最新广东省中山市普通高中高考数学三轮复习冲刺模拟试题： (8) Word版含答案

高考数学三轮复习冲刺模拟试题08

数列02

三、解答题

1．已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），

点M 在 直线上，且

. （1）求+的值及+的值

（2）已知，当时，+++，求； （3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、

，使得不等式成立，求和的值.

2．设等差数列的首项及公差d 都为整数，前n 项和为S n .

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若

求所有可能的数列的通项公式.

3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知122()n n a S n N *+=+∈.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)在n a 与1n a +之间插入n 个数,使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列,

设数列1n d ????

????

的前n 项和n T ,证明:1516n T <.

4．已知数列{a n }中,a 1=1,若2a n+1-a n =）2n ）（1n （n 2-n ++,b n =a n -）

1n （n 1+ (1)求证:{ b n }为等比数列,并求出{a n }的通项公式;

(2)若C n =nb n +

）1n （n 1+,且其前n 项和为T n ,求证:T n <3.

5．已知数列{}n a 的前n 项和11()22

n n n S a -=--+(n 为正整数) (Ⅰ)令2n n n b a =,求证:数列{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)令121,n n n n n C a T C C C n +==+++,试比较n T 与521

n n +的大小,并予以证明

6．已知数列}{n a 满足()

2,34,3,1*1121≥∈-===-+n N n a a a a a n n n , (1)证明:数列}{1n n a a -+是等比数列,并求出}{n a 的通项公式

(2)设数列}{n b 的前n 项和为n S ,且对任意*N n ∈,有1222211+=+++n na b a b a b n n 成立,求n S

7．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N ．

（Ⅰ）求数列

{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n T 为数列

{}n na 的前n 项和，求n T ．

8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2-a n ，n=1，2，3，…

（1）求数列{a n }的通项公式；（4分）

（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b 1+n =b n +a n ，求数列{b n }的通项公式；（6分）

（3）设C n =n （3- b n ），求数列{ C n }的前n 项和T n 。（6分）

9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*

22()n n S a n N =-∈,

数列{}n b 满足11b =,且点*1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上. (Ⅰ)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;

(Ⅱ)求数列{}n n a b ?的前n 项和n D ;

(Ⅲ)设22*sin

cos ()22n n n n n c a b n N ππ=?-?∈,求数列{}n c 的前2n 项和2n T . 10．对n ∈N ? 不等式??

???+-≤>>n nx y y x 2,0,0所表示的平面区域为D n ,把D n 内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列(x 1,y 1),(x 2,y 2),?,(x n ,y n ),求x n ,y n ;(2)数

列{a n }满足a 1=x 1,且n≥2时a n =y n 2).111

(21

2221-+++n y y y 证明:当n≥2时, 22211)1(n n a n a n n =-++;(3)在(2)的条件下,试比较)11()11()11()11(321n a a a a +??+?+?+ 与4的大小关系.

11．数列{a n }满足4a 1=1,a n-1=[(-1)n a n-1-2]a n (n≥2),(1)试判断数列{1/a n +(-1)n }是否为等比数列,并证明;(2)设a n 2?b n =1,求数列{b n }的前n 项和S n .

12．已知12a =,点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上,其中1,2,3n =

(1)证明数列{}lg(1)n a +是等比数列;

(2)设12(1)(1)(1)n n T a a a =+?+?

?+,求n T 及数列{}n a 的通项; (3)记112

n n n b a a =

++,求数列{}n b 的前n 项和n S .

13．设数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足n S =2-n a ，(n =1，2，3，…) (Ⅰ)求数列{n a }的通项公式；

(Ⅱ)若数列{n b }满足1b =1，且1n n n b b a +=+，求数列{n b }的通项公式； (Ⅲ)2)b -n(3n =n c ,求n c 的前n 项和n T

14．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和)(2)21

(*1N n a S n n n ∈+--=-，数列{b n }

满足n n n a b 2=.

（1）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；

（2）设数列?

?????+n a n n 1的前n 项和为T n ，证明：*N n ∈且3≥n 时，125+>n n T n ； （3）设数列{c n }满足n c a n n n n λ1)1()3(--=-（λ为非零常数，*N n ∈），问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n c c >+1.

参考答案

三、解答题

1.解：（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M.

又＝，即，，

∴+=1.

①当=时，=，+=；

②当时，，

+=+===

综合①②得，+.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时, +

∴，k=.

n≥2时，+++，①

，②

①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.

当n=1时，=0满足=1-n. ∴=1-n.

（Ⅲ）==，=1++=.

.

=2-，=-2+=2-，

∴，、m为正整数，∴c=1，

当c=1时，，

∴1<<3，

∴m=1.

2.解：（Ⅰ）由

又

故解得

因此，的通项公式是1，2，3，…，

（Ⅱ）由 得

即 由①+②得－7d <11，即

由①+③得, 即,

于是

又，故. 将4代入①②得

又，故

所以，所有可能的数列的通项公式是

1，2，3，….

3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知122()n n a S n N *+=+∈.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)在n a 与1n a +之间插入n 个数,使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列,设数列1n d ???????

?的前n 项和n T ,证明:1516n T <. 【D 】18．解(Ⅰ)由122(n n a S n +=+∈N *)得122(n n a S n -=+∈N *,2n ≥), 两式相减得:12n n n a a a +-=, 即13(n n a a n +=∈N *,2n ≥), ∵{}n a 是等比数列,所以213a a =,又2122,a a =+ 则11223a a +=,∴12a =,

∴123n n a -=

(Ⅱ)由(1)知123n n a +=,123n n a -=

∵1(1)n n n a a n d +=++ , ∴1

431n n d n -?=+, 令123111n T d d d =

+++1n d +, 则012234434343

n T =++???+1143n n -++ ① +?+?=213

4334231n T 114343n n n n -+++ ② ①-②得01222113434343n T =+++1114343n n

n -++- 111(1)111525331244388313

n n n n n --++=+?-=-- 11525151616316

n n n T -+∴=-< 4.解:(1)21)1(1)2)(1(1)2)(1(222)1(1)2)(1(111=+-++-++-+=+-++-=++n n a n n n n n n a n n a n n a b b n n n n n n ----6 ∴{b n }为等比数列, 又 b 1 =

21, q=21∴n n b )21(=---------------------7 (2)由(1)可知

)

1(12++=n n n C n n ∴)

1(13212112232221132++---+?+?++---+++?=n n n T n n ∴311223<+-+-

=n n T n n ------------------------13

5.解:(I)在11()22n n n S a -=--+中,令n=1,可得1

112n S a a =--+=,即112a = 当2n ≥时,21

111111()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，,

11n 1112a (),212n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2.

112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-=n 即当时，b .

又1121,b a ==∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是1(1)12,2n n n n n n

b n n a a =+-?==∴=.

(II)由(I)得11(1)()2n

n n n c a n n +==+,所以

①

②

由①-②

得

11111[1()]133421(1)()122212

332n n n n n n n n T -++-+=+-+=--+∴=-

535(3)(221)3212212(21)n n n n n n n n n T n n n ++---=--=+++ 于是确定521n n

T n +与 的大小关系等价于比较221n n +与的大小 由

可猜想当

322 1.n n n ≥>+时，证明如下: 证法1:(1)当n=3时,由上述验算显示成立.

(2)假设1

n k =+

时

所以当1n k =+时猜想也成立

综合(1)(2)可知,对一切3n ≥的正整数,都有22 1.n n >+

证法2:当3n ≥时,

综上所述,当1,2n =时521n n T n <+,当3n ≥时521n n T n >+ 6.解:(1)由1134-+-=n n n a a a 可得2),(31211=--=--+a a a a a a n n n n ,

}{1n n a a -∴+是以2为首项,3为公比的等比数列

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=∴--- 11313

1)31(2--=+--=n n (2)1=n 时,3,3,3111

1===S b a b 2≥n 时,1322,2)12(12-?===--+=n n n n

n n na b n n na b 12323323223-??++??+??+=n n n S

1)3333231(21210+?++?+?+?=-n n

设12103

333231-?++?+?+?=n n x 则n n n n x 33

)1(33323131321?+?-++?+?+?=- 2133)333(32021--?=+++-?=--n n n n n n n x 23321+???? ?

?-=n n n S 综上,2

3321+???? ??

-=n n n S 7.解：（Ⅰ）由题意，131n n a S +=+，则当2n ≥时，131n n a S -=+.

两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. ……………………………………………2分 又因为11a =，24a =，21

4a a =，……………………………………………4分 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列，……………………5分

所以数列{}n a 的通项公式是14n n a -=（n *∈N ）. ………………………………6分

（Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=+++

+=+?+?++?， 所以2314412434(1)44n n n T n n -=?+?+?++-?+?， ……………………8分 两式相减得，2114314444414n n n n n T n n ---=+++

+-?=-?-， ………11分 整理得，311499

n n n T -=?+ (n *∈N ). ………………………………13分 8. （1）a 1=S 1=1 1分

n ≥2时，S n =2-a n

1分 S 1-n =2-a 1-n

1分 a n =a n +a 1-n

2a n = a 1-n ∵a 1=1

1-n n a a =2

1 1分 ∴a n =(21)1-n 1分

（2）b 1-n -b n =（2

1)1-n 1分 ?????????=-=-=---21123012)21()21()21(n n n b b b b b b 1分

∴b n -b 1=(21)+……+（21)2-n =2112111---n 1分 =2-221

-n

∴b n =3-221

-n

1分 ∵b 1=1 成立

1分 ∴b n =3-（2

1)2-n （3）C n =n （2

1)2-n 1分 T n =1×（21)1-+2（21)0+……+n （2

1)2-n 21 T n =1×（21)0+……+(n-1) （21)2-n +n （2

1)1-n =2+2

112111---n -n （21)1-n =2+2-（21)2-n -n （2

1)1-n ∴T n =8-321-n -22-n n =8-22

2-+n n 9. 【解】(Ⅰ)当1=n ,21=a

当2≥n 时,1122n n n n n a S S a a --=-=-

∴ 12(2)n n a a n -=≥,∴{}n a 是等比数列,公比为2,首项12a =

∴2n

n a =

又点*

1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上,∴ 12n n b b +=+,

∴{}n b 是等差数列,公差为2,首项11=b ,∴21n b n =-

(Ⅱ)∴(21)2n

n n a b n ?=-? ∴1234

112325272(23)2(21)2n n n D n n -=?+?+?+?+

-?+-? ① 23451212325272(23)2(21)2n n n D n n +=?+?+?+?+

-?+-? ②

①—②得

123411222222222(21)2n n n D n +-=?+?+?+?+

?--?

1114(12)

22(21)22(32)612n n n n n -++-=+?--?=---

1(23)26n n D n +=-+

(Ⅲ)2(21)

n n c n ?=?--? 为偶数为奇数

n n

21321242()()n n n T a a a b b b -=+++-++

213

21

222

222[37(41)]23

n n n n n +--=++

+-++

+-=--

10.解:(1)当n=1时,(x 1,y 1)=(1,1)

n=2时,(x 2,y 2)=(1,2) (x 3,y 3)=(1,3) n=3时,(x 4,y 4)=(1,4) n 时 (x n ,y n )=(1,n)1

(*)n n x n N y n

=?∴∈?

=?

(2)由2222

21222

12

22221111()123(1)11111(1)()

(1)

123n n n n a n n a a a n n n n n ++?=++++?-?

∴-=?+?=++++?+? (3)当n=1时,11124,2n a +

=<=时,12115

(1)(1)244

a a ++=?<成立

由(2)知当n≥3时,1221(1)n n a a n n ++=+即2

211(1)

n n a n a n ++=+ 31212312311111111(1)(1)(1)(1)n n n a a a a a a a a a a a a ++++++++=?? =311223411111(1)n n n

a a a a a a a a a a -++++????+ =22

2212222123(1)2434

(1)n n n a n n +-?????+ =122222111122[1](1)23(1)n a n n n

+?=++++++- 2111111111(2)2[1(1)()()](1)12231n n n n n n n n <=-≥<+-+-++---- =122(2)44n n -=-

< 得证 11.解:(1)由1

12(1)n n n a a -=-- 11

11[(1)]2[(1)]n n n n a a --+-=--- 即 1

1

1(1)2(*2)1(1)n

n n n a n N n a --+-=-∈≥+-且 另:1111111

(1)21(1)(1)2(1)2211(1)1(1)(1)n n n

n n n n n n n n

n n n a a a a a a a ---------+-+---===--++-+- 1(1)n n a ??∴+-????

是首项为3公比为-2的等比数列

11111(1)3(2)3(2)(1)n n n n n n

a a ---+-=-∴=-+- (2)由21n n a

b =

112194621n n n n

b a --∴==?+?+ 9(41)6(21)4121

n n n S n --=++-- =34629(*)n n n n N ?+?+-∈

12. (Ⅰ)由已知212n n n a a a +=+, 211(1)n n a a +∴+=+

12a = 11n a ∴+>,两边取对数得

1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+,即1lg(1)2lg(1)

n n a a ++=+ {lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=?+1122lg3lg3n n --=?= 1213n n a -∴+=(*)

12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a )012222333=????n-12

…321223+++=n-1…+2=n 2-13 由(*)式得12

31n n a -=- (Ⅲ)212n n n a a a +=+1(2)n n n a a a +∴=+ 11111()22n n n a a a +∴

=-+ 1

1122n n n a a a +∴=-+ 又112n n n b a a =++1

112()n n n b a a +∴=- 12n S b b ∴=++n …+b 122311111112()n n a a a a a a +=-+-+-…+11

112()n a a +=- 1221131,2,31n n n n a a a -+=-==-22131n n S ∴=-

-.

13.解: (Ⅰ)∵n=1时，a 1+S 1=a 1+a 1=2 ∴a 1=1

∵S n =2-a n 即a n +S n =2 ∴a n+1+S n+1=2

两式相减：a n+1-a n +S n+1-S n =0

即a n+1-a n +a n+1=0，故有2a n+1=a n

∵a n ≠0 ∴2

11=+n n a a (n ∈N *) 所以，数列{a n }为首项a 1=1，公比为21的等比数列.a n =1)2

1(-n (n ∈N *) b n -b 1=1+

112

32)21(222

11)21(1)2

1()21()21(21----=--=++++n n n 又∵b 1=1，∴b n =3-2(2

1)n-1(n=1，2，3，…) (3)1-2n n n c = 所以21211111222144222222n n n n n n n n n n n T T T -----+=-=++

++-=--=- 14.解：（1）在2)21(1+--=-n n n a S 中，令n=1，可得1121a a S n =+--=，即211=

a 当2≥n 时，2)21

(211+--=---n n n a S ，∴111)21(---++-=-=n n n n n n a a S S a ，

∴11)21(2--+=n n n a a ，即12211+=--n n n n a a . ∵n n n a b 2=，∴11+=-n n b b ，即当2≥n 时，11=--n n b b . 又1211==a b ，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 于是n n

n a n n b 21)1(1==?-+=，∴n n n a 2=

. （2）由（1）得n n n n a n n c )21)(1(1+=+=，所以

n n n T )2

1)(1()21(4)21(321232++?+?+?+?= ① 1432)2

1)(1()21(4)21(3)21(221+++?+?+?+?=n n n T ② 由①－②得132)2

1)(1()21()21()21(121

++-+?+++=n n n n T 1112323)21)(1(2

11])21(1[411++-+-=+---+=n n n n n ∴n

n n T 233+-= )

12(2)122)(3(125233125+--+=+-+-=+-n n n n n n n n T n n n n 于是确定T n 与1

25+n n 的大小关系等价于比较n 2与2n+1的大小 由??<+?<+?<+?<+?<;522;1422;1322;1222;11225432

可猜想当3≥n 时，122+>n n .证明如下：

证法1：①当n=3时，由上验算显示成立.

②假设n=k+1时

1)1(2)12(1)1(224)12(22221++>-+++=+=+>=+k k k k k g k k 所以当n=k+1时猜想也成立

综合①②可知，对一切3≥n 的正整数，都有122+>n n .

证法2：当3≥n 时

1

222)11(21101210+>+=+++≥++?+++=+=--n n C C C C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n n 综上所述，当n=1,2时125+

25+>n n T n （3）∵n n n n n n

n a n c 2)1(3)1(311?-+?-+=--λλ ∴]2)1(3[]2)1(3[1111n n n n n n n n c c ?-+-?-+=--+++λλ

02)1(3321>?--?=-n n n λ ∴1123)1(--??? ??

当n=2k －1，k=1,2,3,……时，①式即为2223-??

? ??

依题意，②式对k=1,2,3……都成立，∴1<λ 当n=2k,k=1,2,3,……时，①式即为1223-??

? ??->k λ ③ 依题意，③式对k=1,2,3……都成立， ∴23->λ ∴12

3<<-λ，又0≠λ ∴存在整数1-=λ，使得对任意*N n ∈有n n c c >+1.

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