高等数学下册黄立宏黄云清答案详解

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0 习题九答案

1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ,,343αβγ=

==的方向导数。 解：(1,1,2)(1,1,2)

(1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππcos cos cos 5.(2)()(3)343

xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解：{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r

AB u u u r 的方向余弦为

4312cos ,cos ,cos 131313

αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u

yz x

u

xz y

u

xy z

?==??==??==? 故4312982105.13131313

u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ???

在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为

2222220,x y b x y y a b a y

''+==-

所以在点处切线斜率为

2.b y a a '==- 法线斜率为cos a b ?=

.

于是tan sin ??==

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1 ∵2222,,z z x y x a y b

??=-=-??

∴2222z

l a b ??=--= ?? 4.研究下列函数的极值：

(1)z =x 3+y 3－3(x 2+y 2);

(2)z =e 2x (x +y 2+2y ); (3)z =(6x －x 2)(4y －y 2);

(4)z =(x 2+y 2)22()e x y -+;

(5)z =xy (a －x －y ),a ≠0.

解：（1）解方程组22360360x y z x x z y y ?=-=??=-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).

z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6

在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点.

在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点.

在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.

(2)解方程组222e (2241)02e (1)0

x x x y z x y y z y ?=+++=??=+=?? 得驻点为1,12??- ???

. 22224e (21)

4e (1)

2e x xx x xy x

yy z x y y z y z =+++=+= 在点1,12??- ???处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ??=-- ???

. (3) 解方程组22(62)(4)0(6)(42)0

x y z x y y z x x y ?=--=??=--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).

Z xx =－2(4y -y 2),

Z xy =4(3－x )(2－y )

Z yy =－2(6x －x 2)

在点（3，2）处，A =－8，B =0，C =－18，B 2－AC =－8×18<0,且A <0，所以函数有极大值z (3,2)=36.

在点（0，0）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,0)点不是极值点.

在点（0，4）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,4)不是极值点.

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