高中数学高考二轮复习三角函数问题教案

突破点1 三角函数问题

提炼1 三角函数的图象问题 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的确定：利用函数图象的最高点和最低点确定A，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点坐标确定φ.

(2)三角函数图象的两种常见变换

提炼2 三角函数奇偶性与对称性 π(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；

2π

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝kπ，(k∈Z)

2解得．

π

(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；

2π

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)

2解得．

kπ

y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝

2

(k∈Z)解得，无对称轴.

提炼3 2三角变换常用技巧 2(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sinθ＋cosθ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑：如sinα＋2cosα＝(sinα＋cosα)＋cosα，α＝(α－β)＋β等．

(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦.

提炼4 三角函数最值问题 222

2

2

2

2

(1)y＝asin x＋bcos x＋c型函数的最值：可将y转化为y＝a＋bsin(x＋φ)＋c其中tan φ＝的形式，这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y＝a＋bsin(x＋φ)＋c的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解．

ba221－cos 2x222

(2)y＝asinx＋bsin xcos x＋ccosx型函数的最值：可利用降幂公式sinx＝，2sin 2x1＋cos 2x222

sin xcos x＝，cosx＝，将y＝asinx＋bsin xcos x＋ccosx转化整理为y22＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值．

回访1 三角函数的图象问题

π

1．(理)(2016·全国甲卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后12图象的对称轴为( )

A．x＝C．x＝

kπkπ

π

－(k∈Z) 26π

－(k∈Z) 212

B．x＝D．x＝

kπkπ

π

＋(k∈Z) 26π

＋(k∈Z) 212

π?π?B [将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin 2?x＋?＝

12?12?π?ππkππ?2sin?2x＋?的图象．由2x＋＝kx＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称

6?6226?轴为x＝

kπ

2

＋π

(k∈Z)．] 6

2．(理)(2014·全国卷Ⅰ)如图1-1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )

图1-1

?π?B [如图所示，当x∈?0，?时，则P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，作MM′⊥OP，M′

2??

|MM′|

为垂足，则＝sin x，

|OM|

∴

f?x?1

＝sin x，∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x， cos x2

π1则当x＝时，f(x)max＝；

42当x∈?

?π，π?时，有f?x?＝sin(π－x)，

?|cos x|?2?

1

2

f(x)＝－sin xcos x＝－sin 2x，

3π1当x＝时，f(x)max＝. 42只有B选项的图象符合．] 回访2 三角函数的性质问题

3．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图1-2所示，则f(x)的单调递减区间为( )

图1-2

13??A.?kπ－，kπ＋?，k∈Z 44??

13??B.?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z 44??

3??1

C.?k－，k＋?，k∈Z

4??413??D.?2k－，2k＋?，k∈Z 44??

?51?D [由图象知，周期T＝2?－?＝2，

?44?

∴

2π

＝2，∴ω＝π. ω

1ππ

由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，

424π??∴f(x)＝cos?πx＋?.

4??

π13

由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－

44413??∴f(x)的单调递减区间为?2k－，2k＋?，k∈Z.故选D.]

44??

π?π?4．(理)(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|≤?，x＝－为2?4?

?f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在?，

( )

A．11 B．9 C．7 D．5

π

4

π5π??上单调，则ω的最大值为

?1836?

ππ

B [因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的一个零点为x＝－，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，

44

Tπ

所以·k＝(k为奇数)．

42

2π

又T＝，所以ω＝k(k为奇数)．

ω又函数f(x)在?

?π，5π?上单调，

??1836?

π12π

所以≤×，即ω≤12.

122ω

π?ππ??π3π?若ω＝11，又|φ|≤，则ω＝－，此时，f(x)＝sin?11x－?，f(x)在?，?上4?24??1844?单调递增，在?

?3π，5π?上单调递减，不满足条件．

??4436?

π?ππ??π5π?若ω＝9，又|φ|≤，则φ＝，此时，f(x)＝sin?9x＋?，满足f(x)在?，?上4?24??1836?单调的条件．故选B.]

5．(理)(2013·全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.

25?1sin x－2cos x?

－ [∵f(x)＝sin x－2cos x＝5??，

55?5?设1

2

＝cos α，＝sin α， 55

则y＝5(sin xcos α－cos xsin α)＝5sin(x－α)． ∵x∈R，∴x－α∈R，∴ymax＝5. 又∵x＝θ时，f(x)取得最大值， ∴f(θ)＝sin θ－2cos θ＝5. 又sinθ＋cosθ＝1，

2

2

1

sin θ＝，??5∴?2

cos θ＝－，??5

25

即cos θ＝－.] 5

回访3 三角恒等变换

6．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A．－

3311 B. C．－ D. 2222

D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝1

sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.]

2

?π?3

7．(2016·全国甲卷)若cos?－α?＝，则sin 2α＝( )

?4?5

A.7

25

1B. 57D．－

25

1C．－

5

?π?3

D [因为cos?－α?＝，

?4?5?π

所以sin 2α＝cos?－2α

?2

?＝cos 2?π－α??4??

?＝2cos2?π－α

??4??

?－1＝2×9－1＝－7.]

?2525?

热点题型1 三角函数的图象问题

题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面：一是考查三角函数解析式的求法；二是考查三角函数图象的平移变换，常以选择、填空题的形式考查，难度较低.

(1)(2016·山西四校联考)将函数y＝3cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )

A.

πππ5π

B. C. D. 61236

π??(2)(2016·衡水中学四调)已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，0＜φ＜?一

2??

?π?个周期内的图象上的四个点，如图1-3所示，A?－，0?，B为y轴上的点，C为图象上的最低

?6?

→π

点，E为该图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，CD在x轴上的投影为，则( )

12

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