高中数学 2.2用样本估计总体教案 新人教A版必修3

２.2.1用样本的频率分布估计总体分布

教学目标：

知识与技能

（1） 通过实例体会分布的意义和作用。

（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线

图和茎叶图。

（3）通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地

选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计。

过程与方法

通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

情感态度与价值观

通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。

重点与难点

重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。

教学设想

【创设情境】

在ＮＢＡ的2004赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕ 甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50 乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33 请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？

如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布（板出课题）。 【探究新知】 〖探究〗：P55

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢 ？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）

为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等。因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。（如课本P56）

分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式。

下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况。

〈一〉频率分布的概念：

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：

（1） 计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差 （2） 决定组距与组数 （3） 将数据分组 （4） 列频率分布表 （5） 画频率分布直方图

以课本P56制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图。（让学生自己动手作图）

频率分布直方图的特征：

（1） 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。

（2） 从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，

原有的具体数据信息就被抹掉了。

〖探究〗：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会

不同。不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图不同的看法进行交流……）

接下来请同学们思考下面这个问题： 〖思考〗：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布

表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见课本P57）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）

〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线 1．频率分布折线图的定义：

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。

2．总体密度曲线的定义：

在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。（见课本P60） 〖思考〗：

１．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？

２．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？

实际上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一般很难想函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确． 〈三〉茎叶图

１．茎叶图的概念：

当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。（见课本P6１例子） 2．茎叶图的特征：

（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所

有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时

添加，方便记录与表示。

（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，

两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。

【例题精析】

〖例1〗：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高 (单位ｃｍ)

区间界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)[142,146)人数5810223320区间界限[146,150)[150,154)[154,158)人数1165(1)列出样本频率分布表﹔ (2)一画出频率分布直方图;

(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。

分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。 解：（１）样本频率分布表如下：

分组频数频率

[122,126)50.04

[126,130)80.07

[130,134)100.08

[134,138)220.18

[138,142)330.28

[142,146)200.17

[146,150)110.09

[150,154)60.05

[154,158)50.04

合计1201

（２）其频率分布直方图如下： 频率/组距

0.07 0.06

0.05 0.04

0.03 0.02

0.01

o 122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身高（cm）

（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.

〖例2〗：为了了解高一学生的体

频率/组距 能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据

0.036 整理后，画出频率分布直方图(如

0.032 图)，图中从左到右各小长方形面积

0.028 之比为2：4：17：15：9：3，第二

0.024 小组频数为12.

(1) 第二小组的频率是多少？样本0.020 容量是多少？ 0.016 (2) 若次数在110以上（含110次）

0.012 为达标，试估计该学校全体高

0.008 一学生的达标率是多少？

0.004 (3) 在这次测试中，学生跳绳次数

的中位数落在哪个小组内？请

o 90 100 110 120 130 140 150 次数 说明理由。

分析：在频率分布直方图中，各小

长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。 解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，

因此第二小组的频率为：

4?0.08

2?4?17?15?9?3又因为频率=

第二小组频数

样本容量第二小组频数12??150

第二小组频率0.08所以 样本容量?（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为

17?15?9?3?100%?88%

2?4?17?15?9?3（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为

69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。 【课堂精练】

P

61

练习 1. 2. 3

【课堂小结】 1． 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们

往往用样本的频率分布去估计总体的分布。

2． 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分

布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。

3．

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