考研高数--洛必达法则及函数的连续性

洛必达法则及函数的连续性

一、洛必达法则

Ａ、洛必达法则使用条件

1、下列各题计算过程中正确无误的是（ ）

???lnnlnn1（A）数列极限lim ?lim?lim?0n??nn??n???nn2sin?x?cos?x??sin?x（B）lim ?lim?lim?02x?1x?1?13x?2x?16x?2x61112xsin2xsin?cosx不存在 （C）limx?limxx?0sin?0xxcosxx?sinx1?cosx（D）lim? lim??x?0?0x?sinxx1?cosx

用洛必达法则应注意的事项： 0?或型的未定式，才可能用法则，一次利用法则后得到的式子只0?0?要是或，则可一直用下去 0?（1）只有（2）每用完一次法则，要将式子整理化简 （3）为简化运算，经常将法则与等价无穷小结合使用 （4）limf?(x)f(x)不存在（非?型） lim不存在 x?ag(x)g?(x)x?a（5）当x??时，极限式中含有sinx,cosx不能用法则 11（6）当x?0时，极限式中含有sin,cos不能用法则 xx

1x?3sinxx 2、求lim 3、求limx?0(arctanx)2x??3x?2cosxx3sin

1

B、未定式的极限

运算的原则：一步比一步简单 0a. 型 04、lim 5、lim 6、lim b.

?型 ?x?0x?arcsinx

x?0(arcsinx)31?2sinx?x?1

xln(1?x)e?ecosx1?x?12x?03

7、求lim

?x0t2etdtxex22x???

提示：若x??的极限中含有ax(a?0,a?1)，或arctanx，arccotx，一定要分别求出x???与x???的极限，两者相等，则x??时的极限存在，否则不存在

ex?xarctanx8、求lim

x??ex?x

2

0?或型，再用法则或“抓大头”方法处理，求解方法有三种 0?（1）通分 （2）根式有理化 （3）变量替换

19、求lim(2?cot2x)

x?0x

c.???型?10、求lim(x?x?x?x)

x???

111、求lim[x?x2ln(1?)]

x??x

0?d.0??型?或型，再用法则或“抓大头”方法处理

0?12、lim(x???2?arctan2x2)x2

13、lim 14、lim

3

12?cosxx[()?1] x?0x331sinxln x?0x2xe.00，?0，1?型用对数恒等式 0??型?15、lim?xx?021?lnx0?或型 0?

16、lim?(cotx)sinx

x?0

217、lim(arctanx)x

x????

arcsinxx2) 18、lim(x?0x1

1219、lim(sin)n(提示：数列的极限转化为函数的极限求解)

n??n1

4

二、间断点的判定（关键是会求极限）

先判断第二类：左右极限f(x0?0)，f(x0?0)至少有一个不存在 再判断第一类：f(x0?0)?f(x0?0) 可去间断点 f(x0?0)?f(x0?0) 跳跃间断点 20、求下列函数的间断点并判别类型 1（1）f(x)?2x?11

2x?1

f(x)?lim1?x2n（2）n??1?x2n?x

?x(2x??)x?0（3）f(x)????2cosx

???sin1x2?1x?0

5

三、极限式中常数的确定 常用方法：（1）抓大头；（2）洛必达法则

(x?1)95(ax?1)5?8，则a的值为【 】 21、设lim250n??(x?1)（A）1 （B）2 （C）58 （D）以上均不对

22、设lim(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)???0，则?,?的数值为【 】

x??(3x?2)?111（A）??1,?? （B）??5,?? （C） ??5,??5 （D）以上均不对

333

123、设f(x)?[1?sinx?sin2x?(???sinx)]，且x?0是f(x)的可去间断点，求?,? 2sinx

x1t224、确定正数a和b，使得limdt?2

2x?0bx?sinx?0a?t

6

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