高三数学一轮复习专题题库：立体几何(5)

立体几何（5）

81. 有三个几何事实(a，b表示直线，?表示平面)，① a∥b，② a∥?，③ b∥?．其中，a，b在面?外．

用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪．正确的给出证明，错误的举出反例． 解析：Ⅰ： a∥b a∥? ?b∥? b在?外 Ⅱ：a∥b

b∥? ?a∥? a在?外

Ⅰ、Ⅱ是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行．

证明：过a作平面?与?交于a? ∵ a∥? ∵ a∥a? 而a∥b ∴ b∥a?且b在?外，a?在?内 ∴ b∥?． Ⅲ：a∥?

?a∥b b∥?

命题：平行于同一个平面的两条直线平行，

用心 爱心 专心 1

这是错的，如右图

82. 两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行．

已知：、是两个平面，直线l⊥，l⊥，垂足分别为A、B． 求证：∥思路1：根据判定定理证．

l证法1：过l作平面，

γ Aδ E∩＝AC，∩＝BD， 过l作平面，

∩＝AE，∩＝BF，

? CB? DFl⊥l⊥

?l⊥AC

?l⊥BD ?AC∥BD?AC∥，

l、AC、BD共面

同理AE∥，AC∩AE≠

，AC，AE?，故∥．

思路2：根据面面平行的定义，用反证法． 证法2：设、有公共点P 则l与P确定平面， 且∩＝AP，∩＝BP．

l⊥l⊥

?l⊥AP ?l⊥BP

l、AP、BP共面，于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直，这是不可能的．

故、不能有公共点，∴ ∥．

83. 已知：a、b是异面直线，a?平面，b?平面，a∥求证：∥．

证法1：在a上任取点P， 显然P∈b． 用心 爱心 专心

2

，b∥．

于是b和点P确定平面． 且∴

与

有公共点P

b

∩＝b′

且b′和a交于P， ∵ b∥∴ b∥b′ ∴ b′∥ 而a∥ 这样

内相交直线a和b′都平行于 ，

∴ ∥．

证法2：设AB是a、b的公垂线段， 过AB和b作平面

∩?＝b′， 过AB和a作平面

， ，

?∩＝a′．

a∥??a∥a′ b∥??b∥b′

∴AB⊥a?AB⊥a′，AB⊥b?AB⊥b′ 于是AB⊥

且AB⊥，∴ ∥．

84. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a∥c，b∥c?a∥b； ②a∥r，b∥r?a∥b； ③α∥c，β∥c?α∥β；

用心 爱心 专心 3

④α∥r，β∥r?α∥β； ⑤a∥c，α∥c?a∥α； ⑥a∥r，α∥r?a∥α． 其中正确的命题是

(A) ①④ (C) ①②③

(B) ①④⑤ (D) ①⑤⑥

( )

解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题②错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题③错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题④正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题⑤、⑥都是错的，答案选A．

85. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是 ( )

(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 要依P点的位置而定 解析：由题设知B1M∥AN且B1M=AN， 四边形ANB1M是平行四边形， 故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面．

又C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，则平面B1NC∥AMC1，NP?平面B1NC， ∴ NP∥平面AMC1． 答案选B．

86. 已知：正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为a． (1) 求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

P

用心 爱心 专心 4

(2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离． 证明：(1) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， ∵ BB1平行且等于DD1， ∴ 四边形BB1D1D是平行四边形， ∴ BD∥B1D1， ∴ BD∥平面B1D1C． 同理 A1B∥平面B1D1C， 又A1B∩BD=B，

∴ 平面A1BD∥平面B1D1C 解：(2) 连AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于N．

AC是AC1在平面AC上的射影，又AC⊥BD，

∴ AC1⊥BD， 同理可证，AC1⊥A1B，

∴ AC1⊥平面A1BD，即MN⊥平面A1BD， 同理可证MN⊥平面B1D1C．

∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离，

设AC、BD交于E，则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E．∵ M∈平面A1BD，M∈AC1?平面A1C， ∴ M∈A1E． 同理N∈CF．

在矩形AA1C1C中，见图9－21(2)，由平面几何知识得

MN?13AC1， 用心 爱心 专心 5

∴ MN?3a． 3评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法．

87. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的中点． (1) 求证AB1∥平面C1BD；

(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离． 证明：(1) 设B1C∩BC1=O． 连DO，则O是B1C的中点．

在△ACB1中，D是AC中点，O是B1C中点． ∴ DO∥AB1，

又DO?平面C1BD，AB1?平面C1BD， ∴ AB1∥平面C1BD．

解：(2) 由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC中点， ∴ BD⊥AC，且BD⊥CC1， ∴ BD⊥平面AC1，

平面C1BD⊥平面AC1，C1D是交线． 在平面AC1内作AH⊥C1D，垂足是H， ∴ AH⊥平面C1BD，

又AB1∥平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离．由BC=8，B1C=10，得CC1=6， 在Rt△C1DC中，DC=4，CC1=6，

sin?C1DC?642?62?313

用心 爱心 专心 6

在Rt△DAH中，∠ADH=∠C1DC ∴ AH?AD?sin?C1DC?1213． 13即AB1到平面C1BD的距离是

1213． 13评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO．本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB1∥平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离．

88. 已知：直线a∥平面?．求证：经过a和平面?平行的平面有且仅有一个．

证：过a作平面与?交于a?，在?内作直线b?与a?相交，在a上任取一点P，在b?和P确定的平面内，过P作b∥b?．b在?外，b?在?内， ∴ b∥? 而a∥?

∴ a，b确定的平面?过a且平行于?．

∵ 过a，b的平面只有一个，

∴ 过a平行于平面?的平面也只有一个

89. 已知平面?、?、?、?．其中?∩?=l，?∩?=a，?∩?=a?，a∥a?，?∩?=b，

?∩?=b?，b∥b?

上述条件能否保证有?∥?？若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有?∥?．

不足以保证?∥?．

l如右图．

?b＇用心 爱心 专心

a＇?ab7

??如果添加条件a与b是相交直线，那么?∥?．

证明如下：

a∥a??a∥?

b∥b??b∥?

∵ a，b是?内两条相交直线， ∴ ?∥?．

90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行. 已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c. 求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c. 证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b ∴a、b?β ∴a、b相交或a∥b.

(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b 而a、b?β，a?α

∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点 又∵α∩γ＝c 由公理2知P∈c

∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点. (2)当a∥b时

∵α∩γ＝c且a?α，a?γ ∴a∥c且a∥b

用心 爱心 专心 8

∴a∥b∥c

故a、b、c两两平行.

由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.

说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.

91. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF. 求证：EF∥平面BB1C1C.

证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M. ∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB

∴

AFFM?DFBF 又∵BD＝B1A，B1E＝BF ∴DF＝AE

∴

AFAEFM?BE 1∴EF∥B1M，B1M?平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C.

证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE ∵AD∥BC

∴FH∥BC，BC?BB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得

BFBD?BHBA 又BF＝B1E，BD＝AB1

用心 爱心专心 9

∴

B1EBH ?AB1BA∴EH∥B1B，B1B?平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C，

EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB1C1C

EF?平面FHE

∴EF∥平面BB1C1C

说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.

92. 已知：平面α∥平面β，线段AB分别交α、β于点M、N；线段AD分别交α、β于点C、D；线段BF分别交α、β于点F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，△FMC面积=(m+p)(n+p),求：END的面积.

解析：如图，面AND分别交α、β于MC，ND，因为α∥β， 故MC∥ND，同理MF∥NE，得 ∠FMC＝∠END，

∴ND∶MC＝（m+p)：m和EN∶FM＝n∶(n+p)

1?EN?ND?sinEND2S△END∶S△FMC＝ 1?FM?MC?sinFMC2得S△END＝

ENND?×S△FMC FMMC＝

nnm?p2

?·(m+p)(n+p)=(m+p)

mn?pmn2

(m+p)平方单位. m∴△END的面积为

用心 爱心 专心 10

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