2007级《高等数学》()期中试题参考答案

中国石油大学(北京)2007─ 2008学年第一学期

《高等数学》(Ⅰ) 期中考试试题参考答案( 2007.12.1.)

题号 得分 一 20 二 15 三 20 四 9 五 8 六 8 七 12 八 8 总分 100 一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

1.函数f(x)在区间I上无界的定义是2.设f(x)?limx?x2n?11?x2n?M?0,?x1?I,有f(x1)?M．

n??,则其间断点及其类别是x??1,且均是跳跃间断点,即第一类3a2．

f(x)?f(a)?(a)?a(a?0为常数),则lim3.设f???lnx?lnax?a4. 曲线y?11?ex．

1?x2的垂直渐近线有 3 条？，其方程是x?0,x??1,x?1?y?dy??x?0?x0． ．

5.设函数y?f(x)在点x0处可导,且f?(x0)?0,则lim二、计算下列极限（本题共3小题，每小题5分，满分15分）

1.设f(x)为[?1，1]连续函数,且恒不为0,求limx?01?f(x)sinx?1 ．x3?1【解】原式?limx?0(exln3f(x)sinx1f(x)sinx ?limx?0xln3?1)(1?f(x)sinx?1)2?1sinxf(0)．◆ limf(x)lim?x?0x?02ln3x2ln3【注】不可以用L‘H法则求lim1x?0f(x)sinx． x3?1?sinx?2.lim??x?0?x?x2．

lnsinxxx2【解】原式?ex?0limln, 又 limx?0xxcosx?sinxsinx?sinxxx2?lim 2xx?0x2第 1 页 （共 6 页）

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?limxcosx?sinx2x3?16x?0?limcosx?xsinx?cosx6x2x?0?lim?x?0sinx1??6x6,

?原式?e12．◆

3.lim(n!)n．

n??112【解】?1?(n!)n?(nn)n?n1221n?nn， 且limnn??n?1，

故由夹逼定理有：lim(n!)nn???1．◆

lnn!ln1?ln2?...?lnnn2n21【注】第二法：

(n!)n?2?en2?e?nlnnn2?

?0?nln1n2ln1?ln2?...?lnnlnnn

lnnlnx?0且lim?0 ?lim nxn??x???故由夹逼TH,lim1lnn!n2n???0

lnn!n2?lim(n!)nn??2?en??lim?e0?1

lnn不可以用L‘H法则求lim! n??n三、求解下列各题（本题共4小题，每小题5分，满分20 分）

1.设隐函数y?y(x)由方程ex2?y2?xy2?0确定,试求其一阶导数． (2x?dydy)?y2?2xy?0 dxdx【解】方程两端关于x求导,得:ex?y?dyy2?2xex?y．◆ ?x2?ydxe?2xy2?d2y?x?1?t2?e2. 设函数y?f(x)由参数方程?． 确定,求22dx??y?t1?t?arcsintdy2t21dx?t2【解】? ?1?t???21?t2， ?222dtdt21?t1?t1?t第 2 页 （共 6 页）

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dy?dydx?dt2(t2?1)dx?t?2(t?1t)， dt?d2yddyddy11?111?t2dx2?dx(dx)?dt(dx)?dx?2(t?t)t?dx?2(1?t2)??tdtdt??2t3(t2?1)1?t2．◆

3.讨论曲线f(x)?xx(x?0)的凹凸性及拐点.

【解】?f?(x)?xx(1?lnx),

f??(x)?xx[(1?lnx)2?1x],x?D:(0,??)

?在D:(0,??)上恒有f??(x)?0,?f(x)为凹曲线,且无拐点.◆

4.设f(x)是有连续的二阶导数的偶函数，且f??(x)?0，试说明x?0为f(x)的极值点. 【解法一】由题意?f?(x)为奇函数?f?(0)?0

?f??(x)?0?f??(0)?0,故由极值第二判定定理知x?0点是极值点.

【解法二】不妨f??(x)?0，由题意?f?(x)为奇函数?f?(0)?0

?在?(0,?)上f(x)具有Lagrange型余项的Taylor公式为:f(x)?f(0)?f??(?)22!x,?介于x,0之间，

又f??(x)?0,即f??(?)?0?f(x)?f(0)x??(0,?)成立,故x?0点是极小值点．◆ 【解法三】不妨f??(x)?0，由题意?f?(x)为奇函数?f?(0)?0

由f??(0)?limf?(x)?f?(0)x?0x?limf?(x)?0x?0 x????0,当x??o(0,?),f?(x)与x同号， 即f?(x)???0,x?(??,0)??0,x?(0,?),

?x?0点是极小值点.

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四、（本题满分9分）设f(x)二阶导数存在,且f(0)?0，f??(0)?5，定义函数

?f(x)?,x?0，

F(x)??x??f?(0),x?0试讨论函数F(x)的连续性与可微性．

【解】①由f(x)的二阶可导性?f?(x),f(x)均是连续函数.

?当x?0时,F(x)是连续的,现只需说明F(x)在x?0点是连续的即可.?limF(x)?limx?0x?0f(x)f?(x)?lim?f?(0)?F(0),?F(x)在x?0处连续; x?0x1②当x?0时,F?(x)?xf?(x)?f(x). 2xf(x)?f?(0)F(x)?F(0)f(x)?xf?(0)x 当x?0时,F?(0)?lim?lim?lim2x?0x?0x?0x?0xxL?Hlimx?0f?(x)?f?(0)1f?(x)?f?(0)15DElim?f??(0)?,

2x2x?0x22可见F(x)是可微函数．◆

?F?(x)存在,f??(x)f?(x)?f?(0)， ?lim?? x?0x?01xsinx3?五、（本题满分8分）设0?x?，证明不等式 ?cosx．

x2?【证】显然当x?时，不等式成立．

2【注】不可用L?H法则求极限:lim故只需证明：当0?x??213时，有sinx?(cosx)?13?x?0

令f(x)?sinx?(cosx)23??x，0?x??24．

由于f?(x)?(cosx)?12?sinx(cosx)3?1 32f??(x)??(cosx)3?132sinx?sinx(cosx)3?134?sin3x(cosx)9?73?43?sinx(cosx)3?0， 97?f?(x)?,0?x??2?f?(x)?f?(0)?0,

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?f(x)?,0?x??2?f(x)?f(0)?0， 即当0?x??2时，sinx?(cosx)?13?x?0．◆

六、（本题满分8分）试讨论方程tanx?x?0在(?【解】令f(x)?tanx?x，由于

??，)内的实根个数．

22limx????2f(x)?lim(tanx?x)???，limf(x)?lim(tanx?x)???

???x???2x??2x??2故方程f(x)?0在(???2，)内存在实根， 又f?(x)?secx?1?022(x?0)，

?f(x)严格单增，

???f(x)单调地由??增加到??，表明方程f(x)?0在(?，)内存在惟一实根．◆

22七、（本题满分12分）设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且f(0)?f(1)?0,

lim1x?2f(x)?11?1.试证： ① 存在??(,1),使得f(?)??； 21(x?2)2② 存在??(0,?),使得f?(?)?f(?)?1??；

③ 存在?()?[0，1],在该邻域内有f(x)?1成立．

o121【证】①由题意f()?1,令F(x)?f(x)?x,

211111则F()?f()??1???0,22222F(1)?f(1)?1??1?0,

亦即f(?)??；

1于是由零点存在定理知:???(,1),有F(?)?0,2②令G(x)?(f(x)?x)?e?x,则:

G(x)在[0,?]上连续,在(0,?)内可导,且G(0)?G(?)?0于是由RolleTH知,???(0,?),有:G?(?)?[(f?(x)?1)e?x?(f(x)?x)e?x]x???[f?(?)?1?f(?)??]?e???0 ?e???0,?f?(?)?1?f(?)???0,即f?(?)?f(?)?1??；

③ 由limf(x)?1?1?0及极限的保号性知: 211x?(x?)22第 5 页 （共 6 页）

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o11???0(??),?x??(,?),有:22of(x)?1?0， 12(x?2) 即存在?(,?)?[0，1],在该邻域内成立f(x)?1．◆

八、应用题（本题满分8分）生物学家已发现了一个很好的数学模型来逼近青蛙等动物 跳跃时的轨迹．实际上这些轨迹是一个以起跳角度为参数的抛物线族

124.877x2y(x)?xtan??2vcos2?(0???90?)

这里x为它在跳跃过程中所处位置与起跳点的水平距离（m），y为它在跳跃过程中所处位置 的垂直高度（m），v为初始速度（m/s），?为起跳角度．

现一只青蛙起跳角度为45，起跳速度为4.8(m/s)，试求这只青蛙能跳的最大高度 ( 注： 中间过程勿作近似，最后结果可以近似)．

?【解】将v?4.8(m/s),??45代入抛物线方程得

?y(x)?xtan45?4.877x2(4.8)?cos4522?x?2?4.877(4.8)2x2

则青蛙跳跃的最大高度，即为y(x)的最大值． 由y?(x)?1?4?4.877(4.8)2x?0 ?驻点x0?1.2?4.8，又y??(x0)?0

4.877故该惟一的极大值点必为最大值点， 且最大值为：y(x0)?x0?2?4.877(4.8)2x02

1.21.2?4.84.877(1.2?4.8)21.2?4.82?(1.2)2?(4.8?2.4) ??2???224.8774.8774.8774.877(4.8)(4.877)?1.2?2.42.88(m/s)?(m/s)?0.591(m/s)．

4.8774.877可见，此时这只青蛙所能跳跃的最大高度为2.88(m/s)，即约为0.591(m/s)．◆◆◆

4.877第 6 页 （共 6 页）

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