1B r sin a P 1 d m d r 微段的质量 l g

dr B A

1 P 2 r 2 2 d T d m vr sin 2 a d r 2 2 gl杆OA的动能是

P 2 r 2 Pl 2 2 T dT sin 2 a d r sin 2 a 0 0 2 gl 6gl l

例4 求椭圆规的动能，其中OC、AB为均质细杆，质量为m和 2m,长为a和2a,滑块A和B质量均为m,曲柄OC的角速度为 ,j = 60°。解：在椭圆规系统中滑块A和B作平动，曲柄 OC作定轴转动，规尺AB作平面运动。首先对 运动进行分析，O1是AB的速度瞬心，因: A

vA

ABO1

vc O1C AB OC AB vA O1 A AB 2a cos j a vC C

1 ma 2 TA mAvA 2 2 vB O1 B AB 2a sin j 3a 2 2

jvBB

1 3ma 2 TB mB vB 2 22

2

O

对于曲柄OC:

IO mOC a2 ma2 TOC 1 IO 2 2

1 3

vA A O1

1 ma2 2 6

规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：

ABvC

I O1 I C mAB O1C 21 2m (2a) 2 12

C

2m a 2

8 ma 2 3

jvB B

TAB IO1 AB 2 ma2 21 2 4 3

系统的总动能为：

O

T TA TB TOC TAB ma 2 2 ma 2 2 ma 2 2 ma 2 2 1 2 7 ma 2 2 2 3 2 1 6 4 3

例5 滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量 为m,长为l的均质杆AB,杆以角速度 绕A转动，如 图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时，杆的动能。 解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为

A

vA

j

l

B vA

vC v A vCA速度合成矢量图如图。由余弦定理2 2 2 vC vA vCA 2vAvCA cos(180 j ) 2 vA ( 1 l )2 2vA 1 l cos j 2 2 2 vA 1 l 2 2 l vA cos j 4

A

j

vCA v C vA

B

则杆的动能2 T 1 mvC 1 J C 2 2 2 2 1 1 m(vA 1 l 2 2 l vA cos j ) 1 ( 12 ml 2 ) 2 2 4 2 2 1 m(vA 1 l 2 2 l vA cos j ) 2 3

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