新版高中数学人教A版选修1-2习题:第二章 推理与证明 2.1.2
更新时间:2024-03-15 04:36:01 阅读量: 综合文库 文档下载
借鉴借鉴家酷酷酷卡2.1.2 演绎推理
课时过关·能力提升
基础巩固
1下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行,同旁内角互补,若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数均超过50人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
D.在数列{a}中,a
n1=1,an -
≥2),由此归纳出数列{a
n}的通项公式 -解析B,D是归纳推理,C是类比推理,A是演绎推理. 答案A 2演绎推理中的“一般性命题”包括( )
①已有的事实;②定义、定理、公理等;③个人积累的经验. A.①② B.①③
C.②③
D.①②③
答案A 3指数函数y=ax(a>1)是R上的增函数,y=2|x|是指数函数,所以y=2|x|是R上的增函数,以上推理(A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误
D.正确
解析此推理形式正确,但是函数y=2|x|不是指数函数,所以小前提错误.故选B. 答案B 4在空间中,设α,β,γ为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:
二位分为Greg )
借鉴借鉴家酷酷酷卡①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,l?α,则l∥β;④若α∩β=l,β∩γ=m,α∩γ=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数是( ) A.1 答案B B.2
C.3
D.4
5在推理“因为y=sin x在区
中 大前提是 小前提是 结论是
间 上是增函数 所以
解析大前提是“y=sin x在区间 上是增函数 ,
小前提是
且 , .
且
结论为“si
答案y=sin x在区间 上是增函数 6求函数y - 的定义域时 第一步推理中大前提是 有意义 即 ≥0,小前提
是 - 有意义 结论是
解析由三段论的形式可知,结论是log2x-2≥0. 答案log2x-2≥0
7推理过程“大前提: ,小前提:四边形ABCD是矩形,结论:四边形ABCD的对角线相等.”应补充的大前提是 .
解析由“三段论”的一般模式,可知应补充的大前提是矩形的对角线相等. 答案矩形的对角线相等
8已知sin α
- -
其中 为第二象限角 则 的值为
- - -
解析由sinα+cosα 得m(m-8)=0,故m=0或m=8.
2
2
∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0.
二位分为Greg 借鉴借鉴家酷酷酷卡∴m=8(m=0舍去). 答案8 9试将下列演绎推理写成三段论的形式:
(1)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热; (2)向量是既有大小又有方向的量,故零向量也有大小和方向. 解(1)大前提:所有导体通电时发热;
小前提:铁是导体; 结论:铁通电时发热.
(2)大前提:向量是既有大小又有方向的量; 小前提:零向量是向量; 结论:零向量也有大小和方向.
10在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.
(1)证明数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)证明不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立. (1)证明因为an+1=4an-3n+1,
所以an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*.
∵a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列. (2)解由(1)可知an-n=4n-1,于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n.
-
所以数列{an}的前n项和Sn
(3)证明对任意的n∈N*,
Sn+1-4Sn
二位分为Greg 借鉴借鉴家酷酷酷卡
=
≤0.
所以不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立.
能力提升
1“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理( )
A.小前提错误 B.结论错误 C.正确
D.大前提错误
解析因为9是3的3倍,所以某奇数是9的倍数,它一定是3的倍数.故选C. 答案C 2已知a>0,且函数f(x)
是R上的偶函数,则a的值等于( )
A.2
B
解析因为f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x)对x∈R恒成立,
-
-
即
所以 ·2x 整理,得 -
必有a 又因为a>0,所以a=1.故选D. 答案D ★3已知f(x)是定义在(0,+∞)内的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)<0.对任意正数a,b,若aD.bf(b) 解析构造函数F(x)=xf(x),则F'(x)=xf'(x)+f(x). 二位分为Greg ) 借鉴借鉴家酷酷酷卡由题设条件知F(x)=xf(x)在(0,+∞)内单调递减. 若aF(b),即af(a)>bf(b). 又f(x)是定义在(0,+∞)内的非负可导函数, 所以bf(a)>af(a)>bf(b)>af(b).故选B. 答案B 4补充下列三段论: (1)因为互为相反数的两个数的和为0,a与b互为相反数,且 ,所以b=8. (2)因为 ,e=2.718 28…是无限不循环小数,所以e是无理数. 答案(1)a=-8 (2)无限不循环小数是无理数 ★5设f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c是两两不相等的常数),则 的值是解析∵f'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b), ∴f'(a)=(a-b)(a-c),f'(b)=(b-a)(b-c),f'(c)=(c-a)(c-b), 答案0 6用三段论的形式写出下列演绎推理: (1)正整数是自然数,3是正整数,所以3是自然数; (2)菱形的对角线互相垂直,正方形是菱形,所以正方形的对角线互相垂直; (3)0.3 是有理数 分析解决本题的关键是要弄清大前提、小前提、结论三者之间的关系. 二位分为Greg 借鉴借鉴家酷酷酷卡解(1)大前提:正整数是自然数. 小前提:3是正整数. 结论:3是自然数. (2)大前提:每一个菱形的对角线都互相垂直. 小前提:正方形是菱形. 结论:正方形的对角线互相垂直. (3)大前提:所有的循环小数都是有理数. 小前提:0.3 是循环小数. 结论:0.3 是有理数. ★ 7设函数f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中实数a≠0. (1)若a>0,求函数y=f(x)的单调区间; (2)当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点,且g(x)存在最小值时,记g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域; (3)若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数,求a的取值范围. 分析第(1)问可利用导数来求单调区间;第(2)问可将只有一个公共点转化为方程有唯一根的问题;第(3)问可以利用第(1)问中的结论来求解. 解(1)∵f'(x)=3x2+2ax-a2= - 又a>0,∴当x<-a或x 时,f'(x)>0; 当-a ∴f(x)在(-∞,-a)和 内是增函数,在 - 内是减函数. (2)由题意,知x3+ax2-a2x+1=ax2-2x+1, 即x[x2-(a2-2)]=0只有一个根(含重根). ∴a2-2≤0,即 ≤a≤ 又a≠0,∴a∈[ ∪(0 又当a>0时,g(x)才存在最小值,∴a∈(0 二位分为Greg 借鉴借鉴家酷酷酷卡∵g(x)= - ∴h(a)=1 ∈(0 ∴h(a)的值域为 - - 解得a≥1; (3)当a>0时,f(x)在(-∞,-a)和 内是增函数,g(x)在 内是增函数.由题意,得 当a<0时,f(x)在 - 和(-a,+∞)内是增函数,g(x)在 - 内是增函数. 由题意,得 解得a≤-3. 综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞). 二位分为Greg
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