16年数学竞赛讲义学生版（全的）.docx2

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高等数学竞赛

辅导讲义《下册》

王福海

2016.9

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目录

第一讲 向量代数与空间解析几何---------------------------3 第二讲 多元函数微分学----------------------------------------11 第三讲 二重与三重积分----------------------------------------23 第四讲 曲线与曲面积分----------------------------------------37 第五讲 无穷级数------------------------------------------------- 53 竞赛真题及参考答案--------------------------------------------- 73

2

第一讲 向量代数与空间解析几何

一、主要结论：

?? (一). 向量的运算:设向量a?{x1,y1,z1},b?{x2,y2,z2}， ??? 则a?b?{x1?x2,y1?y2,z1?z2},?a?{?x1,?y1,?z1}.

(二). 向量的模、方向余弦 向 量 向量的大小（或长度） 的 模 ?若a?{x,y,z}，则 定义 记号 坐标表示 相关的概念和性质 ????AB?,??222??a?x?y?za?{x,y,z}则?a?,单位向量即是模为1的向量。 向量设向量与三坐标轴正向的的方向余弦 夹角为?、?、?，则cos?、cos?、cos?称为?向量a的方向余弦。 cos??cos? xx?y?z222?a cos? {cos?,cos?,cos?}cos? cos??yx?y?zzx?y?z222222 是恰与a方向相同的单位向量。 ?cos?? ?a?注：①?是一个单位向量，称之为向量a的单位化。

a?a??②??{cos?,cos?,cos?}，即将a单位化后即可得到向量a的方向余弦。 a????③由A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)确定的向量AB?{x2?x1,y2?y1,z2?z1}

3

(三) 数量积、向量积、混合积 定义 记号 坐标表示 备注 数量??积两向量a其数量,b，（内????积积为abcosa,b 点乘）?a?{x1,y1,z1},??a?b ?b?{x2,y2,z2}，则 ??a?b?x1x2?y1y2?z1z2 ??a?b ???a?b?0 / ??两向量a,b的向量积向量为一向量，其模等于 积????（absina,b，其外积??或方向垂直于a,b，且叉乘??）a,b与该向量成右手系 ?????a//b?a?b?0?i?yy1y2?kz1 z2 或??a?b ??a?b?x1x2x1y1z1?? x2y2z2????a?b=以a,b为邻边的平行四边行面积 混合积???向量a,b,c的混合???积定义成(a?b)?c x1???(a?b)?c?x2x3y1y2y3z1z2z3???(a?b)?c 其中a?{x1,y1,z1} ????a,b,c共面 ????(a?b)?c?0 ?b?{x2,y2,z2} ?c?{x3,y3,z3}

(四). 空间直线与平面方程

平面方程 1. 一般式方程 直线方程 1. 一般式方程（两平面交线） Ax?By?Cz?D?0 法矢量n??A,B,C? ??A1x?B1y?C1z?D1?0,平面?1 ??A2x?B2y?C2z?D2?0,平面?2直线的方向矢量为 ???s?n1?n2?A1A24

?i?jB1B2?kC1 C22. 平面的点法式方程 2. 标准式方程 A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 M(x0,y0,z0)为平面上已知点 ?n?{A,B,C}为法矢量 x?x0y?y0z?z0?? lmnM(x0,y0,z0)为直线上的已知点 ?s?{l,m,n}为直线的方向矢量 3. 截距式方程 3. 参数式方程 xyz???1 abca，b，c分别为平面在三坐标轴上的截距，即平面过三点（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c） ?x?x0?lt??y?y0?mt ?z?z?nt0?M(x0,y0,z0)为直线上的已知点 ?s?{l,m,n}为直线的方向矢量 注：①由平面?1:a1x?b1y?c1z?d1?0与平面?2:a2x?b2y?c2z?d2?0所确定的平面束方程为a1x?b1y?c1z?d1??(a2x?b2y?c2z?d2)?0。

②平面、直线间的位置关系及夹角由法向量和方向向量通过数量积或向量积确定。

(五). 距离 点M0(x0,y0,z0)到平面M0(x0,y0,z0)到直线L:x?x1y?y1z?z1??lmn?:Ax?By?Cz?D?0的距离为的距离为: d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222?i ?jy0?y1ml?m?n222?kz0?z1n ????????????M1M0?M1Pd???????M1Px0?x1l

5

设M1?x1,y1,z1?, M2?x2,y2,z2?，S1??m1,n1,p1?，S2??m2,n2,p2?，则

x?xy?y1z?z1x?x2y?y2z?z2两异面直线 L1：1? 与L2： 的距离 ???m1n1p1m2n2p2???????????S1?S2??M1M2?d?? ??S1?S2 (六).空间曲面与空间曲线方程: 1.空间曲面F?x,y,z??0：

（1）. 球面：(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?R

2222x2y2z2 （2）. 椭球面：2?2?2?1

abcy2x2 （3）. 柱面：①圆柱面：x?y?R②抛物柱面：y?x③双曲柱面：2?2?1

ab22222222 （4）.锥面：①z?a(x?y)②z?1?222x2?y2 2 （5）.抛物面：①z?x?y②z?1?x?y （6）旋转曲面: 2. 空间曲线的一般：???F?x,y,z??0

??G?x,y,z??0 例如，方程组表示表示圆柱面与平面的交线 C。

3、空间曲线的参数方程：将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:

例如， 圆柱螺旋线

6

二、重点例题:

例1.求点（1,1,1）到直线解：

xyz??的距离. 12?1x?2y?1z?3?????=0??例2（10年全国预赛题）求L1： 与L2：之间的距离.

??=04?2?1解：

7

例3.求外切于球面Σ:?x?1???y?2???z?2??36与?:x2?y2?z2?36的圆柱面. 解：

例4.设P为椭球面S:x?y?z?yz?1上的动点，若S在点P处的切平面与xoy222222平面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲线积分I????(x?3)y?2z4?y?z?4yz22其中?dS，

是椭球面S位于曲线C上方的部分.（10考研）

解：

8

例5：已知曲面4x?4y?z?1与平面x?y?z?0的交线在xoy坐标面的投影为一椭圆，求此椭圆面积。

9

222例6.设直线L过A(1,0,0)，B(0,1,1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面?，?与平面

z?0,z?2所围成的立体为?，(I)求曲面?的方程，(II)求?的形心坐标。（13考研）

解：

例7.求直线L:x?12?y?1?1?z?1解：

绕 l：x?1?1z1?y1??2旋转产生的圆锥面Σ的方程.

10

例8、若锥面顶点为，与面的交线为，求此锥面方程。

解：

练习1：（2016预赛）求以三个正半轴为母线的半圆锥面方程。（答案：

11

yz?zx?xy?0） 第二讲 多元函数微分学

§1 二元函数的极限、连续、全微分、偏导数的概念问题

一、主要结论：

（一）二元函数的极限：

x?x0y?y0limf(x,y)?A?点Q(x,y)以任何方式，任何方向，任何路径趋向P(x0,y0)时，均有

f(x,y)?A,(x?x0,y?y0)

注意：倘若沿两条不同的路径，limf(x,y)不相等，则可断定limf(x,y)不存在，这是

x?x0y?y0x?x0y?y0证明多元函数极限不存在的有效方法。 （二）二元函数连续性的定义：

定义1如果二元函数z?f(x,y)满足如下条件：limf(x,y)?f(x0,y0)

x?x0y?y0则称函数z?f(x,y)在点P(x0,y0)连续。 （三）偏导数定义：

设z?f(x,y)在P(x0,y0)上的某邻域内有定义， 如果极限

?xzf(x0??x,y0)?f(x0,y0)?lim

?x?0?x?x?0?xlim存在，则该极限就称为z?f(x,y)在P(x0,y0)处对变量x的偏导数，记为

即

?f(x0,y0)或fx?(x0,y0)

?xf(x0??x,y0)?f(x0,y0)fx?(x0,y0)?lim

?x?0?x?z?x(x0,y0),同样可定义fy?(x0,y0)?lim（四）全微分定义：

?x?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)

?y设函数z?f(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域内有定义，若：?z?A?x?B?y?0(?)， 其中??(?x)2?(?y)2,0(?)为?x?0,?y?0时?的高阶无穷小，则称函数f(x,y)；

当z?f(x,y)在

在P(x0,y0)处可微；A?x?B?y称为f(x,y)在P(x0,y0)处的全微分

P(x0,y0)可微时，A?

?z?z?z?z?fx?(x,y),A??fy?(x,y)，于是 dz?dx?dy。

?x?y?x?y12

（五）连续、可偏导、可微之间的关系及可微的判别方法：

1. 二元函数z?f(x,y)连续，可导（两个偏导数存在）与可微三者的关系如下：

2.

若

z?f(x,y)在

(x0,y0)可偏导，则在(x0,y0)处可微

?z?fx?(x0y,?)fy?xy()0x?0?y,0?lim? 0??0???(x,y)及 3. （求偏导数与次序无关的定理）若z?f(x,y)的两个混合偏导数fxy??(x,y)在区域D内连续，则有fxy??(x,y)?fyx??(x,y) fyx二、重点题型

例1已知f(x,y)可微，

?f???f(x,y),f(0,)?1 ?x21

,

lim??→∞

解：

??(0,??+??)??(0,??)

??

=??cot??,求f(x,y).（04电子科大高等数学竞赛）

13

例2(1)设??(??,??)在（0,0）的邻域有定义，lim(??,??)→(0,0)证明: f(x,y)在（0,0）可微. (2)设f(x,y)在(0,0)连续，lim??→0解：

例3(1)设f(x,y)在(0,0)连续，????????→0

??(??,??)?2??+3?? ??2+??2??→0??(??,??)

22

??→0??+??

??(??,??)???(0,0) ??2+??2=0,

存在，证明: f(x,y)在(0,0)可微。

=0,则????′(0,0)+????′ 0,0 =_____

(2)设??(??,??)是连续函数,f(1,1)=1, ?????????→0解：

14

?? ??+???,??+??? ??? ??,?? + 2??+?? ???+(6??+??)???

(???)2+(???)2

???→0

存在，求f(x,y)的极值。

§2 多元函数微分法

一、主要结论

1. 求偏导数时的注意事项:①求偏导数时分清常量、变量 . ②若z?f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数存在，则有

?f(x,y)?x(x0,y0)?df(x,y0)dxx?x0,?f(x,y)?y(x0,y0)?df(x0,y)dyy?y0

2. 全微分公式:若z?f(x,y)可微，则dz? 3. 隐函数存在定理及求导公式

?z?zdx?dy ?x?y设F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)?0,Fz?(x0,y0,z0)?0，则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个

单值连续且具有连续偏导数的函数z?f(x,y)，它满足条件z0?f(x0,y0)，并有

Fy?F??z?z??x,?? ?xFz??yFz? 4. 由方程组确定的隐函数的偏导数的求法：先对方程组两边求偏导，再用加减消元法求解。

5. 复合函数求导法则

设u??(x,y),v??(x,y)在点(x,y)处有连续偏导数，而z?f(u,v)在相应点(u,v)有连续偏导数，则复合函数z?f[?(x,y),?(x,y)]在点(x,y)处有连续偏导数，且

??z?z?u?z?v???????x?u?x?v?x??z?z?u?z?v ????????y?u?y?v?y注：在用上述求导法则计算时，常用到如下记号：

?f(u,v)?f(u,v)?2f(u,v)?2f(u,v)?2f(u,v)?3f(u,v)?,?;?,??f1?,?f2?;?f11?f12?f22?f122222?u?v?u?u?v?v?u?v等。

15

二、重点题型

例1.设f(x)在?1,???上有连续的二阶导数，f?1??0,f??1??1，且二元函数

z??x?y22??2z?2zf?x?y?满足2?2?0, 求f(x)在?1,???上的最大值。

?x?y22

16

例2关于极坐标、球坐标的应用：

??2+??2≠0（1）证明：f(x,y)= 在(0,0)连续、可偏导、但不可微；

22

0 ??+??=0

??2+??2??2??

解：

（2）设二元函数f?x,y?有一阶连续的偏导数，且f?0,1??f?1,0?。证明：单位圆周上至少存在两点满足方程y解：

??f?x,y??xf?x,y??0。 ?x?yfx?fy?fz?(3) 设??=?? ??,??,?? 可微，??,证明：??仅为r的函数，其中r= ??2+??2+??2

xyz解：

17

?2u?2u例3. 设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，2?2且u(x,2x)?x，

?x?y??(x,2x). ?(x,2x)?x2，求u11u1解：

??2z?2z1?z?2z?u?x?ay?0化为例4. 设变换?把方程2?y2??0，求a.

?u?v?x?y2?y??v?x?2y解：

18

§3 偏导数的几何应用，方向导数与梯度，多元函数的极值

一、偏导数的几何应用

?x?x(t)?? 1. 空间曲线?y?y(t)在曲线上任一点的切向量为：s?{x?(t),y?(t),z?(t)}。

?z?z(t)? 2. 曲面F(x,y,z)?0在曲面上任一点的法向量为：n?{Fx?,Fy?,Fz?}。 二、方向导数与梯度

?? 1. 若u?f(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，则f(x,y,z)在该点沿任意方向l的方?z向导数存在且

?l的方向余弦。 2. 梯度

①定义：称向量gradu?{M0?f?f?f?[cos??cos??cos?]?x?y?zM0?。其中cos?,cos?,cos?为l?f?f?f,,}为函数z?f(x,y,z)的梯度。 ?x?y?z②梯度的含义：方向是函数u?f(x,y,z)取得最大方向导数的方向；

大小（即模）为u?f(x,y,z)的最大方向导数值。

三、无条件极值

定义1：设函数z?f(x,y)在P(x0,y0)点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于

P(x0,y0)点的任一点Q(x,y)，恒有f(x,y)?f(x0,y0)（或f(x,y)?f(x0,y0)）

则称f(x0,y0)为f(x,y)的极小值（或极大值），极大值与极小值统称为极值。 定义2：方程组??fx?(x,y)?0的解，称为函数z?f(x,y)的驻点。

??fy(x,y)?0注：P(x0,y0)为函数f(x,y)的驻点?P(x0,y0)为f(x,y)的极值点。

定理1（取极值的必要条件）：设z?f(x,y)在点P(x0,y0)的一阶偏导数存在，且P(x0,y0)?fx?(x0,y0)?0是z?f(x,y)的极值点，则?

?f(x,y)?0?y0019

定理2（函数取极值的充分条件）设z?f(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域内有连续的二阶偏导数，且fx?(x0,y0)?0,??(x0,y0)]2?fx??(x0,y0)?fy??(x0,y0)?0 fy?(x0,y0)?0,[fxy22则 P(x0,y0)是z?f(x,y)的一个极值点。

?(x0,y0)?0） 1°若fx??，则P(x0,y0)为极小点。 2(x0,y0)?0（或f?y2?(x0,y0)?0） 2°若fx??，则P(x0,y0)为极大点。 2(x0,y0)?0（或f?y2四、条件极值、拉格朗日日乘数法

1. u?f(x,y,z)在条件?(x,y,z)=0下的极值的求法：令F?f(x,y,z)???(x,y,z)，

?Fx??0?F??0?y由?，解得驻点(x0,y0,z0)，再由题意判别是极大还是极小值点。 ?Fz??0????0 2. u?f(x,y,z)在条件?1(x,y,z)?0及条件?2(x,y,z)?0下的极值的求法：

令F?f(x,y,z)???1(x,y,z)???2(x,y,z)，以下同1。 五、重点题型

xy例1.设u=F(x, y, z)有连续偏导数. 证明:曲面F(z,yz,x)?0的全体切平面过一个定点.

解：

20

例2、设u?F(x,y,z)在?(x,y,z)?0及?(x,y,z)?0的条件下，于P0(x0,y0,z0)处取极值ｍ，证明三曲面F(x,y,z)?m，?(x,y,z)?0，?(x,y,z)?0在点p0处的三条法线共面。 解：

t),y?y(t)（0?t?1）是区域D内的光滑曲线，f(x,y)在D内有连续例3、设L:x?x(L的切线方向导的偏导数，若P0?L是f(x,y)在L上的极值点，证明：f(x,y)在点P0沿

数为零.（01年哈工大高等数学竞赛试卷）

解：

21

例4（07考研）求函数f(x,y)?x?2y?xy在区域D:x?y?4,y?0上的最大和最小值。 解：

222222

例5设u?f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz,x?y?z?5r2222(x?0,y?0,z?0)。

a?b?c5)。 5（1）求u的最大值； （2）证明：对?正数a、b、c，abc?27(解：

22

3例6 设函数

最大增长率18，求a,b,c. 解：

例7、求?? ??,??,??

. 若在处沿z轴正方向有

=????2+????2+????2+2??????+2??????+2??????在条件

??2+??2+??2=1下的最大值。

解：

23

第三讲 二重与三重积分

§1 二重积分

一、主要结论：

（一）二重积分的几何与物理意义： 1、几何意义：

??f(x,y)dxdy=以

DDD为底，以z?f(x,y)为高的曲顶柱体的体积

?f(x,y)?0?，特别，??dxdy=区域D的面积。

2、物理意义：当f(x,y)?0时（二）二重积分的性质 1、2、

??f(x,y)dxdy=以f(x,y)为面密度的区域D的质量。

D??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?，k为常数。

DD??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d?

DDD3、

??f(x,y)d?????f(x,y)d?，其中D为D的构成子域且任两个子域没有重迭

imDi?1Di部分。(i?1,2?,m)。 4、

??d??A，其中A为D的面积。

D5、（比较定理）若在D上恒有f(x,y)?g(x,y)则

??f(x,y)d????g(x,y)d?

DD6、（估值定理）设M，m分别为f(x,y)在闭域D上的最大与最小值，A为D的面积，则 mA???Df(x,y)?d?。A M7、（中值定理）若f(x,y)在闭域D上连续，A为D的面积，则在D上至少?一点(?,?)，使

24

d???f(x,y)?D Af?(?,)（三）二重积分的计算方法 直角坐标系 先对y积分再对x积分 先对x积分再对y积分 先对r积分再对θ积分 若D由x?a,x?b,y?y1(x),y?y2(x)所围成（见右图），即 a?x?b? D:?y(x)?y?y(x)?12则 ??Df(x,y)d????f(x,y)dxdy??dx?Daby2(x)y1(x)f(x,y)dy 直角坐标系 若D由y?c,y?d,x?x1(y),x?x2(y)所围成（见右图），即 c?y?d?D:? ?x1(y)?x?x2(y)则 ??Df(x,y)d????f(x,y)dxdy??dy?Dcdx2(y)x1(y)f(x,y)dx 极坐标系 若D由???1,???2,r?r1(?),r?r2(?)所围成（见右图），即 ??????2?x?rcos? D:?1,?r(?)?r?r(?)y?rsin???12则 ?2r2(?)??Df(x,y)d???d???1r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr 22注意：当被积函数或积分区域的边界曲线中出现x?y时，需考虑用极坐标，有些时候当用直角坐标积不出来时必需改用极坐标。

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二、重点题型:

1. 交换与选择积分次序问题：

?例1、交换积分解：

例2、解：

??d??2?42cos?0f?rcos?,rsin??rdr 的积分次序。

?2?0d?????2?1?erdr=______________。

2?2例3（04考研）设f(x)连续，F(t)?（A）2f(2) 解：

例4.计算解：

（B）f (2)

?t1dy?f(x)dx，则F?(2)=。

yt（C）-f (2) （D）0

?xb?xa0lnx1dx,a,b?0 .(1992北京竞赛)

26

例4?、求 0sin(ln)??

1

1??b???a

ln??

d??

解：

27

2. 利用对称性计算的问题：

例5、计算解：

??y[1?xeD122(x?y)2]dxdy，其中D由y=x、y=-1、x=1围成。

例6.设f(x)为[0,1]上的正值连续函数, a与b为任意常数,区域D={(x,y)|0≤x,y≤1,则

??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)dxdy= _________________

解：

例7、设

在

连续，

，区域D:

，则有

解：

28

3. 分段函数及带有绝对值的积分问题：

?x2?1例8（07考研）设f(x,y)???x2?y2?为x?y?2。 解：

例9计算解：

例10解：

x?y?11?x?y?2，求

??f(x,y)dxdyD，其中D

??cos(x?y)dxdy，其中D为：0?x??,0?y??

D??????????min(x,y)e?(x2?y2)dxdy。

29

??=?? ??,?? ?? ??,??

4.利用坐标变换公式：令 ,??(??,??)= = ????

????????,????=?? ??,??

????

????????????

????????

≠0,则

?? ??,?? ????????= ?? ?? ??,?? ,??(??,??) ??(??,??) ????????

??

??′

?????

??+??例11、设D由x轴、y轴、x+y=2围成，求 ????解：

????????。

例12（首届竞赛题）设D由x+y=1,x=0,y=0围成，求 ??解：

30

(??+??)????（1+） 1??????????????????

5.利用极坐标计算：

例13 设??= ??,?? 1≤??2+??2≤4,??≥0,??≥0 ,求 ??????????(?? ??2+??2)

??+??

????????

解：

例14、设连续，，则解：

例15(10考研)计算二重积分I???r2sin?1?r2cos2?drd?, D0?r?sec?,0????4

解：

31

其中D；

例16（97）设f(t)在[0,??]上连续，f(t)?e4?t?22x?y2?4t2??f(12求f(t)。 x?y2)dxdy，

2解：

6.参数方程下的二重积分： 例17、设区域D由 解：

32

2y及轴围成，求??dxdy

D§2 三重积分

一、主要结论：

（一）物理意义与几何意义： 当f(x,y,z)?0时,???f(x,y,z)dv=以?f(x,y,z)为密度的空间体?的质量,特别???dv??的体积。 ?（二）积分方法： 直角坐先z标后系 xy 下 直角坐标系下 ?z(x,y)?z1?z2(x,y)?:?1(x,y)?D????f(x,y,z)dv???dxdy??Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz 设空间区域?介于平面z?c与z?d之间，过z轴上区间[c,d]截 面 法 中任一点z作垂直于z轴的平面，截得平面区域Dz（见图），则 ???f(x,y,z)dv???dcdz??f(x,y,z)dxdy Dz （1）柱坐标与直角坐标的关系 ?x?rcos???y?rsin? ?z?z?体积元素dv?rdrd?dz 柱（2）设区域?在柱坐标系中表示为 坐?z1(r,?)?z?z2(r,?)标 ??:?r1(?)?r?r2(?) ???1????2f(x,y,z)dV=?d???1?2r2(?)r1(?) 则????rdr?z2(r,?)z1(r,?)f(rcos?,rsin?,z)dz （1）球坐标与直角坐标的关系 球坐标 ?x?rsin?cos?,r?0??y?rsin?sin?,0???2? ?z?rcos?0?????（2）设区域?在球坐标系中表示为 33

?r1(?,?)?r?r2(?,?)??:??1(?)????2(?) ??1????2?则???f(x,y,z)dV ???d???1?2?2(?)?1(?)d??r2(?,?)r1(?,?)f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr 二、重点题型： 例1、设解：

例2、设??：??2+??2+??2≤1,求 ??2????。 ??解：

??2

??2

??2

由围成，求

34

??3??? ????????+(2??3???)????????+例3（13年预赛题）设S为一外侧光滑闭曲面，I= ??(3??3???)????????,试确定S使I最小，并求I的最小值 解：

例4将均匀的抛物体Ω:??2+??2≤??≤1放在水平桌面上，证明：当形体处于稳定平衡时，它的轴线与桌面夹角??=???????????? 53

解：

35

例5设一球面的方程为x?y?(z?1)?4，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体?的体积. (02电子科大高等数学竞赛试题) 解：

222

例6（15考研）设

是由平面

与三个坐标平面所围成的空间区域，则

解：

36

例7（第二届预赛15分）设L是过原点，方向向量为

222 ??,?,??（其中?2??2??2?1）

的直线，均匀椭球x?y?z?1 （其中0?c?b?a，密度为1） 绕L旋转。

222abc(1)求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向??,?,??的最大值和最小值。 解：

37

练习1：已知f?0??0,f??0??1,?:x2?y2?z2?2tz，求ilm?t?01t5????f?x2?y2z?2dV?

练习2：证明

3?????3x?2y?2z?5dV?3?,?:x2?y2?z2?1 2?

38

第四讲 曲线与曲面积分

§1 对孤长的曲线积分（也称为第一型曲线积分）

一、物理含义及主要性质：

1、物理意义：当f(x,y)?0时，特别：2、

?Lf(x,y)ds表示以??f(x,y)为密度的L的质量。

?Lds?L的长度。

f(x,y)dx即对孤长的曲线积分与路径方向无关。

?ABf(x,y)dx??BA3、 若L?L1?L2，则

?Lf(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds

L1L2二、对孤长的曲线积分的计算方法：

例1.计算积分I=

例2、已知

算曲线积分

,

，曲线L为

从B到A，计

?Lydl,其中L:(x2?y2)2?a2(x2?y2),a>0 .

?x2?y2?z2?R2例3、设L为：?,则?L(y?y2)ds=————。

?x?y?z?0

39

§2 对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）

一、主要内容：

（一）物理含义及主要性质：

1、物理意义：力F?P(x,y)i?Q(x,y)j将质点M从A沿L移到B点作的功 W=

2、主要性质： ①②

图形1

图形2

????LP(x,y)dx?Q(x,y)dy

???ABP(x,y)dx?Q(x,y)dy????P(x,y)dx?Q(x,y)dy

BA?AB??????ACCB（见图1）

（二）格林公式及对坐标的曲线积分与路经无关的条件

1、定理1：（格林定理）设函数P(x,y),Q(x,y)以及它们的一阶偏导数在闭域D上连

续，则有公式：

??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy，其中L是域D的边界曲线，L是按正????L?x?y?D?向取定的（所谓L的正向是指有人沿L的某方向前进时，区域D始终在他左手一边）。

应用格林定理时易出的差错：①忽视P(x,y),Q(x,y)在闭域D上一阶偏导数的连续性；②忘记曲线L是封闭的，并且是取正向。

2、曲线积分与路径无关的条件：

①定义：若对D内任意两条以A为起点，以B为终点的曲线L1、L2，均有

?L1P(x,y)dx?Q(x,y)dy??P(x,y)dx?Q(x,y)dy，则称积分在D内与路径无关，而只

L2与起点和终点有关。（见图2）

注：若曲线积分与路径无关，则可选取好的积分路径使之计算简单。 ②曲线积分与路径无关的条件：

40

定理2：设P(x,y),Q(x,y在)单连通区域D内有一阶连续偏导数，则

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy与路径无关

??Q?P??x?y

???CP(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，C为D内任一简单闭曲线 ?P(x,y)dx?Q(x,y)dy为u(x,y)的全微分u??(x,y)(x0,y0)Pdx?Qdy(x,y)(x0,y0)

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy=0是全微分方程且通解为：?Pdx?Qdy?C

?P,Q?为u?u(x,y)的梯度且u? ????

??(x,y)(x0,y0)Pdx?Qdy ????

1,1

Pd??+Qd??= ??1,??1 du=u ??1,??1 ?u(??0,??0) ?du=Pd??+Qd??时， ??0,

??0 0,0

二、对坐标的曲线积分的计算方法：

（一）直接计算

例1、在过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中，求一条曲线L，使得沿该曲线从0到A的积分解：

41

?(1?y)dx?(2x?y)dy最小。

L3（二）利用格林公式计算。 例2、试分别就下列情况求 ??

(1)

(2) (3) 解：

???????????????2+??2 L为不含（0,0）的简单正向闭曲线； L为包含（0,0）在内的简单正向闭曲线； L：??=3 1?

??24

由（0，?2）到（0,2）

42

例3.（13年预赛题） 设????(??)= ??解：

43

?????????????(??2+??2)??,其中C：??2+????+??2=??2的正向，(α为常数)，求lim??→+∞????(??)

（三）对坐标的曲线积分与路径无关的判别与应用： 例4、求 (1,1,1)解：

例5、设C为??2+??2+????=1的正向，求 ????????(??????+??????) 解：

例6、设位于点（0,1）处的质点A对质点M引力大小为??2，(k>0为常数，??为A与M之间的距离)，质点M沿??= 2?????2自B(2,0)运动到O(0,0)，求质点A对质点M所做的功 解：

??

(1,1, 3)????????+????????+????????

1+??2??2??2 44

例7.设函数f(x)在(?∞,+∞)内具有连续导数,求积分

?1?y2f(xy)yCdx?xy2[y2f(xy)?1]dy,其中C

是从点A(3,2∕3)到点B(1,2)的直线段. (1994北京竞赛)

例8、设??(??)有一阶连续导数，在围绕原点的任一分段光滑闭曲线C上， ??值恒为同一常数，求??(??) 解：

45

??(??)????+2????????

2??2+??4的

例9.设函数Q(x, y)在xOy平面上具有连续一阶骗导数,曲线积分无关,并且对任意的t恒有天津) 解：

?L2xydx?Q(x,y)dy与路径

?(t,1)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy,求Q(x, y). (2001

例10（06考研）设在上半平面D内f(x,y)具有一阶连续偏导数，且对?t?0，

f(tx,ty)?t?2f(x,y)，证明：对D内任一分段光滑的有向简单闭曲线L，

??yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0。

L解：

46

§3 第一型曲面积分（对面积的曲面积分）

一、物理含义：

当f(x,y,z)?0时,

???f(x,y,z)ds=曲面?以??f(x,y,z)为面密度的质量,特别

???ds??的面积。

二、计算方法： 例1 .设S为椭球面x2?2y22?z2?1的上半部分,点P(x,y,z)∈S,π为S在点P处的切平面,

ρ(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面π的距离,求解：

??S?(x,y,z)zdS. (2005天津竞赛)

47

例2.设曲面Σ:|x|+|y|+|z|=1,则解：

???(x?y)dS=. (07考研)

?例3、设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足??=?(??)?

2(??2+??2)?(??)

(长

度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减小的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），

求高为130厘米的雪堆全部融化需要的时间。 解：

48

§4 第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）

一、物理含义：设不可压缩流体的流速U?P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)?，则其单位时间内流过曲面Σ指定侧的流量为：?????性质：①

??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy

?????????②

??????

?1??2?1?2??二、两类曲面积分的关系：

???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcosr)ds，

?其中cos?,cos?,cosr为曲面Σ在P(x,y,z)点处的法线的方向余弦。 三、计算方法：1、利用奥高公式：

若P，Q，R在闭曲面Σ所围成的空间域Ω中有连续的一阶偏导数，则

zQdzd?x??Pdyd??Rdx?dy(?????P?Q?R??)dxdydz， ?x?y?z?叫做A??P,Q,R?的散度。

??P?Q?R??其中Σ取外侧，divA??x?y?z2、通过投影化为二重积分

I????Pdydz???Qdzdx???Rdxdy

??DzxDxy????P(x(y,z),y,z)dydz???Q(x,y(z,x),z)dzdx???R(x,y,z(x,y))dxdy，“?”

Dyz的确定：

若?的法失量n与x轴的夹角（n＾x）为锐角，即前侧，则右边第一个积分前取“+”，否则取“-”；

若?的法失量n与y轴的夹角（n＾y）为锐角，即右侧，则右边第二个积分前取“+”，否则取“-”；

若?的法失量n与z轴的夹角（n＾z）为锐角，即上侧，则右边第三个积分前取“+”，否则取“-”；

3、化为第一型曲面积分再计算。

49

?????????例1、求I???z?y?12，由x(8y?1)dydz?2(1?y)dzdx?4yzdxdy??????x?0?(1?y?3)绕

y轴旋转一周形成，法向量与y轴正向的夹角大于解：

?。（2016河北省竞赛题） 2例2设f(x)具有一阶连续导数，外侧闭合曲面S由??= ??2+??2 , ??2+??2+??2=1, ??2+??2+??2=4 组成，求 ??3????????+ ??()+??3 ????????+ ??()+??3 ???????? ??

??

??

??

??

1

??

1

??

解：

50

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